1、 2020 南通名师高考数学原创押题卷 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结 東后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上. 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 如有作图需要，须用 2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 球的体积 3 4 3 VR 求 ，其中 R 为球的半径. 一、
2、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合2, 1,0,1,2A ，0,Bx xxR，则AB _. 2.已知复数 z 的实部为 0，且满足14i zai，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是_. 3.下图是根据某学校 1000 位学生的身高（单位：厘米）制成的频率分布直方图，则所调查的学生中身高在 165,185内的学生人数是_. 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的I的值是_. 5.函数 1 1ln 2yx x 的定义域是_. 6.在区间0,6中任取一个数 x.则能使 2，3，x 是某个三角形三边长的概率是_.
3、 7.在平面直角坐标系xOy中，曲线 3x yxax e在点0,0处的切线方程为30 xy（e 是自然对数的 底数） ，则实数 a 的值是_. 8.在正方体内有一个球，该球与正方体的六个面均相切.记正方体的体积为 1 V，球 O 体积为 2 V，则 1 2 V V 的值 是_. 9.设三个等差数列 n a， n b， n c的前 n 项和分别为 n S， n T， n U.已知 222 98abc ， 777 88abc ，则 101101101 STU的值是_. 10.已知函数 2 2f xxx， 2,1 ,1 xx g x x x ，则不等式 3f xg x的解集是_. 11.已知e是单位
4、向量，向量a满足4a e ，且 2 10aate对任意实数 t 恒成立，则a的取值范围是 _. 12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 2 13 9 xy a a 与为双曲线 22 2 1 4 xy m 有公共焦点 1 F， 2 F.设 P 是椭圆与双曲线的一个交点，则 12 PFF的面积是_. 13.已知sin 23sin 2aa，tan3 3，则tan的值是_. 14.已知二次函数 2 f xxbxc，当,x 时， 1f x ，则的最大值是_. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步驟. 15.（本小题满分 1
5、4 分） 在平面直角坐标系中，设向量cos ,sinpAA，sin,cosqBB，其中 A，B 分别是ABC的两个内 角. （1）若/p q，求 C 的值； （2）若sin2p qC，2AB ，求ABC的面积的最大值. 16.（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABBC，2AFFP，D为AC的中点，E 为BC中 点，求证： （1）BDPC； （2）/PE平面FBD. 17.（本小题满分 14 分） 为防止新冠肺炎病毒的传播，净化空气，确保医务人员的安全，某医院决定喷洒一种消毒剂，每天 2 次.根 据实验知，每喷洒该消毒剂 1 个单位，空气中释放出有效杀毒成份浓
6、度 y（毫克/立方米）随时间 x（小时） 的变化近似为 41,012 6,1224 4 xx y x x .当空气中的有效杀毒浓度不少于 4（毫克/立方米）时，才能起 到杀死新冠肺炎病毒的作用.若第一次喷洒时间为 6:00，且喷洒 4 个单位的消毒剂. （1）问第一次喷洒后多少小时内有效杀毒？ （2） 若第二次喷洒时间为当日 22:00， 则第二次至少喷洒多少个单位的消毒剂， 使一天内 （6:00 到次日 6:00） 都能有效杀毒. 18.（本小题满分 16 分） 如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab ， 22 2 22 :10 44 xy Cab ab
7、 ，椭圆 2 C的右 顶点和上顶点分别为 A 和 B，过 A，B 分别引椭圆 1 C的切线 1 l， 2 l，切点为 C，D. （1）若2a，1b，求直线 1 l的方程； （2）若直线 1 l与 2 l的斜率之积为 9 16 ，求椭圆 1 C的离心率. 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 ln x fx x ， 10g xk xk. （1）求 f x的单调区间； （2）证明： 11 fg kk ； （3）若关于 x 的方程 f xg x有唯一解，求 k 的值. 20.（本小题满分 16 分） 数列 n a满足： 1 1a ， 2 2a ， 2 11 11,2,3, n nnn aaan
