1、 - 1 - 2017-2018 学年上期高二期中考试 文科数学 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】在 ABC 中， ， 则 ， 由正弦定理可得： 故选 C 2. 等比数列 中，若 ， ，则 （ ） A. 64 B. -64 C. 32 D. -32 【答案】 A 【解析】数列 是等比数列， ， ， 即 解得 那么 故选 A 3. 已知等差数列 中，公差 ， ， ，则 （ ）
2、 A. 5 或 7 B. 3 或 5 C. 7 或 -1 D. 3 或 -1 【答案】 D 【解析】在等差数列 中，公差 ， ， ， 得 ，解得 或 - 2 - 故选 D 4. 中， ， ， ,则 （ ） A. 15 B. 9 C. -15 D. -9 【答案】 B 【解析】 中， ， ， 则 ，如图所示； 故选 B 5. 已知 成等比数列，且曲 线 的顶点是 ，则 等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】 B 【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ， 故选 B 6. 已知等差数列 的公差 为整数，首项为 13，从第五项开始为负，则 等于（ ） A
3、. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】 A 【解析】在等差数列 中，由 ，得 ，得 ， 公差 为整数， 故选 A 7. 已知 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则此三角形 （ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 不确定 【答案】 C 【解析】由正弦定理有 ，所以 ，而 ，所以角 A 的值- 3 - 不存在，此三角形无解。选 C. 8. 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】由 ，可得 ， 正弦定理，可得 a 即 当 时， 的形状是等腰三
4、角形， 当 时，即 ，那么 ， 的形状是直角三角形 故选 C 【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用解题的关键是得到 一定要注意分类讨论 9. 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】因为三角形内角和为 ，所以,由正弦定理的推论有 ，选 A. 10. 九章算术中有 “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ ” 这个问题中，甲所得为（ ） A. 钱 B. 钱 C. 钱
5、 D. 钱 【答案】 B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ,则 ,解得 ,又 ,则 ,故选 B. 11. 已知 构成各项均为正数的等比数列，且公比 ，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则 （ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意得，这 4 项分别为 ，若去掉第一项，则 构成等差数列，解得 （舍去），或 （舍去），；若去掉第二项，则 构 成等差数列， ，解得 （舍去），或 （舍去），或 ；若去掉第三项，则 构成等差数列， ，解得 ，或 （舍去），或 （舍去）；若去掉第四项，则 构成等差数列， ，解得 （舍去），所以满足题意的 ，选
6、D. 点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论思想，属于基础题。 12. 已知锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ， ， 由题 为锐角，可得 由正弦定理可得 ，可得： . 可得 故选 C - 5 - 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知等差数列 的前 项和为 ，则 _ 【答案】 【解析】当 时， ，当 时， ，因为 是等差数列，所以 ， 。 14. 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则_ 【答案】 【解析】由正
7、弦定理及 可得 ，又 ，所以 ，即 ,由余弦定理可得 ，则 ，应填答案 。 15. 数列 满足 （ 且 ）， ，则 _ 【答案】 2 【解析】由已知有，当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ， 数列 是周期数列，故 。 16. 中，角 的对边分别为 ,下列四个论断正确的是 _ （把你认为正确论断的序号都写上） 若 ，则 ； 若 ， , ,则满足条件的三角形共有两个； 若 成等差数列， 成等比数列，则 为正三角形； 若 ， , 的面积 ，则 . 【答案】 【解析】对于 ，由正弦定理有 ，所以 ， 正确；对于 ， 由正弦定理有 ，所以 ,由于 ，所以满足条件的三角形只有一个， 错- 6 - 误；对于
