1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（A） 第第 12 单元单元 概率与概率与统计统计 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题小题，每小题，每小题 5 分，在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1将一枚骰子抛掷一次，则向上点数为2的概率是（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 2将5个不同的篮球放入2个不同的收纳筐中，则不同放法种数有（ ） A20 B25 C30 D32 3若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ） A 3 5 B 1 15 C 8 15 D 1 3 4 2 2 ()nx x 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A180 B90 C180 D90 5 设服从二项分布( , )B n p的随
3、机变量X的期望与方差分别是10和8， 则n，p的值分别是 （ ） A 1 50, 5 B 1 60, 5 C 4 50, 5 D 4 60, 5 6某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件） ，如茎叶图所示针对这10 天的数据，下面说法错误的是（ ） A阿朱的日派送量的众数为76 B阿紫的日派送量的中位数为77 C阿朱的日派送量的中位数为76 D阿朱的日派送外卖量更稳定 7已知(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n（ ） A9 B11 C10 D12 8设随机变量X服从正态分布 2 (1,)(0)N，若(0)0.15P X ，则(02)PX（ ） A0.
4、35 B0.6 C0.7 D0.85 9我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻 的概率是（ ） A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 10对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，下面为检测结果的频率分 布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25,30)的为一等品，在区间20,25)和30,35)的 为二等品，其余均为三等品，则样品中三等品的件数为（ ） A30 B40 C50 D60 11如图，在圆内随机撒一把豆子，统
5、计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落在 正方形内的豆子数为m，则圆周率的估算值是（ ） A n m B 2n m C 3n m D 2m n 12下列说法中正确的是（ ） 设随机变量X服从二项分布 1 (6, ) 2 B，则 5 (3) 16 P X ； 已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N且(4)0.9P X ，则(02)0.4PX； 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A “4个人去的景点互不 相同”，事件B “小赵独自去一个景点”，则 2 (|) 9 P A B ； (23)2 ()3EXE X；(23)2 ()3DXD X A B C D
6、第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 202022020 0122020 (1 2 )()xaa xa xaxxR，则 1352019 aaaa的值 为 14篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球某人从篮子中随机取出两个球，记事件A “取出 的两个球颜色不同”，事件B “取出一个红球，一个白球”，则(|)P B A 15已知离散型随机变量X服从二项分布 ( , )XB n p，且()4E X ，()D Xq，则 11 pq 的 最小值为 16甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐 中随机取出
7、一球放入乙罐，分别以 12 ,A A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再 从乙罐中随机取出一球， 以B表示由乙罐取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是 （写 出所有正确结论的编号） 2 ( ) 5 P B ； 1 5 (|) 11 P B A ； 事件B与事件 1 A相互独立； 123 ,A A A是两两互斥的事件； ( )P B的值不能确定，因为它与 123 ,A A A中哪一个发生有关 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）甲、
8、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为 3 4 ， 由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为 1 2 假设比赛没有和棋，且已知前 两盘棋都是甲赢 （1）求第四盘棋甲赢的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率 18 （12 分）由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网 学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图 所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15,0.250.350.200.05,，则根据直方 图所提供的信息： （1）这一天上网学习时间
9、在100119分钟之间的学生有多少人？ （2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中 位数分别是多少？（精确到0.1） （3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网 学习时间，这样推断是否合理？为什么？ 19 （12 分）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价 调控政策某市拟定出台“房产限购的年龄政策”为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在 2060岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄 的统计结果如图所示： （1） 由以上
10、统计数据填2 2列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁 为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？ （2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会， 现从这8人中随机抽2人记抽到44岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 20 （12 分）盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球 （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率； （2）某人从这盒子中不放回地随机抽取3个球
