1、 - 1 - 广东省广州市番禺区 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理 第 I卷 （本卷共计 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分， 满分 60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ? ?| 1 1M x x? ? ? ?， ? ?|N x y x?，则 MN? A. ? ?|0 1xx? B. ? ?|0 1xx? C. ? ?|0xx? D. ? ?| 1 0xx? ? ? 2. 下列说法中正确的是 A. “ (0) 0f ? ”是“函数 ()fx是奇函数”的必要条件 B. 若 20 0 0: , 1 0p x x
2、x? ? ? ? ?R ，则 2: , 1 0p x x x? ? ? ? ? ?R C. 若 pq? 为假命题，则 p ， q 均为假命题 D. 命题 “ 若 6? ? ，则 1sin 2? ” 的否命题是 “ 若 6? ? ，则 1sin 2? ” 3已知向量 (1, 1) , ( , 2 )a b m? ? ? ? ? ?，若 /ab，则实数 m的值为 （ ） A 0 B 2 C 2? D 2或 2? 4 为了得到函数 sin(2 )6yx?的图像 ,可以将函数 sin2yx? 的图像（ ） A 向左平移 6? 个单位 B 向右平移 6? 个单位 C 向左平移 12? 个单位 D 向右平
3、移 12? 个单位 5.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图， 1号到 16号同学的成绩 依次为 A1， A2， ? ， A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数 的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A 6 B 10 C 91 D 92 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形，俯视图是半径为 1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 A 312? B 36? C 34? D 33? - 2 - 7. 已知 ?na 是等比数列， 41252 ? aa ，则公比 q =( ) A 21? B 2? C 21 D 2
4、8. 若变量,xy满足不等式组21yxyx y a?，且3z x y?的最大值为 7，则实数a的值为 A 1 B7C 1? D?9.函数? ? af x x?满足?24f，那么函数? ? ? ?log 1ag x?的图象大致是 10.已知双曲线 )0,0(1:2222 ? babyaxC 的一条渐近线与直线 012 ? yx 垂直，则双曲线的离心率为 ( ) A 5 B 25 C 3 D 2 11.将某省参加数学竞赛预赛的 500名同学编号为： 001,002， ， 500，采用系统抽样的方 法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽的的号码 013为一个样本，这 500名学生分别 在三个考点考试
5、，从 001 到 200在第一考点，从 201到 355在第二考点，从 356到 500 在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A. 17B. 16C. 15D. 14 12. 已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 ( ) ( )f x f x? ? ? ，当 0,2x ?时，()f x x? ，则函数 ( ) ( ) ( ) 1g x x f x? ? ? 在区间 3- ,32? ?上所有零点之和为 ( ) A.? B. 2? C. 3? D. 4? 第 II卷 （本卷共计 90 分） 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分， 满分 20分） - 3 - 13 22 cos 15
6、cos 30oo? =_。 14 在区间 ? ?1,1? 上随机任取两个数 yx, ，则满足 4122 ?yx 的概率等于 15. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（ bie nao） .已知在 鳖臑 M ABC? 中， MA? 平面 ABC ， 2MA AB BC? ? ?，则该鳖臑的外接球表面积为 16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物 的 运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km. 三、解答题
7、：（本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 10分） 已知数列 ?na 的前 n 项 122nnSn? ? ? . （ ） 求数列 ?na 的通项公式； （ ） 设 ? ?12log nanb ?，求证：1 2 2 3 3 4 11 1 1 1 1nnb b b b b b b b ? ? ? ? ?. 18. （本小题满分 12 分）已知 22( ) 2 3 c o s s i n s i n c o s2 2 2 2x x x xfx ? ? ?. （ ）求函数 ()fx的 单调递增区间 ； （ ）在 ABC? 中，角 ,ABC 所对
8、的边分别为 ,abc， 若 ( ) 1fA? ， 23ab? ，求 sinB 的值 19.（本小题满分 12分） 某校从参加高二某次月考的学生中 随机抽取 600.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 100 90 120 110 140 130 150 频率 /组距 分数 19 题图 - 4 - 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 9 0 ,1 0 0 ) , 1 0 0 ,1 1 0 ) , , 1 4 0 ,1 5 0 后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息，回答下列问题： （ ）求分数在 120,130) 内的频率； （ ）用分
9、层抽样的方法在分数段 110,130) 的学生中抽取一个容量为 6的样本，再从该样本中任取 2人，求至多有 1人在分数段 120,130) 内的概率。 20.（本小题满分 12分） 右 图为一简单 组合体，其底面 ABCD 为正方形， PD? 平面ABCD ， /EC PD ，且 22PD AD EC? ? ?， N 为线段 PB 的中点 （ ）证明： NE PD? ； （ ）求 三 棱锥 PBCE? 的体积 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的短轴长为 25，离心率为 32 ，圆 E 的圆心00（ x,y） 在椭圆 C 上，半径
10、为 2，直线 1y kx? 与直线 2y kx? 为圆 E 的两条切线 . （ ） 求椭圆 C 的标准方程； （ ） 试问： 12kk? 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 . 22.（本小题满分 12分） 已知二次函数 2( ) 1 6 3f x x x q? ? ? ? （ ） 若函数在区间 ? ?1,1? 上存在零点，求实数 q 的取值范围； （ ） 问：是否存在常数 ( 0)tt? ，当 ? ?,10xt? 时， ()fx的值域为区间 D ，且 D 的长度为 12t? （说明：对于区间 , ba ，称 ab? 为区间长度） 广东仲元中学 2017学年第一学期期中考试高二年级
11、理科数学试卷答案 一、选择题 - 5 - 1-5: BDCDB 6-10:ACACA 11-12： BD 二、填空题 13. 1 14. 16? 15. 12? 16. 5 三、解答题 17. (1) 当 时， ,? 1分 又 由 ，则 .? 3 分 1n? 符合 ? 4分 综上 .? 5分 (2)由 .? 7分 .得证 .? 10 分 18.解： （ ） 22( ) 2 3 c o s s i n s i n c o s2 2 2 2x x x xfx ? ? ?3 s i n c o s 2 s i n ( )6x x x ? ? ? ? ? 3分 由 222 6 2k x k? ? ?