8、. （1）当3n时，求 1 2 nn n aa a 的值； （2）设 1 21 nnn baa ， 22 121nnnn caaa .证明： 数列 n b是等比数列； 数列 n c是等差数列. 数学（附加题） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页，均为解答题（第 2123 题）.满分为 40 分，考试时间为 30 分钟.考试结束后，请将答题卡 交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上. 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 如有
9、作图需要，须用 2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 21.【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，每小题 10 分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修 4-2：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分） 已知矩阵 43 21 A . （1）求A的逆矩阵 1 A； （2）求矩阵A的特征值. B.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点2, 6 A ，1, 3 B ，2, 3 C . （1）求直线BC的极坐标方程； （2）求ABC的面积. C.【选修
10、4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知 a，b，c 是非负实数，满足1abc . 求23 23 bc abca 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 4AA ，2AB ，E，F 分别是BC， 1 BB的中点. （1）求直线AF与平面 1 C DE所成角的正弦值； （2）求二面角 1 AAFD的余弦值. 23.（本小题满分 10 分） 设 12 , n a aa的值分别独立地从集
11、合1,2,n中随机选取，记由 12 , n a aa组成的数集的元素个数为 X. （1）当3n时，求2X 的概率； （2）求 X 的数学期望EX. 2020 南通名师高考数学原创押题卷参考答案 数学 1.【答案】2, 1. 【解析】21,01,20,2, 1ABx xxR ，. 2.【答案】4. 【解析】法一：由14i zai，得 4141 44 122 aiiai zaai i .再由z的实部 为 0，得4a. 法二：设zbi，bR.由14i biai，得4ab . 3.【答案】650. 【解析】在165,185的学生数为0.03 0.03510 1000650. 4.【答案】5. 【解析】
12、I的值分别为 1，3，7，5，最后输出的值为 5. 5.【答案】,0，1,2. 【解析】原函数的定义域是 1 10 20 x x ，解得12x.或0 x 6.【答案】 2 3 . 【解析】要使 2，3，x能构成一个三角形，则3 23 2x ，即15x，故其概率为 42 63 . 7.【答案】3. 【解析】由 32 3 x yxxaxa e ， 0 x ya ，故3a . 8.【答案】 6 . 【解析】设球的半径为 R，则正方体的棱长为2R， 3 1 8VR， 3 2 4 3 VR ，故 1 2 6 V V . 9.【答案】0. 【解析】因为 n a， n b， n c都是等差数列，所以数列 n
13、nn abc也是等差数列，且公差 8898 2 72 d ，故 111 100abc ， 101101101 100 101 100 10120 2 STU . 10.【答案】53xx . 【解析】法一：因为 11g xx ，所以不等式 3f xg x等价于 2 2313xxx ，这等价于 2 10143 xx，于是，14x，解得53x . 法二：原不等式等价于 2 236 1 xxx x 或 2 23 1 xxx x ，解得13x 或51x ，即53x . 11.【答案】2 5,4 5 【解析】在平面直角坐标系中，不妨设1,0e ，由4a e ，得4,as，则 2 22 16104sts 对
14、任意实数 t 恒成立，所以 2 1610ss，解得28s，故 2 464s，2 54 5a. 12.【答案】6. 【解析】根据对称性，不妨设 P 在第一象限.由题设可知 2222 12 49444FFamc. 即 22 13am， 22 9ac， 22 4cm. 根据椭圆与双曲线的定义得 121 122 2 2 PFPFaPFam PFPFmPFam ， 在 12 PFF中，由余弦定理得 22 2 222 1212 12 12 4 cos 22 amamcPFPFFF FPF PFPFamam 2222222 2222 2 5 13 amcaccm amam . 所以， 12 12 sin 1
15、3 FPF， 1 2 22 1212 1112 sin6 2213 PF F SPFPFFPFam . 13.【答案】3. 【解析】由sin 23sin 2得sin2 coscos2 sin3sin2 cos3cos2 sin， 则tan22tan， 2 1tan tantan2 21tan . 而 2 3 2 tan tan tantan 1 tan tantan tan 1tantan 1tan 1 tan . 所以， 3 tantan3 3 ，即tan3 . 14.【答案】2 2. 【解析】 （方法 1）由,x 时， 1f x 得 2 2 1 1 1 222 fbc fbc fbc 由2
