1、12011/10/27第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、导数的概念二、函数的求导法则三、高阶导数四、隐函数及参数方程参数所确定函数的导数五、微分第一节 导数的概念22011/10/27第一节第一节导数的基本概念导数的基本概念(The Derivative)一、导数的背景二、导数的定义三、导数的几何意义及应用第一节 导数的概念32011/10/27一.背景在真空中,当时间由t变到t+t 时,自由1、物理背景-非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为2221)(21)()(gtttgtSttS)2(212tttg例1物体由t到t+t一段的平均速度是ttttSttStV)()()()(
2、ttttg)2(212tggt21第一节 导数的概念42011/10/27求物体在时刻t的瞬时速度vt,就是ttSttStVVttt)()(lim)(lim00gttggtt)21(lim0令t0的极限过程：从物理学看,当t0时,应该有 .0)()(tSttS这是否也说明了一个什么问题?第一节 导数的概念52011/10/272、医学背景-细胞的增值速度 设增值细胞在某一时刻t的总数N,显然N是时间t的函数,即N=N（t）,在t0到t0+t这段时间内,细胞的平均增长率为 00N ttN tNtt 00000limlimttN ttN tNv ttt它在t趋于0时的极限（如果存在的话）就是细胞在
3、t0时刻的增值速度，即第一节 导数的概念62011/10/273 3、数学背景、数学背景-平面曲线的切线问题平面曲线的切线问题 (TangentLines)播放播放MNT割线割线MN绕绕点点M旋转而旋转而趋向极限位趋向极限位置置MT,直线直线MT就称为就称为曲线曲线C在点在点M处的切线处的切线.第一节 导数的概念72011/10/27沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)Oxy)(xfy AABxyT切线方程:,)(00 xxkyytank tanlim0
4、x其中,.lim0 xyx第一节 导数的概念82011/10/27(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：;)()(00 xxfxxfxy .)()(limlim0000 xxfxxfxyxx第一节 导数的概念92011/10/27二.导数的概念设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在,|0ayxx，axxfd)(d0 .dd0axyxx如果极限axyxxfxxfxx0000lim)()(l
5、im存在,点 x0 处的导数.记为，axf)(01.导数的定义第一节 导数的概念102011/10/27k 0为常数.xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx2)()(lim)(0000 xkxfxkxfxfx)()(lim)(0000;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则第一节 导数的概念112011/10/27设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为2.左、右导数axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf第一节 导数的概念1220
6、11/10/27设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000axf)(0第一节 导数的概念132011/10/27axf)(0axfxf)()(00好像见过面啊！第一节 导数的概念142011/10/27.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy例2第一节 导
7、数的概念152011/10/273.导函数xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：第一节 导数的概念162011/10/27函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf)(,)(bfaf若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.第一节 导数的概念172011/10/
8、27三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 常数的导数是零。常数的导数是零。即即 .0)(C例3第一节 导数的概念182011/10/271,1xyyxy及求已知函数例4第一节 导数的概念192011/10/27.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnh
9、hhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1为为常常数数 xx)()(21 xx例如例如,12121 x.21x)()1(1 xx11)1(x.12x 例5第一节 导数的概念202011/10/27)(sin,sin)(xxxf求求若若函函数数解解hxhxxxfhsin)sin(lim)(sin)(0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x xxcos)(sin 故故xxsin)(cos 同样地，例6第一节 导数的概念212011/10/27.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .lo
10、g1)(logexxaa 即即xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa xx1)(ln 特特别别地地，例7第一节 导数的概念222011/10/27四、导数的意义四、导数的意义oxy)(xfy T0 xM1.1.几何意义几何意义(Geometric Interpretation)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf第一节 导数的概念232011/10/27 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O
11、 x x0f(x0)不存在f(x0)不存在第一节 导数的概念242011/10/27例例.,)4,2(2方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求曲线xy 解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为2 xyk所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),2(44 xy),4(414 xy.044 yx即即.0174 yx即即xxy2)(2 42 xyk例8第一节 导数的概念252011/10/272.2.简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtd
12、ststvt 2 2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 第一节 导数的概念262011/10/27函数函数 f(x)在点在点 x0可导的可导的必要条件是它在点必要条件是它在点 x0 连续连续.只是必要条件！五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系第一节 导数的概念272011/10/27设设 f(x)在点在点 x0 可导可导,即有即有于是于是,)()()(000 xfxxxfxf0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx)(0 0 xx 故故)()()()(0000 xxxxxfxfxf)(lim0
13、xfxx)(0 xf )()()(lim00000 xxxxxfxfxx .)(,0处连续在点函数就是说xxf第一节 导数的概念282011/10/27y=|x|在点在点 x=0 连续连续,但不可导但不可导.xxfx|0|0|lim)0(0 xxfx|0|0|lim)0(0故故f(0)不存在不存在.y=|x|Oxy1|lim0 xxx1|lim0 xxx例9解 .0|,0|lim 00处连续在点故但xxyyxxx第一节 导数的概念292011/10/27在点在点 x=0 处的处的连续性和可导性连续性和可导性.,1|1sin|x01sinlim0 xxnx00 xy又 当当 nN 时时,函数在函
14、数在点点 x=0 处连续处连续.)(0 ,0 0 ,1sin Znxxxxyn讨论例10解)(Zn第一节 导数的概念302011/10/27当当 n=1 时时,xxyxx limlim00不存在,故故 n=1 时时,函数在函数在 x=0 处不可导处不可导.当当 n 1 时时,xxyxx limlim00故故n 1时时,函数在函数在 x=0 处可导处可导.其导数为其导数为 .00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sin第一节 导数的概念312011/10/27 f(x)在在 x=0 处处可导可导,从而从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=
15、1 f(x)在在 x=0 处处连续连续,f(0)=a.例11解 .1 ,1lim)(lim 00aexfxxx故又设设a+bx,x0求求 a,b 之值之值.e x,x 0y=在在 x=0 可导可导,第一节 导数的概念322011/10/27由可导性：由可导性：故故 b=1,此时函数为此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0 xexfxfxxx1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx1)1(lim)0()0(lim001lim0 xxx.1 ,1ba第一节 导数的概念332011/10/27六、小结六、小结1.1.导数的概念与实质导数的概念与实质:增量比的极限增量比的极限;2.
16、axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.3.导数的几何意义与物理意义；导数的几何意义与物理意义；5.5.函数可导一定连续，但连续不一定可导。函数可导一定连续，但连续不一定可导。4.4.由定义求导数；由定义求导数；第一节 导数的概念342011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念352011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念362011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念372011/10/272.2.切线问题切线问题切
17、线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念382011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念392011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念402011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念412011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念422011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN第一节 导数的概念432011/10/272.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN割线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.
