1、试卷代号:1076座位号C口国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋季学期开放本科期末考试常微分方程试题(半开卷)2015年1月国四l五|总分liI I 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)L微分方程ylnydx+(x一lny)dy=O是().A.线性方程B.可分离变量方程C.全微分方程D.贝努利方程A刑2.若!(x，y)在全平面上连续且对y满足李普希兹条件，那么方程EZ=fbd)的任一解的存在区间().A.必为(一，0)B.必为(0，十)C.必为(一，十)D.因解而定dY 3.一阶线性非齐次方程组-:;=A(x)Y+F(x)，Y=(Yl，Yn)T的任一解的图像是n+1dx 维空间(
2、XYl，Yn)中的().A.一个由面B.一条曲线C.一族曲线D.一族曲面4.若伊1(x)，但(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们()共同零点.394 A.在x=-l处可以有C.不能有B.在x=O处可以有D.在x=l处可以有5一阶方程苦=缸中，当=0时，其零解是()A.渐进稳定的B.稳定的c.不稳定的D.不存在|得分|评卷人|I I 二、填空题(每小题3分，本题共15分)6方程42=d丐?的常数解是QX 7方程艺节i巾十y)的任一非零解与z轴相交.8.向量函数组在区间I上的朗斯基行列式w(x)=O是它们线性相关的一一一一一条件.9.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.
3、是型类占叫奇的vd+ZZ 一一一一-u一出一出flIll-lt!|ilL统系面平nu 三、计算题(每小题8分，本题共40分)求下列方程的通解或通积分gdy_x十-11.一一一一寸一一QX e dy I 1+x 12E+-7-yzbe丁13.(X3+xy2+x2)dx十x2ydy=O 14.y=xy+y+(y)2 15.yFF十(y)2+1=0395|得分|评卷人!|I I 四、计算题本题共15分)16.求下列方程组的通解.y 9年Vd-A哇丁汁-n吨U一一一一EM-出句一出lll-ll|iL|得分|评卷人|I I 五、证明题(本题共15分)17.设f(y)在(-00，+)上连续可微，求证:对任
4、意的工。(一，+)，I yo 11，方程dy _,2 豆豆=(y2-l)f(y)满足初值条件Y(Xo)=Yo的解必在(一，+)上存在.396 试卷代号:1076国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋季学期开放本科期末考试常微分方程试题答案及评分标准(半开卷)(供参考)2015年1月一、单项选择题(每小题3分，本题共15分l.A 2.D 3.B 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.y=土17.不能8.必要9.n 10.鞍点三、计算题(每小题8分，本题共40分11.解分离变量积分，得j州=f(x+到nx)dx+C(4分)eY=护-+C(8分)12.解先解齐次方程，通解为
5、C+工,d h7 Fe-EEEEU一hu-vd 俨eEEEEEE，d即y=C旦干二工(4分)令非齐次方程的特解为y=C(x)二二Z 代人原方程，求出C(x)=x3+C 397 原方程的通解为y=于+C)(8分用通解公式求解可参照给分JN 13.解因为-zby=一，所以原方程是全微分方程.Jy-.J Jx 取(xo,yo)=(0，0)，原方程的通积分为(3分)j+矿+X2)由=c(6分)1 _4 1 1 IlP7x 十X2 l+X3=C 4-,2-(8分)14.解这是一个克莱洛方程，因此通解为y=Cx+C+C2 15.解令j=hjF=ZF代人方程，得(8分z+一一出一缸分离变量，积分C+z,G
6、FAEE,M一一出一川ll1J(3分)z=tan(-x+C)于是学=tan(-x+C)ax(5分)积分，得通解为y=lnlcos(-x+C)l+c1 四、计算题本题共15分16.解特征方程(8分)nL、A咱iIA-I=().-2)().-1)=0(5分)3 4-),特征根1=2).2=1(7分).1叫应的特征向量为J2=1对应的特阿为Il(12分)hE e3 MlL C+te Hl C 一一h|以为解通的程方原(15分)五、证明题本题共15分)17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又y=士1是该方程的两个常数解.(5分)现取XoE(一，+时，Iyo11，记过点(Xo，Yo)的解为圳工).一方面该解可向平面的元穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越y=士1，否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区域G=(x，y)Iyl 1，x(一，+)内沿z轴两侧无限延展，显然其定义区间必是(一，+).(15分)399
