1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 15 单元单元 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一一、简答题简答题 1已知 34f xxx （1）求不等式 9f x 的解集
2、； （2）若 f x的最小值是k，且 222 abk，求证： 22 916 1 ab 2设函数 40f xxaxa （1）当2a时，求不等式 1f xx的解集； （2）若对任意x，不等式 8 2f x a 恒成立，求a的取值范围 3已知函数 1 x fx a ， 1 g xx a （1）当1a 时，求不等式 21f xg x的解集； （2）若1a 、1b，证明： 11 fg bb 4已知实数正数 , x y满足 1xy （1）解关于x的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 119 xy 5 已知函数 11f xxx ， 22 g xxaxb， 其中a，b均为正实数， 且 2
3、ab （1）求不等式 1f x 的解集； （2）当xR时，求证： f xg x 6设函数 3 1f xxx （1）求不等式 2 3f xx的解集； （2）若函数 f x的最大值为m，且正实数a、b满足abm，求 11 11ab 的最小值 7已知函数( ) | 2|f xx （1）解不等式( )3 |3|f xx ； （2）若( ) |3|f xx的最小值为m，且a b cm ，证明： 222 1 3 abc 8已知a，b，c均为正实数，且 1abc，证明： （1） 222 1 1112 abc abc ； （2） 333 111 81 abc 9已知对任意实数x，都有 240 xxm 恒成立
4、（1）求实数m的范围； （2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 41 5326 n abab 时，求47ab的最小值 10已知函数 22 1f xxx （1）求不等式 6f x 的解集； （2）若函数 f x的最小值为m，且实数a，b满足 22 2abm，求34ab的最大值 高三数学卷（B） 第第 15 单元单元 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 答答 案案 一一、简答题简答题 1 【答案】 （1）| 54xx ； （2）证明见解析 【解析】 （1） 349f xxx， 等价于 4 349 x xx 或 43 349 x xx 或 3 349 x xx ， 得54x 或43x 或34x
5、， 综上：不等式 9f x 的解集| 54xx （2）因为 34347f xxxxx ， 所以 f x的最小值为 7，即7k 所以 22 2222 9161916 49 ab abab 2222 2222 19161916 9162521 4949 baba abab ， （当且仅当 2 21a ， 2 28b 时，等号成立） 即证： 22 916 1 ab 2 【答案】 （1） 5 ,7 3 ； （2）,02,U 【解析】 （1）当2a时， 62 ,2 242,24 26,4 xx f xxxx xx ， 当2x时， 1f xx，即6 21xx，解得 5 2 3 x； 当24x时， 1f x
6、x，即21x，解得24x； 当4x时， 1f xx，即261xx ，解得47x， 故不等式 1f xx的解集为 5 ,7 3 （2） 444f xxaxxaxa， 2 48 42 a a aa 当 2 4 0 a a ，即0a或4a时，不等式显然成立； 当 2 4 0 a a ，即04a时，有 2 4 4 a a a ，解得24a， 故a的取值范围为,02,U 3 【答案】 （1） 2 2 3 x xx 或； （2）证明见解析 【解析】 （1）当1a 时， 3,1 212131,11 3,1 xx f xg xxxxx xx ， 当1x 时，3 1x ，解得2x； 当11x 时，31 1x ，
7、解得 2 3 x ，故 2 1 3 x ； 当1x时，3 1x 恒成立， 故不等式 21f xg x的解集为 2 2 3 x xx 或 （2）当1a 、1b时，要证 11 fg bb ， 只需证 111 1 abba ，即证1abab ， 因为 22 222222 11110ababa babab ， 所以1abab ，原不等式成立， 即当1a 、1b时， 11 fg bb 4 【答案】 （1） 1 ,1 6 ； （2）证明见解析 【解析】 （1）1,0,0 xyxy且， 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx ， 解得 1
