1、 - 1 - 2017-2018 学年 第一学期期中考试 高二数学试卷 (满分 :150分 ; 时间 :120分钟 ) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。 2.每小题选出答案后，填入答案卷中。 3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。 第 卷（选择题共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求 1.数列 na 为等 差 数列，若 3 3a? , 5 6a? ，则 7a? A. 12? B.12 C.10 D.9 2.在 ABC? 中 ， 若 sin cosABab? ,则
2、B? A.6? B.4?C.3?D.4?3.已知 ,a bc R?， 则 下列不等式中正确的是 A.11ab? B.ab? C. 33ab? D. 22ac bc? 错误！未找到引用源。 4.已知等差数列 ?na 的公差为 2? ，且 2 4 5,aaa成等比数列，则 2a 等于 A. 4? B. 6? C.8 D. 8? 5. 不等式组 2 6 002xyxyx? ? ?表示的平面区域的面积是 A.48 B.24 C.18 D.12 6.在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 若 60 , 2 2Ca?,且 满足条件 的 ABC? 不 - 2 - 存在，则 c 的取值范围
3、是 A.(0, 6) B.(0,22) C.(0,4 2) D.(2 2,4 2) 7.存在 ? ?1,1x? ,使得不等式 2 ( 4) 4 2 0x a x a? ? ? ? ?有解，则实数 a 的取值范围是 A. 1a? B. 3a? C. 1a? D. 3a? 8.已知 0, 0xy?， 2 2 8x y xy? ? ?，则 xy 的最 大 值是 A.4 B.3 C.2 D.1 9. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、
4、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ ” （ “ 钱 ” 是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（ ）钱 A.53 B.32 C.43 D.54 10.如图，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的 斜度为 15? ，向山顶前进 100米到达 B 后，又测得 C 对于山坡的斜度为 30? ,若 60CD? 米，山坡对于地平面的坡角为 ? ，则 cos? A.35 B.45 C. 116 D.56 11. 已知正项等比数列 ?na 满足 : 3 2 123S a a?,若存在两项 ,mnaa使得 214mna a a? ,则19mn? 的最小值
5、为 A.4 B.5 C.283 D.不存在 12.已知 ( 1)2n nna ?，删除数列 ?na 中所有能被 2 整除的项，剩下的项从小到大构成数列 ?nb ，则 2017b 是数列 ?na 中的第 （ ） 项 A. 4031 B.4032 C.4033 D.4034 B D C E 30 15 A - 3 - 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二 .选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 13.不等式 1 021xx? ? 的解集为 _. 14.设 ,xy满足约束条件1300,xyxyxy? ? ? ? ， ， ，则 2yz x? ? 的取值范围为 _ 15.若 na 是正
6、项递 减 等比数列， nT 表示其前 n 项之积，且 20 30TT? ，则当 nT 取最 大 值时， n的值为 _ 16.在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， ( )(sin sin ) ( ) sina b A B c b C? ? ? ?,且 2a? ，则 BC 边上的中线 AM 的最小值为 _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10分 ) 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 21nnS ? （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）数列 ? ?nnba? 是首项为 1，公差为 2 的等差
7、数列，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18 (本小题满分 12分 ) 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 且 2 co s ( co s co s ) cA a B b A?. （ ）求 A 的大小； （ ）若 13, 7b c a? ? ? ，求 ABC? 的面积 19. (本小题满分 12分 ) 已知 函数 2( ) ( 1) 1 ( 0 )f x ax a x a? ? ? ? ? （ ） 若关于 x 的不等式 ( ) 0fx? 的解集为 1 2xx? ，求 a 的值； - 4 - （ ） 解关于 x 的不等式 ( ) 0fx? . 20. (本小题满分
