1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 13 单元单元 算法初步、推理与证明、复数算法初步、推理与证明、复数 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题
2、，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极 大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的 身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（ ） A60 B120 C180 D240 22019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行这次 阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异今年的
3、阅兵方阵有一 个很抢眼，他们就是院校科研方阵他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建若 已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位现知道：甲不是军 事科学院的；来自军事科学院的不是博士；乙不是军事科学院的；乙不是博士学位；国防 科技大学的是研究生则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A国防大学，研究生 B国防大学，博士 C军事科学院，学士 D国防科技大学，研究生 3将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、 三项分组， 得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)， (11,13)，(15,17,19)，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类
4、推，则原数列中的2021位 于分组序列中（ ） A第404 组 B第405 组 C第808 组 D第809 组 4如图的程序框图是为了求出满足1 111 2020 123n L的最小正整数n，那么在和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A2020S 和 1nn B2020S 和2nn C2020S 和 1nn D2020S 和2nn 5一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ） A 8 9 B 9 10 C10 11 D 11 12 6远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”， 下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次
5、排列的不同绳子上打结，满五 进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A27 B42 C55 D210 7复平面内，复数1 2i 2i 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 8在复平面内与复数 2i 1 i z 所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（ ） A1 i B1 i C1 i D1i 9若复数z满足： ( 2i)1 iz ，则z （ ） A 4 5 B 10 2 C 10 5 D 3 2 5 10若复数 3 2i 1 i z （i为虚数单位） ，则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11若zC且 22i1z ，
6、则1 2iz 的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 12已知i是虚数单位，复数z满足(i 1)iz，则z的虚部是（ ） A 1 2 B 1 i 2 C 1 i 2 D 1 2 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13若复数 3i () 12i a a R是纯虚数，则2ia 14用支付宝在淘宝网购物有以下几步：买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；淘 宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；买家收到货物，检验无问题，在 网上确认收货；买家登录淘宝网挑选商品；卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家他 们正确的顺序依
7、次为 15如图的算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为 16观察下列等式 11 2349 3 4 5 6 725 4 5 6 7 8 9 1049 照此规律，第n个等式为 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知i是虚数单位，复数 22 (56)3()izmmmm，mR （1）当复数 z为实数时，求 m的值； （2）当复数 z为虚数时，求 m的值； （3）当复数 z为纯虚数时，求 m的值 18 （12 分）已知复数 2 3()izxxx（xR
8、）的实部与虚部的差为 ( )f x （1）若( )8f x ，且0 x，求复数iz在复平面内对应的点的坐标； （2）当( )f x取得最小值时，求复数 12i z 的实部 19 （12 分）已知复数 2i (2i) i 1 zm （其中i是虚数单位，mR） （1）若复数z是纯虚数，求m的值； （2）求1z的取值范围 20 （12 分）已知函数( )yf x对应的程序框图如图所示： （1）若输入x的值为1，求输出的结果； （2）若 1 2 x ，求函数( )yf x的取值范围 21 （12 分） （1）已知x，y是实数，求证： 22 222xyxy （2）用分析法证明：672 25 22 （12
9、 分）设x、y都是正数，求证： 2 11 ()() 24 xyxyxyy x 高三数学卷（B） 第第 13 单元单元 算法初步、推理与证明、复数算法初步、推理与证明、复数 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】C 【解析】42千米42000米，2.5小时150分钟， 故运动员每分钟跑42000 150280米； 若运动员每分钟跑120步，280 1202.33，则运动员的身高超过2.33米不太可能； 若运动员每
