1、 第 1 页（共 23 页） 2020 年湖南省常德市中考数学试卷年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分） （2020常德）4 的倒数为（ ） A1 4 B2 C1 D4 2 （3 分） （2020常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ） A B C D 3 （3 分） （2020常德）如图，已知 ABDE，130，235，则BCE 的度数为 （ ） A70 B65 C35 D5 4 （3 分） （2020常德）下列计算正确的是（ ） Aa2+b2（a+b）2 Ba
2、2+a4a6 Ca10a5a2 Da2a3a5 5 （3 分） （2020常德）下列说法正确的是（ ） A明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D一组数据的众数一定只有一个 6（3 分）（2020常德） 一个圆锥的底面半径 r10， 高 h20， 则这个圆锥的侧面积是 （ ） A1003 B2003 C1005 D2005 7 （3 分） （2020常德）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0
3、 第 2 页（共 23 页） 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 8 （3 分） （2020常德）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方 向移动这枚跳棋 2020 次移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点， 跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处） ，按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ） AC、E BE、F CG、C、E DE、C、F 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9 （3 分） （20
4、20常德）分解因式：xy24x 10 （3 分） （2020常德） 若代数式 2 26在实数范围内有意义， 则 x 的取值范围是 11 （3 分） （2020常德）计算：9 2 1 2 + 8 = 12 （3 分） （2020常德） 如图， 若反比例函数 y= （x0） 的图象经过点 A， ABx 轴于 B， 且AOB 的面积为 6，则 k 13 （3 分） （2020常德）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随 机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下： 阅读时间（x 小时） x3.5 3.5x5 5x6.5 x6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有
5、1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数 第 3 页（共 23 页） 为 14 （3 分） （2020常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限 购 5 只李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口 罩买，他将买回 5 只已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只请问李红出门没有买到口罩的次数是 次 15 （3 分） （2020常德）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将DAE，DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点） ，
6、若 GF4，EG 6，则 DG 的长为 16 （3 分） （2020常德）阅读理解：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的 方法分解因式： x3（n2+1）x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn） （x+n）（xn） （xn） （x2+nx1） 理解运用：如果 x3（n2+1）x+n0，那么（xn） （x2+nx1）0，即有 xn0 或 x2+nx10， 因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解 解决问题：求方程 x35x+20 的解为 三、 （本大题三、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分
7、分，满分 10 分）分） 17 （5 分） （2020常德）计算：20+（1 3） 14 4tan45 18 （5 分） （2020常德）解不等式组 2 1 + 4 2 3 3+1 2 1 3 四、 （本大题四、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分）分） 19 （6 分） （2020常德）先化简，再选一个合适的数代入求值： （x+1 79 ） 29 20 （6 分） （2020常德）第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是4G下载速度的15倍， 小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片， 第 4 页（共
8、 23 页） 小明比小强所用的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 五、 （本大题五、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，满分分，满分 14 分）分） 21 （7 分） （2020常德）已知一次函数 ykx+b（k0）的图象经过 A（3，18）和 B（2， 8）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y= （m0）的图象只有一个 交点，求交点坐标 22 （7 分） （2020常德）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图汽车 的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部
9、支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与 水平线 AD 之间的夹角是 5，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 AC2 米，求 BC 的长度 （结果保留一位小数） （参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin700.94，cos70 0.34，tan702.75，2 1.41） 六、 （本大题六、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 23 （8 分） （2020常德）今年 24 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的 决定，对患者进行了免费治疗图