12、? ? ? ? ?（ kZ? ） , 得 22233k x k? ? ? ? ? 5分 即 函数 ()fx的 单调递增区间为 2 2 , 2 33kk? ? ?（ kZ? ） ? 6分 （ ） 由 ( ) 1fA? 得 1sin( )62A ?， 0,A ? 66A ?，即 3A? ，? 9分 根据正弦定理，由 23ab? ，得 2sin 3sinAB? ，故 3sin 3B? ， ? 12分 19 解： （ ） 分数在 120， 130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3。 ? 4分 （ ） 依题意， 110,120)分数段的人数为： 60
13、0.15=9 错误！未找到引用源。 人， 120,130)分数段的人数为： 600.3=18 人 ? 5分 错误！未找到引用源。 用分层抽样的方法在分数段为 110， 130)的学生中抽取一个容量为- 6 - 6 的样本， 错误！未找到引用源。 需在 110,120)分数段内抽取 2人，并分别记为 m， n； 在 120,130)分数段内抽取 4人，并分别记为 a， b， c， d； ? 7分 设 “ 从样本中任取 2人，至多有 1人在分数段 120,130)内 ” 为事件 A，则基本事件共有： (m， n)、 (m， a)、 (m， b)、 (m， c)、 (m， d)、 (n， a)、 (
14、n， b)、 (n， c)、 (n， d)、 (a， b) 、(a， c) 、 (a， d) 、 (b， c) 、 (b， d) 、 (c， d).共 15种 . ? 9分 事件 A包含的基本事件有： (m， n)、 (m， a)、 (m， b) 、 (m， c)、 (m， d)、 (n， a)、 (n， b)、 (n， c)、 (n， d)共 9种。 ? 11 分 P(A) 9315 5? ? 12分 20解： （ ） 连结 AC 与 BD 交于点 F ，则 F 为 BD 的中点，连结 NF ， N 为线段 PB 的中点， / ,NF PD 且 ,21 PDNF? ? 2分 又 /EC PD
15、 且 PDEC 21? /NF EC 且 .NF EC? 四边形 NFCE 为平行四边形， ? 4分 /NE FC , 即 /NE AC 又 PD? 平面 ABCD , AC? 面 ABCD , AC PD? , /NE AC , NE PD? , ? 6分 （ ） PD? 平面 ABCD ， PD? 平面 PDCE , 平面 PDCE ? 平面 ABCD BC CD? ，平面 PDCE 平面 ABCD CD? ， BC? 平面 ABCD ， BC? 平面 PDCE .? 8分 三 棱锥 PBCE? 的体积 BCSVVPECPECBPBCE ? ? 31 ?1 0分 322)2121(31 ?
16、 ?1 2分 - 7 - 21.解：（ 1）由 2 2 5b? 得： 5b? ， 32ce a? ， 22 34ca ?， ? 2 分 2 2 2a b c?， 22 534aa? ?，解得： 2220, 5ab?， ? 4分 椭圆 C 的标准方程为： 22120 5xy? ? 5分 （ 2）因为直线 1y kx? 与圆 ? ? ? ?2200:4E x x y y? ? ? ?相切， ? 6分 1 0 021 21k x yk? ? 7分 整理得： ? ?2 2 20 1 0 0 1 04 2 4 0x k x y k y? ? ? ? ?， ? 8分 同理可得： ? ?2 2 20 2 0
17、 0 2 04 2 4 0x k x y k y? ? ? ? ?， 所以， 12,kk为方程 ? ?2 2 20 0 0 04 2 4 0x x x y x y? ? ? ? ?的两个根 ? 10分 2012 20 44ykk x ? ?，又 ? ?00,E x y 在椭圆 22:120 5xyC ?上， 22 00 51 20xy ?20201222005 1 4204 14 4 4xykkxx? ? ? ? ?，故 12kk? 是定值为 14? ? 12 分22. 解：（ 1） 二次函数 2( ) 1 6 3f x x x q? ? ? ?的对称轴是 8x? 函数 ()fx在区间 ? ?1,1? 上单调递减 ? 1分 要函数 ()fx在区间 ? ?1,1? 上存在零点须满足 ( 1) (1) 0ff? ? ? ?2 分 即 (1 1 6 3 ) (1 1 6 3 ) 0qq? ? ? ? ? ? ? ? 解得 20 12q? ? ? ?4 分 （