16、 得 2 24 22 fff ，故2 2. 而当 2 1f xx，22x ，时， 1f x ，此时2 2. （方法 2）由条件和设问知，该问题与对称轴的位置无关，不失一般性，可设0b. 因是求的最大值，由二次函数图象特征知， ，且1c .下略. 15.【解析】 （1）由/p q，即coscossinsinABAB，所以cos0AB. 因为0AB，所以 2 AB ，故 2 C . （2）由sin2p qC得cossinsincossin2ABABC，即sinsin2ABC， 因为ABC，CAB，所以sinsinsin2CABC.即sin2sincosCCC. 因为0,C，sin0C ，所以 1
17、cos 2 C ，即 3 C . 由余弦定理 222 2cosababCc得 22 4abab， （a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边） 由基本不等式 22 2abab得4ab，当且仅当2ab时，取得等号. 所以 13 sin3 24 ABC SabCab ，当且仅当2ab时，取得等号. 所以ABC面积的最大值为3. 16.【证明】 （1）因为 D 是AC中点，ABBC，所以BDAC. 又因为PA 平面ABC，BD 平面ABC，所以PABD. 又PA，AC 平面PAC，PAACA，所以BD 平面PAC， 因为PC 平面PAC，所以BDPC. （2）连AE交BD于 G，连FG. 因为 D
18、，E 分别为ABC边AC，BC的中点， 所以 G 是ABC的重心，于是:2:1AG GE . 又由已知得2AFFP，即:2:1AF FP，所以 AGAF GEFP ，所以/FG PE. 因为FG 平面FBD，PE 平面FBD，所以/PE平面FBD. 17.【解析】 （1）设早上六点为 0 时，设过x小时后，空气中有效杀毒浓度为 f x（毫克/立方米） ，则 441 ,012 4 24,1224 xx f xy xx . 当012x时， 4414 2 14f xx. 当1224x时，由244x，得20 x. 答：第一次喷洒 4 个单位消毒剂后 20 个小时内有效杀毒. （2） 晚上 10 点时，
19、 距离早上第一次喷洒已 16 个小时， 若第二次喷洒剂量为a单位， 则第1624xx时 小后，空气中有效杀毒浓度 g x（毫克/立方米） ， 则 12124g xaxx，1624x 令12xt，则22 3t ， 2 12xt. 2 12g xh ttata ， 要使一天内都有效杀毒，则 4h t 在区间2,2 3 上恒成立. 即 24 4 2 342 31 h a h . 答：第二次至少喷漆 4 2 31 11 个单位的消毒剂，使一天内都有效杀毒. 18.【解析】 （1）当2a，1b， 2 2 1: 1 4 x Cy， 22 2: 1 164 xy C.4,0A， 设过4,0A处的切线方程为4
20、yk x，代入 1 C，得 2222 14326440kxk xk. 令 2 222 324 1 46440kkk ，得 2 1 12 k ， 3 6 k ，所以 1 l的方程为： 3 4 6 yx . （2）设 1 l， 2 l的斜率分别为 1 k， 2 k，则 12 9 16 k k ， 1 l， 2 l的方程分别： 1 2ykxa， 2 2ybk x. 联立 1 22 22 2 1 ykxa xy ab ，消去y，得 2222324222 111 440ba kxa k xa ka b. 由 642224222 111 16440a kba ka ka b ，得 222 1 3a kb.
21、 联立 2 22 22 2 1 ybk x xy ab ，消去y，得 2222222 22 430ba kxa bk xa b. 由 42222222 22 16120a b kba ka b ，得 222 2 3a kb. 得 4224 12 a k kb， 7 34 4 abe. 19.【解析】 （1）因为 2 1 ln x fx x ，令 0fx ，得xe，列表如下： x 0,e e , e fx 0 f x 极大值 所以 f x的单调减区间为, e ，单调增区间为0,e. （2） 1111 ln1fg kkkk . 令 ln1h xxx，则 1 0 x h x x ，得1x . 所以当
22、0,1x时， 0h x， h x在区间0,1单调减； 当1,x时， 0h x， h x在区间1,单调增. 所以 10h xh.故当0k 时， 1 0h k ，即 11 ln1 kk ，所以 11 fg kk . （3）方程 ln 1 x f xg xk x x ，且1x 是原方程的一个根. 令 ln 1 x m xk x x ， 2 1 ln x m xk x .令 0m x ，即 2 ln10kxx .（*） 下面证明，只有1k 时，函数 m x有唯一零点. 当1k 时， 2 1 ln 1 x m x x ，且 10 m . 所以 m x在0,1为单调增函数，在1, 10上为单调减函数.故函
23、数 m x有唯一零点. 当01k时，令 2 ln1n xkxx， 因 110nk ， 11 ln1ln0nkk kk ， 又因为 n x为增函数，所以方程（*）在 1 1, k 有唯一根，记为 0 x， 当 0 0,xx， 2 0 n x m x x ， 所以 m x在 0 0,x单调增，故 0 10m xm， 而由（2）可知 1 0m k ，即 0 1 0m xm k ， 所以，函数 m x在区间 0 1 ,x k 至少再有一个零点，所以函数 m x至少有两个零点. 当1k 时，同理可证函数 m x在区间 0 1 ,x k 还有一个零点. 综上所述，若方程 f xg x有唯一的解，则1k .