10、分钟跑240步，280 240 1.17，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280 1801.56，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选 C 2 【答案】C 【解析】由题意甲不是军事科学院的，乙不是军事科学院的，则丙来自军事科学院；由来自 军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙 为学士 综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士，故选 C 3 【答案】B 【解析】正奇数数列1，3，5，7，9，的通项公式为21 n an， 则2021为第1011个奇数， 因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，
11、 共202 51010 个数，共202 2404 组 故原数列中的2021位于分组序列中第405组，故选 B 4 【答案】C 【解析】因为要求2020S 时输出，且框图在“否”时输出， 所以，“”不能填入 2020S ，所以排除 A，B 又因为n的初始值为1， 所以“ ”中n依次加1可保证S是n个连续正整数的倒数和 所以选项 D 错误，选项 C 正确，故选 C 5 【答案】B 【解析】由程序框图， 111111119 1 1 22 39 1022391010 S ，故选 B 6 【答案】B 【解析】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为 (5) 132 ， 化为十进制数为 2 (5) 13
12、21 53 5242 ，故选 B 7 【答案】D 【解析】由复数的除法运算法则，可得 1 2i(1 2i)(2i) ( 5i i 2i(2i) 2) i5 ， 所以复数的虚部为1，故选 D 8 【答案】D 【解析】由题 2i2i(1 i)2i2 1 i 1 i(1 i)(1 i)2 z ，在复平面对应的点为(1,1)， 关于虚轴对称点为( 1,1)，所以其对应的复数为1i ，故选 D 9 【答案】C 【解析】由题可知，( 2i)1 iz ， 则 1 i(1 i)( 2i)1 3i13 i 2i( 2i)( 2i)555 z ， 所以 22 131010 ()() 55255 z ，故选 C 1
13、0 【答案】B 【解析】 3 2i2i2i(1 (1 i)(1 i i) ) 1 i 1 i1 i z ，复数z在复平面上对应的点为( 1,1)，该点在第 二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选 B 11 【答案】A 【解析】设izxy，则 22 22(2)(2)i(2)(2)1zixyxy ， 即 22 (2)(2)1xy，表示圆心为( 2,2) ，半径为1r 的圆 22 1 2i(1)(2)i(1)(2)zxyxy ， 表示点( , )x y和(1,2)之间的距离，故 min 1 2i(1 ( 2)2zr ，故选 A 12 【答案】A 【解析】因为(i1)iz，所以
14、ii(1 i)1 i11 i i 1(1 i)(1 i)222 z ， 则z的虚部为 1 2 ，故选 A 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】10 【解析】因为 3i(3i)(1 2i)32(6)i 1 2i55 aaaa 为纯虚数， 则3 20a，60a，即 3 2 a ，所以2i3 i10a ，故答案为 10 14 【答案】 【解析】购买商品的流程应为：买家挑选买家购买卖家发货买家收货卖家收款，由此可确 定正确顺序为， 故答案为 15 【答案】 2,0 ( ) lg ,0 xx f x xx 【解析】由程序框图可知，当0
15、 x时，( )2f xx； 当0 x时，( )lgf xx， 故答案为 2,0 ( ) lg ,0 xx f x xx 16 【答案】 2 (21)n 【解析】根据题意，由于观察下列等式 11 2 3 49 3 4 5 6 725 4 5 6 7 8 9 1049 照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边 是最中间数字的平方， 故第n个等式为 2 (1)(2)(32)(21)nnnnn 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
16、【答案】 （1）0m或 3m； （2）0m且 3m； （3） 2m 【解析】复数 22 (56)3()izmmmm，mR （1）当复数 z为实数时，有 2 30mm，0m或 3m （2）当复数 z为虚数时，有 2 30mm，0m且 3m （3）当复数 z为纯虚数时，有 2 2 30 560 mm mm ，解得 2m 18 【答案】 （1）(2,6)； （2） 7 5 【解析】 （1）由题意可得 22 ( )3()2f xxxxxx， 因为( )8f x ，所以 2 28xx， 又0 x，所以2x，即6 2iz ，则ii(62i)26iz ， 所以iz在复平面内对应的点的坐标为(2,6) （2）
17、因为 2 ( )(1)1f xx，所以当1x时，( )f x取得最小值，此时，3 2iz ， 则 32i(32i)(1 2i)74 i 12i12i555 z ， 所以 12i z 的实部为 7 5 19 【答案】 （1） 1 2 m ； （2） 2 5 1 5 z 【解析】 （1） 2i2i(i 1) (2i)(2i)(2i)i(i 1) i 1(i 1)(i 1) zmmm 21 (1)imm ， 若复数z是纯虚数，则210m ，10m ，所以 1 2 m （2）由（1）得21(1)izmm ，12(1)izmm ， 222 14(1)521zmmmm， 因为 2 521ymm是开口向上的
18、抛物线，有最小值 4 5 ， 所以 2 5 1 5 z 20 【答案】 （1） 1 e ； （2）2,) 【解析】 （1）因为10 x ，所以 1 1 ye e ， 所以当输入x的值为1，输出的结果为 1 e （2）因为 1 2 x ，所以 1 yx x ， 当 1 1 2 x时， 1 yx x 递减； 当1x 时， 1 yx x 递增，所以2y ， 所以( )yf x的取值范围为2,) 21 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）证明：因为 22 21(1)0 xxx ，可得 2 21xx， 22 21(1)0yyy ，可得 2 21yy， 所以 22 222xyxy （2）证明：要证672 25成立，只需证 22 ( 67)(2 25)成立， 即证132 42132 40成立，即证4240成立，即证4240成立， 因为4240成立，所以原不等式成立 22 【答案】证明见解析 【解析】原不等式 2 2()()44xyxyx yy x()2() 12(22)xyxyxyxy 20 xyxy，只需证2() 122xyxy ， 即证 11 ()() 44 xyxy， 而 1 2 44 x xx， 1 2 44 y yy，当且仅当 1 4 xy时，等号成立 2 11 ()() 24 xyxyxyy x