8、， 由已知有 ，所以 ，又 ，则 ，为正三角形，故 正确；对于 ，由 ，所以 ，则，故 错误，综上情况，正确的有 。 点睛：本题主要考查解三角形，涉及的知识点有正弦定理和三角形面积公式等，属于中档题。 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 . （ 1）求角 ； （ 2）若 的面积 ， ，求边 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析：（ 1）根据 利用二倍角和 诱导公式化简可得 角 （ 2）根据 ，即可求解边的 值 试题解析：（ 1） 解得 或 ， ， ， . （ 2） ，即 ， ， ，
9、解得 . 18. 已知等差数列 前 项和 ，等比数列 前 项和为 ， ， ， . （ 1）若 ，求数列 的通项公式； （ 2）若 ，求 . 【答案】 (1) (2) 当 时， ， ；当 时， ，此时 . 【解析】试题分析：（ 1）设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 ，由已知条件求出 ，再写出通项公式；（ 2）由 ，求出 的值，再求出 的值，求出 。 试题解析： 设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 有 ，即 . （ 1） ，结合 得 ， . （ 2） ，解得 或 3， - 7 - 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 . 19. 在等差数列 中， ， ，其前 项和为 . （ 1）求数列
10、 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 ，并证明 . 【答案】 (1) (2)详见解析 试题解析：（ 1）设等差数列的公差为 ，则由 及等差数列的通项公式， 得 ，又 ，解得 ， ， 则 ； （ 2）由（ 1）知 ， 即 ， 则 . 所以 . 20. 在 中，角 的对边 分别为 ，且 . （ 1）判断 的形状并加以证明； （ 2）当 时，求 周长的最大值 . 【答案】 (1)详见解析 (2) 时， 最大且最大值为 【解析】试题分析：（ 1）由已知条件求出 ， 为直角三角形；（ 2）当 时， 周长 ， 时， 最大且最大值为 。 试题解析：（ 1） ，即 ，故 ， - 8 - 又 ，即 ， 为
11、直角三角形 . （ 2） 为直角 的斜边，当 时， . ， ，即 时， 最大且最大值为 . 点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题。解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公 式。 21. 轮船 从某港口将一些物品送到正航行的轮船 上，在轮船 出发时，轮船 位于港口 北偏西 且与 相距 20 海里的 处，并正以 30 海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船 沿直线方向以 海里 /小时的航速匀速行驶，经过 小时与轮船 相遇 . （ 1）若使相遇时轮船 航距最短，则轮船 的航行速度大小应为多少？ （ 2）假设轮船 的最高航速只能达到 30 海里 /小时，则轮船 以多大速度及什么
12、航行方向才能在最短时间与轮船 相遇，并说明理由 . 【答案】 (1) 轮船 以 海里 /小时的速度航行，相遇时轮船 航距最短 . (2) 航向为北偏东，航速为 30 海里 /小时，轮船 能在最短时间与轮船 相遇 . 【解析】试题分析： （ 1）设两轮船在 处相遇，在 中，利用余弦定理得出 关于 t 的函数，从而得出 的最小值及其对应的 ，得出速度； （ 2）利用余弦定理计算航行时间 ，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案 试题解析：（ 1）设相遇时轮船 航行的距离为 海里，则 . 当 时， ， ， 即轮船 以 海里 /小时的速度航行，相遇时轮船 航距最短 . - 9 - （ 2）设轮船
13、与轮船 在 处相遇，则 ， 即 . ， ，即 ，解 得 ，又 时 ， 时， 最小且为 ，此时 中 ， 航向为北偏东 ，航速为 30 海里 /小时， 轮船 能在最短时间与轮船 相遇 . 22. 已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 的前 项和 ，求 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析：（ ）由 和 可得 ，即 ；又 ， ，成等比数列，得 ，综合起来可求得 即可 .（ ）由已知可求出，即数列 是由等差数列和等比数列组合而成，前 项和为 可由错位相减法求得 . 试题解析：（ ） ，即 ， ，所以 ， 2 分 又 ， ， 成等比数列， ，即 ， 4 分 解得， 或 （舍去）， ，故 ； 6 分 （ ）法 1： ， - 10 - ， 得， 得， 12 分 考点： 1.等差数列和等比数列的性质； 2. 求数列前 n 项和 .
