1、 2021 届单元训练卷高三文科数学卷（A） 第第 8 单元单元 不等式不等式 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知集合 2 |230Ax xx ， |lg Bx yx，则AB （ ） A 1, ) B(0,1 C 1,0) D(0,3 2已知a，bR，且ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A 22 ab Blg()0ab C 11 ( )( ) 22 ab D1 a b 3下列函数中，最小值为4的是（ ） A 4 yx x B 4 sin(0) sin yxx x C 4 x x ye e D 2 2 2 1 1 yx x 4设1ab，0c ，给出下列三个结论： cc ab ； cc ab；log (
3、 )log () aa acbc， 其中所有的正确结论的序号是（ ） A B C D 5对任意正实数x，不等式ln1xxa 恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A1a B2a C1a D3a 6已知实数x，y满足约束条件 20 220 1 xy xy x ，则目标函数 2 1 y z x 的最小值为（ ） A 2 3 B 5 4 C 4 3 D 1 2 7已知 22 log (2)log (1)1ab，则2ab取到最小值时，ab（ ） A3 B4 C6 D9 8某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见 选票这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别
4、为总票数的88%，70%，46%，则本次投 票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（ ） A68% B88% C96% D98% 9定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值若关于x的不 等式 2 60 xaxa有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是（ ） A( , 251,) B 25,24)(0,1 C 25,0)4)(1,2 D 25,1 10已知函数log (3)2( 0,1) a yxaa的图像恒过定点A，若点A在直线40mxny 上，其中0m，0n，则 41 mn 的最小值是（ ） A9 B4 C 9 2 D8 11几何原本中
5、的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要 依据通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明如 图所示的图形，在AB上取一点C，使得ACa，BCb，过点C作CDAB交圆周于D，连 接OD，作CEOD交OD于E，则下列不等式可以表示CDDE的是（ ） A 2 (0,0) ab abab ab B(0,0) 2 ab ab ab C 22 (0,0) 22 abab ab D 22 2(0,0)abab ab 12已知可导函数( )f x的导函数为 ( )fx ，若对任意的xR，都有( )( ) 1f xfx ，且 ( )2019f x 为
6、奇函数，则不等式( )20181 x f xe的解集为（ ） A(0, ) B(,0) C 1 (, ) e D 1 ( ,) e 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 14a， 6 23a，则 6 S的取值范围是_ 14函数 2 ( )28( 46)f xxxx ，在其定义域内任取一点 0 x，使 0 ()0f x的概率是 _ 15若点( , )P x y满足 10 2350 4310 x xy xy ，点( , )Q x y在圆 22 (2)(2)1xy上，则| |PQ的最大 值为_
7、16已知0a，0b，若不等式 31 0 3 m abab 恒成立，则m的最大值为_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知 2 ( )3(6)f xxaa xb （1）解关于a的不等式(1)0f； （2）若不等式( )0f x 的解集为( 1,3)，求实数a，b的值 18（12 分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110 x ），每小时可 获得利润是 3 100(51)x x 元 （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，
8、求x的取值范围； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 19（12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，其中 1 2a ， * 1 32() nn aSn N，数列 n b满 足 2 log nn ba （1）求数列 n b的通项公式； （2）令 1 1 n nn b c b ，数列 n c的前n项和为 n T，若(20) n nkT对一切 * nN恒成立，求实数k 的最小值 20（12 分）设 n a是函数( )1 n n fxxnx的零点， * nN， (0,)x （1）求证：(0,1) n a ，且 1nn aa ； （2）求证：
9、 222 12 1 n aaa 21（12 分）已知函数 2 1 ( ) x axx f x e （1）求曲线( )yf x在点(0, 1)处的切线方程； （2）证明：当1a 时，( )0f xe 22（12 分）已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的
10、合题目要求的 1【答案】D 【解析】由题意知 2 |230 | 13Ax xxxx ， |lg |0Bx yxx x， |03(0,3ABxx 2【答案】C 【解析】对于 A，令0a，1b， 2 00， 2 ( 1)1，满足ab， 但不满足 22 ab，故排除； 对于 B，令0a，1b，lg()lg10ab，故排除； 对于 C， 1 ( ) 2 x y 为减函数，当ab时， 11 ( )( ) 22 ab ，故 C 恒成立； 对于 D，令0a，1b， 0 1 1 a b ，故排除 3【答案】C 【解析】当a、b R时，2abab，当且仅当ab时取等号， 4 4 x x e e ，当且仅当 2