10、 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统 计图（不完整） ，图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图请回答下列问题 （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B、D 两位患者 的概率 第 5 页（共 23 页） 24 （8 分） （2020常德）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是 AB 上的 一点，DEAB 于 D，DE 交 BC 于 F，且
11、 EFEC （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 BD4，BC8，圆的半径 OB5，求切线 EC 的长 七、 （本大题七、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25 （10 分） （2020常德）如图，已知抛物线 yax2过点 A（3，9 4） （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A，M（3 2，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证： MC2MAMB； （3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标 26（
12、10 分）（2020常德） 已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点， ACB90， ABC30， 第 6 页（共 23 页） 过点 D 作 RtDEF 使DEF90，DFE30，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EP CE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N （1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证： EBEP； EFP30； （2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30 第 7 页（共 23 页） 2020 年湖南省常德市中考数学试卷年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
13、、选择题（本大题一、选择题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分） （2020常德）4 的倒数为（ ） A1 4 B2 C1 D4 【解答】解：4 的倒数为1 4 故选：A 2 （3 分） （2020常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 3 （3 分） （
14、2020常德）如图，已知 ABDE，130，235，则BCE 的度数为 （ ） A70 B65 C35 D5 【解答】解：作 CFAB， ABDE， CFDE， 第 8 页（共 23 页） ABDEDE， 1BCF，FCE2， 130，235， BCF30，FCE35， BCE65， 故选：B 4 （3 分） （2020常德）下列计算正确的是（ ） Aa2+b2（a+b）2 Ba2+a4a6 Ca10a5a2 Da2a3a5 【解答】解：A、a2+2ab+b2（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a2与 a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a10a5a5
15、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a2a3a5，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D 5 （3 分） （2020常德）下列说法正确的是（ ） A明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D一组数据的众数一定只有一个 【解答】解：A、明天的降水概率为 80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是1 2，故本选项错误； C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、一组数据的众数不一定只有一个，
16、故本选项错误； 故选：C 6（3 分）（2020常德） 一个圆锥的底面半径 r10， 高 h20， 则这个圆锥的侧面积是 （ ） A1003 B2003 C1005 D2005 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：这个圆锥的母线长= 102+ 202=105， 这个圆锥的侧面积= 1 2 210105 =1005 故选：C 7 （3 分） （2020常德）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx
17、+c0 有两个不相等的实数根， b24ac0，故正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为 x2， 2 =2， 4a+b0，故正确， 由图象知，抛物线开口方向向下， a0， 4a+b0， b0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c0， abc0，故正确， 由图象知，当 x2 时，y0， 4a2b+c0，故错误， 即正确的结论有 3 个， 故选：B 8 （3 分） （2020常德）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方 向移动这枚跳棋 2020 次移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点， 跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶
18、点，跳棋停留在 D 处） ，按这样的规则，在这 2020 第 10 页（共 23 页） 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ） AC、E BE、F CG、C、E DE、C、F 【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到 设顶点 A，B，C，D，E，F，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格， 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+k= 1 2k（k+1） ，应停在第 1 2k（k+1）7p 格， 这时 P 是整数，且使 0 1 2k（k+1）7p6，分别取 k1，2，3，4，5，6，7 时， 1 2k（k+1）7p1，3，6，3，1，0，0，发现第
19、 2，4，5 格没有停棋， 若 7k2020， 设 k7+t（t1，2，3）代入可得，1 2k（k+1）7p7m+ 1 2t（t+1） ， 由此可知，停棋的情形与 kt 时相同， 故第 2，4，5 格没有停棋，即顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到 故选：D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9 （3 分） （2020常德）分解因式：xy24x x（y+2） （y2） 【解答】解：原式x（y24）x（y+2） （y2） ， 故答案为：x（y+2） （y2） 10（3 分）（2020常德） 若代数式 2 26在实数范围内