11、，每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球 得到红包奖励10元，求该人所得奖励的分布列 21 （12 分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每批产品的非 原料总成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： 根据以上数据，绘制如图所示的散点图 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型lnyabx和指数函数模型 x yc d 分别对两个变量的关系进行拟合 （1）根据散点图判断，lnyabx与 x yc d （c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为非 原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型； （给出判断即可，不必说明
12、理由） （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产 多少千件产品 参考数据： 其中lg ii vy， 1 1 7 n i i vv 参考公式：对于一组数据 11 ( ,)u v， 22 (,)u v，(,) nn u v，其回归直线 vau的斜率和截距的 最小二乘估计公式分别为 1 22 1 n i i i n i i uvnuv unu ， a vu 22 （12 分）某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A商品若干（A商品在商店的保鲜 时间为8小时，该商店的营业时
13、间也恰好为8小时） ，并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内 所购进的A商品没有售完，则商店对没卖出的A商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经 验，2小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品） 该商店统 计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损 而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率） （1）若某天商店购进A商品4件，试求商店该天销售A商品获取利润的分布列和期望； （2）若商店每天在购进4件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值集合 高三数学卷（A） 第第 12 单元单元 概率与概率与统计统计 答答 案
14、案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】A 【解析】一枚骰子抛掷一次，有6种结果，每种结果等可能出现， 出现“向上点数为2”的情况只有一种，故所求概率为 1 6 ，故选 A 2 【答案】D 【解析】由题意可知，每个篮球都有2种不同的放法， 则由乘法原理可得共有 5 22222232 种放法，故选 D 3 【答案】A 【解析】6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁， 从中任取2把，基本事件总数 2 6 C15n ， 从中任取2
15、把能将该锁打开包含的基本事件个数 112 242 CC9Cm， 从中任取2把能将该锁打开的概率 93 155 m p n ，故选 A 4 【答案】A 【解析】 2 2 ()nx x 展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n ， 故 2 2 ()nx x 展开式的通项公式为 5 5 10 2 11010 2 2 C ()()C ( 2) r rrrrr r Txx x ， 令 5 50 2 r，解得2r =， 所以展开式中的常数项为 22 10 C2180，故选 A 5 【答案】A 【解析】题意可得 10 (1)8 np npp ，解得 50 1 5 n p ，故选 A 6 【答案】C 【解析
16、】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为63、64、72、76、76、77、78、84、 86、94，众数为76，中位数为76.5， 阿紫的日派送量由小到大分别为54、58、63、72、73、81、86、89、95、99，中位数为77 ， 由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中， 阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定 所以，A、B、D 选项正确，C 选项错误，故选 C 7 【答案】C 【解析】由题意 37 CC nn ，所以10n，故选 C 8 【答案】C 【解析】随机变量X服从正态分布 2 (1,)(0)N， 因为(0)0.15P X ，所以(0)(2)0.15P
17、 XP X， 所以(02)12 0.150.7PX ，故选 C 9 【答案】A 【解析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 6 2 情况， 其中6爻中恰有3个阳爻情况有 3 6 C， 所以该重卦恰有3个阳爻的概率为 3 6 6 2 C = 5 16 ，故选 A 10 【答案】C 【解析】由频率分布直方图可知一等品的频率是5 0.06250.3125， 二等品的频率是5 0.05 5 0.03750.4375 ， 所以样品中三等品的频率是1 0.3125 0.43750.25， 所以样品中三等品的件数是200 0.2550， 故选 C 11 【答案】B 【解析】设正方形的边长为2则圆的半径
18、为 2， 根据几何概型的概率公式可以得到 4 2 m n ，即 2 n m ，故选 B 12 【答案】A 【解析】命题：设随机变量X服从二项分布 1 (6, ) 2 B， 则 333 6 115 (3)C ( )(1) 2216 P X ，正确； 命题：服从正态分布 2 (2,)N，正态曲线的对称轴是2x， (4)0.9(4)(0)0.1P XP XP X， (02)(24)0.4PXPX，正确； 命题：设事件A “4个人去的景点不相同”，事件B “小赵独自去一个景点”， 则 4 4 3! () 4 P AB ， 3 4 4 3 ( ) 4 P B ， 所以 ()2 (|) ( )9 P AB
19、 P A B P B ，正确； 命题：(23)2 ()3EXE X正确，(23)2 ()DXD X错误， 应该为(23)4 ()DXD X，故不正确，故选 A 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 2020 1 3 2 【解析】令1x ，得 2020 0122020 (12)1aaaa， 令1x，得 20202020 0122020 (12)3aaaa， ，得 2020 1352019 2()1 3aaaa ， 2020 1352019 1 3 2 aaaa 14 【答案】 3 13 【解析】事件A的选法有 111111 2