11、x e 时取等号 4【答案】D 【解析】由不等式及1ab知 11 ab ， 又0c，所以 cc ab ，正确； 由幂函数的图像与性质知正确； 由1ab，0c，知11acb cc ，由对数函数的图像与性质知正确 5【答案】A 【解析】记( )ln1f xxx， 11 ( )1 x fx xx ， ( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， ( )f x的最小值为(1)2f， 不等式ln1xxa 恒成立的等价条件为2a， 不等式ln1xxa 恒成立的一个充分不必要条件是1a 6【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数 2 1 y z x 的几何意义为动点( ,
12、 )M x y到定点( 1,2)D 的斜率， 当M位于 1 (1,) 2 A时，此时DA的斜率最小，此时 min 1 2 5 2 1 14 z 7【答案】D 【解析】由 22 log (2)log (1)1ab，可得20a，10b 且(2)(1)2ab 所以22(2)(1)52 2(2)(1)52 2 259ababab ， 当2(2)1ab且(2)(1)2ab时等号成立，解得3ab， 所以2ab取到最小值时3 39ab 8【答案】C 【解析】设投1票的有x，2票的y，3票的z，则 23204 100 , , xyz xyz x y z N ， 则4zx，即4zx， 由题投票有效率越高z越小，
13、则0 x时，4z ， 故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96% 9【答案】B 【解析】因为关于x的不等式 2 60 xaxa有解，所以 2 240aa， 解得24a或0a， 设方程 2 60 xaxa的两个根分别为 1 x和 2 x，则 12 xxa， 12 6x xa ， 又因为解集区间长度不超过5个单位长度， 所以 12 | 5xx，所以 22 1212 225xxx x， 即 2 1212 ()425xxx x，所以 2 2425aa，解得251a， 综上可得实数a的取值范围是 25,24)(0,1 10【答案】C 【解析】由题得( 2, 2)A ，所以2240mn，
14、所以2mn， 所以 1 4114149 () ()(5)(52) 222 4 2 1nmn m mn mnmnmmnn 当且仅当 4 3 m ， 2 3 n 时取到最小值 9 2 11【答案】A 【解析】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以90ADB， 所以在ADBRt中，中线 22 ABab OD ， 由射影定理可得 2 CDAC CBab，所以CDab， 在DCORt中，由射影定理可得 2 CDDE OD，即 2 2 2 CDabab DE ab ODab ， 由CDDE，得 2ab ab ab 12【答案】A 【解析】构造函数 ( ) 1 ( ) x f x g x e ，则 ( )(
15、) 1( )( ) 1 ( )0 xxx fxf xfxf x g x eee ， 所以函数 ( ) 1 ( ) x f x g x e 在R上单调递减， 由于函数( )2019yf x为奇函数，则(0)20190f， 则(0)2019f， 0 (0) 1 (0)2018 f g e ， 由( )20181 x f xe，得( ) 12018 x f xe ，即 ( ) 1 2018 x f x e ，所以( )(0)g xg， 由于函数( )yg x在R上为单调递减，因此0 x 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13【答案】 12,4
16、2 【解析】由题知 1 144ad， 1 253ad， 则 6111 61515(4 )9(5 )Sadadad， 再由不等式的性质知 6 12,42S 14【答案】 3 5 【解析】函数 2 ( )28( 46)f xxxx ， 若 0 ()0f x，即 2 00 280 xx，解不等式可得 0 24x ， 因为函数定义域为46x ，则使 0 ()0f x的概率为 4( 2)3 6( 4)5 p 15【答案】6 【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示， 因为( , )Q x y在圆 22 (2)(2)1xy上， 所以即求可行域内到点( 2, 2)距离加半径即可， 由图可知，可行域内点
17、( 2,3)到点的( 2, 2)距离最大，所以|23| 5d ， 所以PQ最大值为5 16 16【答案】16 【解析】因为0a，0b， 所以 31 0 3 m abab 恒成立等价于 333 ()(310 1 ) ba mab abab 恒成立， 因为 3333 1010216 baba abab （ ab ba 时等号成立）， 所以16m，m的最大值为16 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）见解析；（2） 33 9 a b 或 33 9 a b 【解析
18、】（1）(1)0f，3(6)0aab ，即 2 630aab ， 2 ( 6)4(3)244bb ， 当0，即6b时，原不等式的解集为； 当0，即6b时，方程 2 630aab 有两根 1 36ab ， 2 36ab ， 不等式的解集为(36,36)bb， 综上所述：当6b时，原不等式的解集为； 当6b时，原不等式的解集为(36,36)bb （2）由( )0f x ，得 2 3(6)0 xaa xb，即 2 3(6)0 xaa xb， 它的解集为( 1,3)，1与3是方程 2 3(6)0 xaa xb的两根， (6) 1 3 3 1 3 3 aa b ，解得 33 9 a b 或 33 9 a
19、 b 18【答案】（1）3,10；（2）甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最 大，最大利润为457500元 【解析】（1）根据题意， 3 200(51)3000 x x ，整理得 3 5140 x x ， 即 2 51430 xx， 又110 x，可解得310 x， 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是3,10 （2）设利润为y元， 则 442 2 131161 9 10 (5)9 103() 6 9003 1 1 00) 2 (51 xxxx yx x ， 故6x时， max 457500y元， 即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克