8、 1 6 x， 所以不等式的解集为 1 ,1 6 （2）解法 1：1xy，且0,0 xy， 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22 22 222222 5259 22yyxx xxy xyyxyx y xyxy xyyxyx 当且仅当 1 2 xy时，等号成立 解法 2：1xy，且0,0 xy， 22 2222 1111 11 xy xyxy 2222 1111111xxyyx yy xxyxy xyxxyy 2 2 19 2 2 1 xy xy ， 当且仅当 1 2 xy时，等号成立 5 【答案】 （1） 1 , 2 ； （2）证明见解析 【解析】 （1）
9、由题意， 2,1 2 ,11 2,1 x f xxx x ， 当1x时， 21f x ，不等式 1f x 无解； 当11x 时， 21f xx，解得 1 2 x ，所以 1 1 2 x； 当1x时， 21f x 恒成立， 所以 1f x 的解集为 1 , 2 （2）当xR时， 11112f xxxxx ； 222222 g xxaxbxaxbab， 而 2 2 22 22 222 22 abab abababab ， 当且仅当1ab时，等号成立，即 22 2ab， 因此，当xR时， 22 2f xabg x， 所以，当xR时， f xg x 6 【答案】 （1）0,； （2） 2 3 【解析】
10、 （1）因为 4,3 22,31 4,1 x f xxx x ， 当3x时，由 2 3f xx，可得出2 34x，解得2x，此时x； 当31x 时，由 2 3f xx，可得出222 3xx ，解得0 x，此时01x； 当1x 时，由 2 3f xx，可得出2 34x，解得 2 3 x ，此时1x ， 所以不等式 2 3f xx的解集为0, （2）根据（1）可知，函数 yf x的最大值为4，即4ab， 所以 11 1 6 ab 11111111 1111 11611611 ba ab ababab 111 22 611 12 22 63 ba ab ， 当且仅当2ab时，等号成立，所以 11 1
11、1ab 的最小值为 2 3 7 【答案】 （1）1,4； （2）证明见解析 【解析】 （1）原不等式即|2|3| 3xx， 由 3 233 x xx ，解得34x； 由 23 233 x xx x ，解得23x； 由 2 233 x xx ，解得12x， 综上可得原不等式的解集为1,4 （2）因为|2|3| |(2)(3)| 1xxxxm ，所以1abc， 要证原不等式成立，即证 222 31abc 因为 222222222222 3 abcabcabbcac 2222 222()1abcabbcacabc， 当且仅当 1 3 abc时取等号，所以原不等式成立 8 【答案】 （1）证明见解析；
12、 （2）证明见解析 【解析】 （1）因为a，b，c均为正实数，且1abc， 所以1 a，1 b，1c均为正数 所以 222222 1 (1)(1)(1) 1112111 abcabc abc abcabc 222222 222 1(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2111111 abbaaccacbbc abc abaccb 222222 222 1(1)(1)(1)(1)(1)(1) 222 2111111 abbaaccacbbc abc abaccb 2222 111 222() 222 abcabacbcabc 所以 222 1 1112 abc abc ，当且仅当 1 3 abc
13、时，等号成立 （2）因为a，b，c均为正实数，且1abc，所以 3 13abcabc ， 所以 1 27 abc ，即 1 27 abc ，当且仅当 1 3 abc时，等号成立 因为 3 333333 1111113 381 abcabcabc ， 所以 333 111 81 abc ， 当且仅当 1 3 abc时，等号成立 9 【答案】 （1）6m； （2）9 【解析】 （1）对任意实数x，都有240 xxm恒成立， 又24246xxxx，6m （2）由（1）知6n，由柯西不等式知： 4141 47475329 532532 abababab abababab ， 当且仅当 3 13 a ，
14、 15 13 b 时取等号， 47ab的最小值为9 10 【答案】 （1）1,3； （2）5 3 【解析】 （1） 1 33, 2 1 2211,2 2 33,2 xx f xxxxx xx ， 6f x 等价于 1 2 336 x x 或 1 2 2 16 x x 或 2 336 x x ， 解得 1 1 2 x 或 1 2 2 x或23x 故不等式 6f x 的解集为1,3 （2）由（1）知 f x在 1 , 2 上单调递减，在 1 , 2 上单调递增， 所以 min 13 22 f xf ， 则 22 3ab，故 2222 34345 3abab， (当且仅当 3 3 5 a ， 4 3 5 b 时取等号)， 即34ab的最大值为5 3
