1、 1 16-17学年上学期期中考试高二年级数学试题（理） 考试时间 120分钟 试题分数 150分 一、选择题：（本题共 13小题，每题 4分，共 52分。每题的四个选项中只有一个是正确的） 1已知集合 |,1|,1,0,1 AaaxxBA ? ，则 BA? 中的元素的个数为 ( ) A.2 B.6 C.4 D.8 2 若函数 ()y f x? 的定义域是 0,2 ，则函数 (2 )() 1fxgx x? ? 的定义域是（ ） A 0,1 ) B.0,1 C 0,1) (1,4 D (0,1) 3 已知实数 ,xy满足 1, 1,xy?且 11ln , ,ln44xy成等比数列 ,则 xy 有
2、 （ ） A最大值 e B最 小 值 e C最 大 值 e D最小值 e 4. 某公司的班车在 7:30， 8:00， 8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车 站 坐班车，且到达发车站的时刻是 随机的，则他等车时间不超过 10分 钟的概率是（ ） A.13 B. 34 C.23 D. 12 5如图，给出的是计算 1+ 31 + 51 + ? + 991 + 1011 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 101？ B i 101？ C i101 ？ D i101 ？ 6. 某商场为了了解毛衣的月销售量 y （件）与月平均气温 x（ ）之间的关系，随机统
3、计了某 4 个月的月销售量与当 月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 x 17 13 8 2 月销售量 y （件） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程? ?y bx a?中的2b?，气象部门预测下个月的平均气温约为C?6 ， 据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A 58件 B 40件 C.46件 D 38件 7已知向量 ba, 满足 :| | 1, (1, 3)ab? ? ?，且 ? ?baa ? ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ?120 B ?90 C ?60 D ?150 2 8下列有关命题 ： 设 Rm? ,命题 “ 若 ba? ，则 22 bmam ?
4、” 的逆否命题为假命题； 命题,: Rp ? ? ? ? ? tantantan ? 的否定 Rp ? ?,: ，? ? ? tantantan ? ； 设 ba, 为空间任意两条直线，则 “ ba/ ” 是 “ a 与 b 没有公共点 ”的充要条件其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 9已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图 均为斜边长为 2 的等腰直角三角形（如图 1 ），若该几何体 的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A. ?4 B. ? C. ?2 D. ?3 10 “ 2? ”是“函数 ? ? xxf cos? 与 函数 ? ? ? ? xxg sin
5、的图像重合”的 ( ) A 充要条件 B 必要而不充分条件 C 充分而不必要条件 D 既不充分也不必要条件 11已知数列 ? ? ?nn ba , 满足 2,2,1 121 ? baa ，且对任意的正整数 lkji , ，当 lkji ?时，都有 lkji baba ? ，则 ? ? ?2013120131i ii ba（注：nni i aaaa ? ?211）的值为 ( ) A.2012 B.2015 C.2014 D.2013 12. 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O的直径，且 SC=2， 则此棱锥的体积为（ ）
6、A 23B 36C 26D 2213.已知 x， y满足 22yxx y z x yxa? ? ? ?， 且 的最大值是最小值的 4倍，则 a 的值是（ ） A. 34 B.14 C. 211 D.4 第 II卷 二、填空题：（本题共 4小题，每题 4分，共 16分） 14. 62 1? ?xx的展开式中 3x 的系数为 _.（用数字作答） 俯视图侧 （ 左 ） 视图正 （ 主 ） 视图图1 3 15. 如下图，若由不等式组? xmy nx 3y0y0（ n0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在 x 轴上，则实数 m_. 16. 某城市新修建的一条道路上有 12 盏路灯，为了节
7、省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的 3 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 _种 . （用数字作答） 17.设 x 、 y均为正实数，且33122xy?，以点),( yx为圆心 ,xyR?为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 三、解答题（本题共 7小题，共 82 分。 解答题写 出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 18（本小题满分 10 分） 在 ABC? 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知向量 ? ?,3m b a? ，? ?cos ,sinn B A? ，且 /mn （ I）求角 B 的大小； （ II）若 2
8、b? ， ABC? 的 面积为 3 ，求 ac? 的值 19. （本题满分 12 分）已知 na 是各项均为正数的等比例数列，且12 12112( )aa aa? ? ?，345 3451 1 16 4 ( )a a a a a a? ? ? ? ?.( ) 求 na 的通项公式； （ ）设 21()nnnbaa?,求数列 nb 的前 n 项和 nT .20 （本小题满分 12分） 如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， 侧面 A1ADD1底面 ABCD， D1A=D1D= 2 ， 底面 ABCD为直角梯形，其中 BC/AD， AB AD， AD=2AB=2BC=2， O 为 AD 中
9、点 . 求证： A1O/平面 AB1C； 求锐二面角 A C1D1 C的余弦值 . O A C1 B C D B1 D1 A1 4 21. （本题满分 12分） 10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取 4只，求各有多少种情况出现如下结果。 （ 1） 4只袜子没有成双； （ 2） 4只袜子恰好成双； （ 3） 4只袜子 2只成双，另两只不成双。 22. 在平面直角坐标系xOy中 ,点)3,0(A,直线42: ? xyl,设圆C的半径为 1,圆心在 直线 l 上 . （ 1）若圆心C也在直线1?xy上 ,过点 作圆 的切线 ,求切线的方程； （ 2）若圆 上存在点 M,使MOMA 2?