20、32434 C CC CC C26种，事件B的选法有 11 23 C C6种， 所以 2 9 2626 ( ) C36 P A ， 2 9 6 () 6 1 C P AB ， ()3 () ( )13 P AB P B A P A 15 【答案】 9 4 【解析】()4E Xnp，()(1)D Xnppq， 故 4 p n ， 4416 4(1) n q nn ，4n， 1114149 (45)(245) 441644444 nn nn pqnnn ， 当且仅当 4 4 4 n n ，即6n时等号成立，故答案为 9 4 16 【答案】 【解析】由题意可知事件 123 ,A A A不可能同时发生
21、，则 123 ,A A A是两两互斥的事件，则正确； 由题意得 1 5 (|) 11 P B A ， 2 4 (|) 11 P B A， 3 4 (|) 11 P B A，故正确； 1231122 ( )()()()() (|)() (|)P BP ABP A BP A BP A P B AP A P B A 33 5524349 () (|) 10111011101122 P A P B A，错； 因为 1 5 () 22 P AB ， 1 599 () ( ) 102244 P A P B ，所以事件B与事件 1 A不独立，错， 综上选 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大
22、题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 11 16 ； （2） 7 32 【解析】 （1）设事件A为“第四盘棋甲赢”，若第四盘棋甲赢，分两种情况： 若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，概率 1 339 4416 P ， 若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，概率 2 111 428 P ， 12 9111 16816 ( )P APP （2）设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”， 若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况： 若甲第三盘赢，概率 3 3113 (1) 44232 P ， 若甲第四盘赢，概
23、率 4 1111 (1) 42216 P ， 若甲第五盘赢，概率 5 1111 (1) 42216 P ， 345 3117 32162 ( 3 ) 16 P BPPP 18 【答案】 （1）14人； （2）平均学习时间94.9分钟，中位数估计值是100.2； （3）不合理，详见 解析 【解析】 （1）因为频数样本容量频率， 一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35， 所以一天上网学习时间在100119分钟之间的学生人数为40 0.35 14（人） （2）40位同学的线上学习时间估计值为： 0.15 69.90.25 89.90.35 109.90.20 129.90.0
24、5 149.994.9分钟， 在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的， 设在99.9119.9靠近左侧长度为x， 则0.15 0.25 0.350.5x，解得0.29x ， 所以中位数估计值是99.90.29100.19100.2 （3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理 19 【答案】 （1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下能认为； （2）分布列见解析， 1 () 2 E X 【解析】 （1）由统计数据填列2 2联表如下： 计算观测值 2 0 100 (35 545 15)25 6.253.841 50 50 80 204 k ， 所以在犯错误
25、的概率不超过5%的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策” 的支持度有差异 （2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人， 根据题意，X的可能取值是0,1,2 2 6 2 8 C15 (0) C28 P X ， 11 62 2 8 CC3 (1) C7 P X ， 2 2 2 8 C1 (2) C28 P X ， 可得随机变量X的分布列为： 故数学期望为 15311 ()012 287282 E X 20 【答案】 （1） 16 25 ； （2）分布列见解析 【解析】 （1）法 1：记抽取红球的事件为A，抽取白球的事件为B， 且每次取到红球的概率均为
26、 2 5 ，每次取到白球的概率均为 3 5 则至少抽到1个红球的概率表示为： 2 2233216 ()( )( )( )( )( ) 5555525 P AA+AB+BA （2）由题意，随机变量可能的取值为30,40,50,60， 03 46 3 10 C C1 (30) C6 P， 12 46 3 10 C C1 (40) C2 P， 21 46 3 10 C C3 (50) C10 P， 30 46 3 10 C C1 (60) C30 P， 所以随机变量的分布表为： 21 【答案】 （1） x yc d 适宜； （2） 0.25 3.47 10 x y ； （3）12千件 【解析】 （1
27、）根据散点图判断， x yc d 适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归 方程类型 （2）由 x yc d ，两边同时取常用对数得lglg()lglg x yc dcxd 设lg yv，lglgvcxd， 7 2 1 4,1.54,140 i i xvx ， 7 1 72 22 1 7 50.127 4 1.547 lg0.25 1407 428 7 ii i i i xvxv d xx 把(4,1.54)代入lglgvcxd，得lg0.54c ， 0.54 0.25vx， lg0.540.25yx ， 0.54 0.250.25 103.47 10 xx y ， 即y关于x的回归
28、方程为 0.25 3.47 10 x y （3）设生产了x千件该产品， 则生产总成本为 0.25 ( )3.47 1010 1000 x g xx ， 又 0.25 ( )3.47 1010000 x g xx在其定义域内单调递增， 且 3 (12)3.47 10120000123470g， 故最多能生产12千件产品 22 【答案】 （1）分布列见解析，54E； （2）45,70， * xN 【解析】 （1）设商店某天销售A商品获得的利润为（单位：元） ， 当需求量为3时，15 35 (43)40 ， 当需求量为4时，15 460， 当需求量为5时，15 460， 的分布列为： 则40 0.3
29、60 0.754E（元） ， 所以商店该天销售A商品获得的利润均值为54元 （2）设销售A商品获得的利润为Y， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进的A商品的件数取值可能为3件，4件，5件， 当购进A商品3件时， 70 (3015)3 0.3(3015)3(3015)345 100100 xx EY ， 当购进A商品4件时， 70 (30 15) 3(15 10) 1 0.3 (30 15) 4(30 15) 4 100100 xx EY 54， 当购进A商品5件时， (30 15) 3(15 10) 2 0.3 (30 15) 4(15 10) 1 100 x EY 70 (30 15) 5630.2 100 x x ， 63 0.2EYx， 由题意63 0.254x，解得45x， 又知100 3070 x，所以x的取值范围为45,70， * xN