20、有意义， 则 x 的取值范围是 x3 【解答】解：由题意得：2x60， 解得：x3， 故答案为：x3 11 （3 分） （2020常德）计算：9 2 1 2 + 8 = 32 【解答】解：原式= 32 2 2 2 +22 32 第 11 页（共 23 页） 故答案为：32 12 （3 分） （2020常德） 如图， 若反比例函数 y= （x0） 的图象经过点 A， ABx 轴于 B， 且AOB 的面积为 6，则 k 12 【解答】解：ABOB， SAOB= | 2 =6， k12， 反比例函数的图象在二四象限， k0， k12， 故答案为12 13 （3 分） （2020常德）4 月 23 日
21、是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随 机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下： 阅读时间（x 小时） x3.5 3.5x5 5x6.5 x6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生， 试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 400 人 【解答】解：1200 6+4 12+8+6+4 =400（人） ， 答：估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人 14 （3 分） （2020常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限 购 5 只李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口 罩买
22、，他将买回 5 只已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是 x，买到口罩的次数是 y，由题意得： + = 10 15 1 10 + 5 = 35， 第 12 页（共 23 页） 整理得： + = 10 5 = 30 ， 解得： = 4 = 6 故答案为：4 15 （3 分） （2020常德）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将DAE，DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点） ，若 GF4，EG 6，则 DG 的
23、长为 12 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折可得： DGDADCx， GF4，EG6， AEEG6，CFGF4， BEx6，BFx4，EF6+410，如图 1 所示： 在 RtBEF 中，由勾股定理得： BE2+BF2EF2， （x6）2+（x4）2102， x212x+36+x28x+16100， x210 x240， （x+2） （x12）0， x12（舍） ，x212 DG12 故答案为：12 第 13 页（共 23 页） 16 （3 分） （2020常德）阅读理解：对于 x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的 方法分解因式： x3（n2+1）x+nx3
24、n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn） （x+n）（xn） （xn） （x2+nx1） 理解运用：如果 x3（n2+1）x+n0，那么（xn） （x2+nx1）0，即有 xn0 或 x2+nx10， 因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解 解决问题：求方程 x35x+20 的解为 x2 或 x1+2或 x12 【解答】解：x35x+20， x34xx+20， x（x24）（x2）0， x（x+2） （x2）（x2）0， 则（x2）x（x+2）10，即（x2） （x2+2x1）0， x20 或 x2+2x10， 解得 x2 或 x12， 故
25、答案为：x2 或 x1+2或 x12 三、 （本大题三、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分）分） 17 （5 分） （2020常德）计算：20+（1 3） 14 4tan45 【解答】解：原式1+3241 1+64 3 18 （5 分） （2020常德）解不等式组 2 1 + 4 2 3 3+1 2 1 3 【解答】解： 2 1 + 4 2 3 3+1 2 1 3 ， 由得：x5， 由得：x1， 不等式组的解集为：1x5 四、 （本大题四、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分）分） 第 14 页（共 23 页）
26、19 （6 分） （2020常德）先化简，再选一个合适的数代入求值： （x+1 79 ） 29 【解答】解： （x+1 79 ） 29 = (+1)(79) (+3)(3) = 2+7+9 (+3)(3) = (3)2 (+3)(3) = 3 +3， 当 x2 时，原式= 23 2+3 = 1 5 20 （6 分） （2020常德）第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是4G下载速度的15倍， 小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片， 小明比小强所用的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 【解答】解：设该
27、地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆， 由题意得：600 600 15 =140， 解得：x4， 经检验：x4 是原分式方程的解，且符合题意， 15460， 答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆 五、 （本大题五、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，满分分，满分 14 分）分） 21 （7 分） （2020常德）已知一次函数 ykx+b（k0）的图象经过 A（3，18）和 B（2， 8）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y= （m0）
28、的图象只有一个 交点，求交点坐标 【解答】解： （1）把（3，18） ， （2，8）代入一次函数 ykx+b（k0） ，得 3 + = 18 2 + = 8， 解得 = 2， = 12 ， 一次函数的解析式为 y2x+12； 第 15 页（共 23 页） （2）一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y= （m0）的图象只有一个 交点， = 2 + 12 = 只有一组解， 即 2x2+12xm0 有两个相等的实数根， 12242（m）0， m18 把 m18 代入求得该方程的解为：x3， 把 x3 代入 y2x+12 得：y6， 即所求的交点坐标为（3，6） 22 （7 分） （202
29、0常德）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图汽车 的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与 水平线 AD 之间的夹角是 5，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 AC2 米，求 BC 的长度 （结果保留一位小数） （参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin700.94，cos70 0.34，tan702.75，2 1.41） 【解答】方法一：解：如图 1，过点 C 作 CFAB 于点 F， 在 RtACF 中， sinCABsin（60