10、,求圆心 的横坐标a的取值范围 . 23.（本小题满分 12分） 某单位实行休年假制度三年以来， 50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示： 根据上表信息解答以下问题： 从该单位任选两名职工，用 ? 表示这两人休年假次数之和，记“函数1)( 2 ? xxxf ? 在区间 (4 ，6) 上有且只有一个零点”为事件 A ，求事件 A 发生的概率 P ； 从该单位任选两名职工，用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量 ? 的分布列及数学期望 ?E . 24. (本题满分 12 分 ） 如图所示 ,在三棱柱 111 CBAABC ? 中 ,H 是正方形 BBAA11 的中心，?
11、HCAA 11 ,22 平面 BBAA11 ，且51?HC . (1)求异面直线 AC 与 11BA 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 111 BCAA ? 的正弦值 . 休假次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 C C1 B1 A1 H B A 5 高二年级数学试题（理 ） 答案 A:1-5 BBCDC 6-10 DCABA 11-13 DAB B:1-5 CABDC 6-10 CAADC 11-13 BCB 14.20 15. 33 16. 56 17. 256)4()4( 22 ? yx18、解：（ I） 因为 /mn，所以 sin 3 cosb A a B? 即 sin
12、sin 3 sin c o sB A A B? 又 in 0A? 所以 sin 3 cosBB? ，即 tan 3B? 而 (0, )B ? 故 3B ? （ II） 由 1 s in 3 ,23ABCS a c B B ? ? ? ?可得又 2 2 2 2 2( ) 2 1c o s 2 2 2a c b a c a c bB a c a c? ? ? ? ? ? ? 将 2, 4b ac?代入上式解得 4ac? 19 解：（）设公比为 q，则 11 nna aq? .由已知有 11112341 1 1 2341 1 1112,1116 4 .a a q a a qa q a q a q a
13、 q a q a q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?化简得 21261264.aqaq? ?， ? 3分 又 110, 2, 1a q a? ? ?故 所以 12nna ? ? 6 分 （ ）由 ( )可知 2 21211 1 12 4 24nn n nnnnb a aaa ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 因此 ? ? ? ?1111 1 11 4 4 1 2 4 4 2 14 4 3n n nn nT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 20.解 （ ） 证明：如图（），连 结 CO、 A1O、 AC、 AB1 则四边形 ABCO
14、为正方形，所以 OC=AB=A1B1， 所以，四边形 A1B1CO为平行四边形，? 3分 所以 A1O/B1C， O A C1 B C D B1 D1 A1 图（ 1） 6 又 A1O? 平面 AB1C， B1C? 平面 AB1C所以 A1O/平面 AB1C? 6分 （）因为 D1A=D1D， O为 AD 中点，所以 D1O AD, 又侧面 A1ADD1底面 ABCD， 所以 D1O底面 ABCD， 以 O 为原点， OC、 OD、 OD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图（ 2）所示的坐标系，则 C（ 1， 0， 0）， D （ 0， 1， 0）， 1D （ 0， 0， 1
15、）， A （ 0， -1， 0） 所以 1 1 1 1( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 )D C D D D A D C D C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? 9分 设 ( , , )m x y z? 为平面 C1CDD1的一个法向量， 由 1,m DC m DD?，得 00xyyz? ? ?， 令 1z? ，则 1, 1, (1,1 ,1 )y x m? ? ? ?.? 10分 又设 1 1 1( , , )n x y z? 为平面 AC1D1的一个法向量， 由 1 1 1,n D A n D
16、C?，得 111100yzxy? ? ? ?， 令 1 1z? ，则 111, 1, ( 1, 1,1 )y x n? ? ? ? ? ? ? ?， 则 1 1 1 1c o s ,333mn ? ? ? ? ? ?， 故所求锐二面角 A-C1D1-C的余弦值为 13 ? 12分 21. (本题满分 12分 ) 解：（ 1） 44102 3360C ? -4分 （ 2） 210 45C ? -4分 （ 3） 1 2 210 9 2 1440CC ? -4分 22. 解 :(1)由? ? ? 142xy xy得圆心 C为 (3,2), 圆 的半径为 圆 的方程为 :1)2()3 22 ? yx显
17、然切线的斜率一定存在 ,设所求圆 C的切线方程为?kxy,即03? ykx11323 2 ?kk113 2 ? kk0)4(2 ?k0?k或者3?k 所求圆 C的切线方程为 :3?y或者343 ?x即3y或者0124 ? yx-4分 图（ 2） yzO A C1 B C D B1 D1 A1 x7 (2)解 : 圆C的圆心在直线42: ? xyl上 ,所以 ,设圆心 C为 (a,2a-4) 则圆 的方程为 :? ? 1)42()( 22 ? ayax又 MOMA 2? 设 M 为 (x,y) 则2222 2)3( yxyx ?整理得 :4)1( 22 ? yx设为圆 D 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即 :圆 C 和圆 D 有交点? ? 12)1()42(1 22 ? aa由08125 2 ? aa得Ra?由0122 ? a得5120 ? a终上所述 ,a的取值范围为 :? 512,0-12分 23.解 :(