8、 12分 ) 某工厂今年年初用 128万元购进一台新设备，并立即投入使用，该设备第一年维修、保养、人工等各种费用为 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养、人工等各种费用比上一年增加 4 万元，该设备使用后，每年的总收入为 50 万元，设使用该设备 n 年后的盈利额为 ny 万元（盈利额 总收入总支出） （ ） 该工厂总共有几年是处于不亏损状 态的（盈利额为非负）； （ ） 第几年的年平均盈利额最大？并求出该最大值 21. (本小题满分 12分 ) 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且 sin A sinC 2sinB?. （ ） 求角 B 的范围； （ ） 若 2
9、,3,5a b c 成等比数列，且 ABC? 外接圆的半径为 3，求 ABC? 的周长 . 22.(本小题满分 12分 ) 设 nS 是数列 ?na 的前 n 项和，且 1 1 11, ( 0 )n n n na a S S S? ? ? ?. （ ） 证明：数列 1nS?是等差数列； （ ） 求数列2nSn?的前 n 项和 nT ； （ ） 设 2nnbS? ， ?nb 的前 n 项和为 nH ,证明： 74nH?. - 5 - 2017 2018 学年第一学期期中考 试 高二数学试题参考答案及评分标准 （ 1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分
10、标准的精神进行评分 （ 2）解答右端所注分数表 示考生正确作完该步应得的累加分数 . （ 3）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分 一 、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D 11.A 12.C 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13. 11, )2?14. 20, 315.25 16. 33三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 17 (本题满分 10分 ) 解：（）当 1n? 时， 111as? ? 1分 当 2n? 时， 111 2 2 2n n nn n na
11、 s s ? ? ? ? ? 3分 1 1a? 也适合上式，所以 12nna ? ? 4分（ 1a 未检验扣 1分） （ ） nnba? 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 1 2( 1)nnb a n? ? ? ? ? ? 5分 21nnb a n? ? ? ? 21nnb a n? ? ? ? 12 2 1n n? ? ? ? 6分 1(1 2 2 ) (1 3 ( 2 1 )nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221n n? ? ? ? 10分（求和算对一个给 2分） 18 (本题满分 12分 ) （）由正弦定理： RccbbAa 2s ins ins in ? ， 有 .
12、s in2,s in2,s in2 cRcBRbARa ? 则由已知可得： ? ? CABBAA s inc o ss inc o ss inc o s2 ? ? 2分 ? ? CBAA s ins inc o s2 ? CCA s ins inco s2 ? ，? 4分 ?C0? ，有 0sin ?C ， ? 5分 - 6 - 21cos ? A ， ? ? A0? 解得 3?A ， ? 6分 （）由（）知 3?A ，又 7?a 由余弦定理得： 4922 ? bccb ， ? 8分 ? ? 493222 ? bccbbccb ， 又 13?cb ，得 40?bc ? 10 分 ABC? 的面
13、积 310s in21 ? AbcS ? 12分 19.解：（）由 ? ? 0?xf ，得 ? ? ? 011 ? axx 的解集为 ? ?21 ?xx ，? 3分 所以 21?a ，即 21?a ? 5分 （）由 ? ? 0?xf ，得 ? ? ? 011 ? axx 当 11?a ，即 10 ?a 时， ax 11 ? ； ? 7分 当 11?a ，即 1?a 时，空集； ? 9分 当 110 ?a ，即 1?a 时， 11 ?xa ? 11 分 综上：当 10 ?a 时，不等式的解集? ? axx 11； 当 1?a 时，不等式的解集为空集； 当 1?a 时，不等式的解集为? ? 11
14、xax? 12分 20 (本题满分 12分 ) 解：（）依题意得： 5 0 1 2 1 6 (1 2 ( 1 ) 4 ) 1 2 8ny n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 50 (20 4 ) 1282nnn? ? ? ? 22 40 128nn? ? ? ? 3分 - 7 - 由 22 40 128 0nn? ? ? ? 2 20 64 0nn? ? ? ? 4 16n? ? ? ? 5分 ?该工厂共有 13年处于不亏损状态 . ? ? 6分 （）由 22 40 128ns nnnn? ? ? 8分 642( 20)n n? ? ? 2(16 20)8? ? ? 10分 符号在
15、 64nn?，即 8n? 时取到 . ? 11 分 故该工厂第 8 年的年平均盈利额最大，最大值为 8 . ? 12 分 21. (本题满分 12分 ) 解： （） BCA s in2s ins in ? bca 2?2acb ? 1分 2 2 2cos 2a c bB ac? 2222 242a ac cac ac? 223 3 28a c acac? ? ? 3分 6 2 182ac acac?（当且仅当 ca? 时取“ =”号） ? 5分 (0, )B ? ? 3,0 ?B ? ? 6分 （） 2 ,3,5a b c 成等比数列 29 10b ac? ， ? 7分 由（）2acb ?得 2 2 2 22429a c b ac ac? ? ? ? 8分 2 2 2cos 2a c bB ac? 22 10992ac acac? 23? ? 9分 (0, )B ? 5sin 3B?