30、+5）sin65= ， CFACsin6520.911.82， 在 RtBCF 中， ABC45， CFBF， BC= 2CF1.411.822.56622.6， 第 16 页（共 23 页） 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米 方法二：解：如图 2，过点 A 作 AEBC 于点 E， 在 RtACE 中，C180654570， cosCcos70= ， 即 CEACcos7020.340.68， sinCsin70= ， 即 AEACsin7020.941.88， 又在 RtAEB 中，ABC45， AEBE， BCBE+CE0.68+1.882.562.6， 答：所求 BC 的长度约为
31、 2.6 米 六、 （本大题六、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 23 （8 分） （2020常德）今年 24 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的 决定，对患者进行了免费治疗图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统 计图（不完整） ，图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图请回答下列问题 （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、B、C、D、E 第 17 页（共 23 页）
32、 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B、D 两位患者 的概率 【解答】解： （1）轻症患者的人数20080%160（人） ； （2）该市为治疗危重症患者共花费钱数200（180%15%）10100（万元） ； （3）所有患者的平均治疗费用= 1.5160+3(20015%)+100 200 =2.15（万元） ； （4）列表得： A B C D E A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） E （A，
33、E） （B，E） （C，E） （D，E） 由列表格，可知：共有 20 种等可能的结果，恰好选中 B、D 患者概率的有 2 种情况， P（恰好选中 B、D）= 2 20 = 1 10 24 （8 分） （2020常德）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是 AB 上的 一点，DEAB 于 D，DE 交 BC 于 F，且 EFEC （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 BD4，BC8，圆的半径 OB5，求切线 EC 的长 第 18 页（共 23 页） 【解答】解： （1）连接 OC， OCOB， OBCOCB， DEAB， OBC+DFB90， EFEC， ECFEFCD
34、FB， OCB+ECF90， OCCE， EC 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径， ACB90， OB5， AB10， AC= 2 2 = 100 64 =6， cosABC= = ， 8 10 = 4 ， BF5， CFBCBF3， 第 19 页（共 23 页） ABC+A90，ABC+BFD90， BFDA， ABFDECFEFC， OAOC， OCAABFDECFEFC， OACECF， = ， EC= = 53 6 = 5 2 七、 （本大题七、 （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25 （10 分） （2020常德）如图，已知抛
35、物线 yax2过点 A（3，9 4） （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A，M（3 2，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证： MC2MAMB； （3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标 【解答】解： （1）把点 A（3，9 4）代入 yax 2， 得到9 4 =9a， a= 1 4， 抛物线的解析式为 y= 1 4x 2 （2）设直线 l 的解析式为 ykx+b，则有 9 4 = 3 + 0 = 3 2 + ， 第 20 页（共 23 页） 解得 =
36、 1 2 = 3 4 ， 直线 l 的解析式为 y= 1 2x+ 3 4， 令 x0，得到 y= 3 4， C（0，3 4） ， 由 = 1 4 2 = 1 2 + 3 4 ，解得 = 1 = 1 4 或 = 3 = 9 4 ， B（1，1 4） ， 如图 1 中，过点 A 作 AA1x 轴于 A1，过 B 作 BB1x 轴于 B1，则 BB1OCAA1， = 1 = 3 21 3 2 = 1 3， = 1 = 3 2 3 2(3) = 1 3， = ， 即 MC2MAMB （3）如图 2 中，设 P（t，1 4t 2） OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， PDOC，
37、PDOC， D（t， 1 2t+ 3 4） ， 第 21 页（共 23 页） |1 4t 2（1 2t+ 3 4）|= 3 4， 整理得：t2+2t60 或 t2+2t0， 解得 t17或1+7或2 或 0（舍弃） ， P（17，2+ 7 2 ）或（1+7，2 7 2 ）或（2，1） 26（10 分）（2020常德） 已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点， ACB90， ABC30， 过点 D 作 RtDEF 使DEF90，DFE30，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EP CE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N （1）如图 1，当 D
38、，B，F 共线时，求证： EBEP； EFP30； （2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30 【解答】证明（1）ACB90，ABC30， A903060， 同理EDF60， AEDF60， ACDE， DMBACB90， D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACDM， = = 1 2， 即 M 是 BC 的中点， EPCE，即 E 是 PC 的中点， EDBP， CBPDMB90， 第 22 页（共 23 页） CBP 是直角三角形， BE= 1 2PCEP； ABCDFE30， BCEF， 由知：CBP90， BPEF， EBEP， EF 是线段 BP 的垂直平分线， PFBF， PFEBFE30； （2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ， ECEP，DECQEP， QEPDEC（SAS） ， 则 PQDCDB， QEDE，DEF90 EF 是 DQ 的垂直平分线， QFDF， CDAD， CDAA60， CDB120， FDB120FDC120（60+EDC）60EDC60EQP FQP， FQPFDB（SAS） ， 第 23 页（共 23 页） QFPBFD， EF 是 DQ 的垂直平分线， QFEEFD30， QFP+EFP30， BFD+EFP30