24、 20.【解析】 （1）由 1 1a ， 2 2a ，得 3 5a ， 1 22 222 12 222113113 112121212 1 n nn nnnnnnnnnnn nnnnnnnnn aaaaa aaaaaaaa aaaaaaaaa 1331 22 2 nn n aaaa aa . （2）由（1）可知 2 1 2 nn n aa a ，即 21 2 nnn aaa ， 则 12111 2112122112 nnnnnnnn baaaaaab ， 又 21 21120aa ，公比12q 所以数列 n b是等比数列，公比12q . 由 22 121nnnn caaa ，于是 2222 1
25、2123121nnnnnnnn ccaaaaaa 222321nnnnnn aaaaaa 1222 22 nnnn aaaa . 211231241222 2222 nnnnnnnnnnnn ccccaaaaaaaa 23123 224 nnnnn aaaaa 22112123 22224 nnnnnnn aaaaaaa 22 21231 4444 nnnn aaac . 所以 21 6 nnn ccc ， 易得 12 0cc，根据递推式可知，0 n c ，1,2,3n . 所以数列 n c是等差数列. 数学（附加题） 21.A.【解析】 （1）由 43 422 21 A ，所以 1 13 2
26、2 12 A . （2） 43 4160 21 f ，解得 533 2 . 21.B.【解析】 （1）因为极点0,0在直线BC上，所以BC的极坐标方程为： 3 ，R. （2）设 O 为极点，则点 O，B，C 三点共线，且 B 是OC的中点，所以 1111 sin 222362 ABCOAC SSOA OC . 21C.【证明】由柯西不等式 2 2 23231 2323 bcbc abcaaabcabc 当1a ，0bc时不等式等号成立，所以欲求的最小值为 1. 22.【解析】以DA为 x 轴，DC为 y 轴， 1 DD为 z 轴，建立如图的空间坐标系.则0,0,0D，2,0,0A， 1 2,0
27、,4A，0,2,0C， 1 0,2,4C，1,2,0E，2,2,2F. （1）设平面 1 C DE的法向量, ,1nx y，则 , ,11,2,00 0,20 4, 2,1 , ,10,2,4400 0 2 x y n DExy n x y nC y D . 设直线AF与平面 1 C DE所成角为，则 42 sin 42 n AF n AF . （2）平面 1 AAF的一个法向量 1 1,0,0n ，同（1）可求得平面 1 ADF的法向量 2 2,1,1n . 设二面角 1 AAFD为，由图可知，是锐角，所以 12 12 3 cos 3 n n n n . 23.【解析】 （1） （法一）当3
28、n时， 123 ,a a a共有以下 27 种不同的情况 1,1,1，1,1,2，1,1,3，1,2,1，1,2,2，1,2,3， 1,3,1，1,3,2，1,3,3，2,1,1，2,1,2，2,1,3， 2,2,1，2,2,2，2,2,3，2,3,1，2,3,2，2,3,3， 3,1,1，3,1,2，3,1,3，3,2,1，3,2,2，3,2,3， 3,3,1，3,3,2，3,3,3. 其中有 2 个不同数字的有 18 个，故 182 2 273 P X . （法二）共有 27 个 123 ,a a a，只有一个数的有 3 个，三个都不相同的有 3！ ，故恰有 2 个数的有 273 618 .故 182 2 273 P X . （2）对于任意 R，定义随机变量 12 12 1, 0, , , n k n X ka aa ka aa 若 在中出现 若 不在中出现 ，1,2,kn. 则 k EX即为k在 12 , n a aa中出现的概率. 对于每个 i a，它不是k的概率为 1n n ，故 1 1 n k n EX n . 所以 12 1 11 1 n n n n n nnn EXEXEXEXn nn .