20、该产品获得的利润最大，最大利润为457500元 19【答案】（1）21 n bn；（2） 3 161 【解析】（1）由 1 2a ， * 1 32() nn aSn N， 可得2n时， 1 32 nn aS ， 两式相减得 * 11 34(,2) nnnnn aaaaa nn N， 又由 1 2a ， * 1 32() nn aSn N，可得 221 84aaa， 数列 n a是首项为2，公比为4的等比数列， 从而 121 2 42 nn n a ，于是 21 22 loglog 221 n nn ban （2）由（1）知 1 11111 () (21)(21)2 2121 n n b c b
21、 bnnnn ， 于是 11 (1) 23 n T 1111 ()() 35212121 n nnn ， 依题意 (21)(20) n k nn 对一切 * nN恒成立， 令 ( ) (21)(20) n f n nn ， 则 1 (1)( ) (23)(21)(21)(20) nn f nf n nnnn (1)(21)(20)(23)(21) (23)(21)(21)(20) nnnnnn nnnn 2 2(10) (23)(21)(21)(20) nn nnnn ， 由于 * nN易知3n， (1)( )f nf n； 3n时， (1)( )f nf n， 即有 (1)(2)(3)(4)
22、(5)fffff， 只需 max 3 ( )(3) 161 kf nf， 从而所求k的最小值为 3 161 20【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1） 1 ( )0( ) n nn fxnxnfx 在(0, )上是单调递增的， n a是唯一的， 由(0)10 n f ，(1)0 n fn，且( ) n yfx的图象在(0,)上是连续不断的， (0,1) n a ， 又 11 ( )( )0 n n f nn ， 1111 ()()1()0 11111 nn n n f nnnnn ， 1111 , ) 11 nn aa nnnn ， 同理： 11 11 21 nnn aaa
23、 nn （2） 2 11 11 1 24 aa， 又 11 n n n a a nn ， 2222 12 111 ( )( )1 222 aa， 当3n时， 2222222 123 11111 ( )( )( ) 4434 n aaaa n 1111 22 33 4(1)nn 11111111 11 223341nnn 21【答案】（1）2 10 xy ；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意： 2 1 ( ) x axx f x e ， 得 22 2 (21)(1)22 ( ) () xx xx axeaxxeaxaxx fx ee ， 2 (0)2 1 f ， 即曲线( )yf x在点(0
24、, 1)处的切线斜率为2， ( 1)2(0) yx ，即210 xy （2）证明：由题意，原不等式等价于 12 10 x eaxx 恒成立， 令 12 ( )1 x g xeaxx ， 1 ( )21 x g xeax ， 1 ( )2 x g xea ， 1a ，( )0gx 恒成立，( )g x 在(,) 上单调递增， ( )g x 在(,) 上存在唯一 0 x使 0 ()0g x，即 0 1 0 210 x eax ， 0 1 0 21 x eax ，且( )g x在 0 (,)x上单调递减，在 0 (,)x 上单调递增， 0 ( )()g xg x 又 0 122 0000000 ()
25、1(1 2 )2(1)(2) x g xeaxxaxa xaxx ， 又 1 1 1 ()1 a ge a ， 1a ， 1 1 011 a ee ， 0 1 ()()g xg a ， 0 1 x a ， 0 ()0g x，得证 综上所述：当1a 时，( )0f xe 22【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1） 1 ( )lnf xxax x ， 2 2 1 ( ) xax fx x ，且方程 2 10 xax 的判别式 2 4a， 当22a 时，0，( )0fx ， 此时( )f x在(0,)上为单调递减； 当2a或2a时，0， 方程 2 10 xax 两根为 2 1 4 2
26、 aa x ， 2 2 4 2 aa x ， 当2a时，此时两根均为负，( )fx 在(0,)上单调递减； 当2a时，0，此时( )f x在 2 4 (0,) 2 aa 上递减，( )f x在 22 44 (,) 22 aaaa 上 单调递增，( )f x在 2 4 (,) 2 aa 上单调递减， 综上可得，2a时，( )f x在(0,)上单调递减； 2a时， ( )f x在 2 4 (0,) 2 aa ， 2 4 (,) 2 aa 上单调递减， ( )f x在 22 44 (,) 22 aaaa 上单调递增 （2）由（1）可得， 2 10 xax 的两根 1 x， 2 x得2a， 12 xx
27、a， 12 1x x， 令 12 0 xx， 1 2 1 x x ， 1211222112 12 11 ( )()ln(ln)2()(lnln)f xf xxaxxaxxxaxx xx 1212 1212 ( )()lnln 2 f xf xxx a xxxx ， 要证 12 12 ()() 2 f xf x a xx 成立，即要证 12 12 lnln 1 xx xx 成立， 即要证 1 12 2 2 12 ln 0(1) x xx x x xx 成立，即要证 22 2 12 1 2ln 0 xx x xx 成立， 即要证 222 2 1 2ln0(1)xxx x ， 令 1 ( )2ln(1)g xxx x x ，则 2 22 2121 ( )10 xx g x xxx ， 可得( )g x在(1,)上为增函数， ( )(1)0 g xg， 12 12 lnln 1 xx xx 成立，即 12 12 ()() 2 f xf x a xx 成立
