1、 1 浙江省宁波市北仑区 2016-2017学年高二数学上学期期中试题（非 4 班） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 .答案请填在答题卷的表格中 . 1若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ） 第 1题图 2若将圆锥的高扩大到原来的 2倍，底面半径缩短到原来的 12，则圆锥的体积 （ ） A扩大到原来的 2倍 B缩小到原来的一 半 C不变 D缩小到原来的 16 3若 ,mn为两条不同的直线， ,?为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ） A若 ?/m ， ?n ，则 nm/ B若 m? ，
2、nm? ，则 ?n C若 ?/m ， ?/n ，则 nm/ D若 ?/m ， ?m ， n? ，则 nm/ 第 4题图 第 5题图 4如图， ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论 错误 的是 （ ） A BD平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1平面 CB1D1 D异面直线 AD与 CB1所成的角为 60 A B C D 1 1 1 12 21111正视图 侧视图俯视图2 5某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 82? B 8? C82?D84?6如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （
3、 ） A 2 2 B.1 22 C.2 22 D 1 2 7下列四个命题中正确的命题有 （ ） 过空间任何一点 P可以作无数条直线与已知的异面直线 ba, 都相交； 三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行； 直 线 a ?平 面，直线 b ?平 面，则直线 ba, 所成角与平面 ?, 所成角相等或互补； ?平 面 平 面， ,m n m n? ? ?，则 ?m 或 ?n . A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 8如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D?的棱 长为 1,点 A 在平面 ? 内，点 E 是底面 ABCD 的中心 .若1CE?平面 ? ，
4、则 1CAB?在平面 ? 内的射影的面 积为 （ ） A66B612C36D312第 8题图 第 11题图 第 12题图 二、填空题 :本大题共 7小题 ，前 4 题每空 3分，后 3 题每空 4分，共 36分 .将正确答案填在答题卷的横线上 . 9正方体 1 1 1 1ABCD A B C D?的棱长为 1,则其表面积为 ，其内切球的体积为 . 10将一个边长分别是 2 cm 和 3 cm，两邻边夹 角为 60 的平行四边形绕其 3 cm边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ，其体积为 cm3. 11如图， P是正方形 ABCD外一点，且 PA ABCD? 平 面，则此几何体的 5个面
5、中互相垂直 的面有 1C1A1D 1BCDAB?E3 对 ;若 PA AB?，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为 . 12一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该 几何体体积 为 ， 表面积为 . 第 13题图 第 15 题图 13如图，已知正三棱锥 A BCD 侧面的顶角为 45 ，侧棱长为 a ，动点 E 在侧棱 AC 上运动，则线段 BE、 ED长度和的最小值为 . 14某几何体的其中一条棱的长是 7，此棱在正视图，侧视图，俯视图的射影线段长分别是 6, ,ab,则 a,b所满足的等量关系式是 . 15如图，已知平面 ? 平面 ?
6、， 、A B 是平面 ? 与 ? 的交线上的两个定点， ?DA ， ?CB ，且 6,8,4, ? ABBCADCBDA ? ，在平面 ? 上有一个动点 P ，使得BPCAPD ? ，则 PAB? 的面积的最大值为 三、解答题 :本大题共 5小题 ,共 74 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 16（本题满分 14 分）已知在底面边长为 2的正四棱锥 P ABCD 中，侧棱与底面所成角的大小为60 (1)求侧棱的长度； (2)求正四棱锥 P ABCD的外接球的表面积 . PDCBABCDAE4 第 16题图 第 17题图 17.（本题满分 15分）如图所示，在直三棱柱 ABC
7、A1B1C1中， AB BC AA1=1, ABC 90. 点 E、 F分别是棱 AB、 BB1的中点 . (1)求三棱锥 B-AFC的体积； (2)求异面直线 EF和 BC1所成的角 . 18（本题满分 15分） 如图 1，平面四边形 ABCD关于直 线 AC 对称， 2?CD , 60 , 90 ,? ? ? ?把 ABD? 沿 BD 折 起 (如图 2)使二面角 CBDA ? 的余弦值 为 33 .对于图 2 (1)求 AC 的长 ; (2)证明： ?AC 平面 BCD ; (3)求 直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值 . 第 18 题图 19（本题满分 15分） 如图，两矩形
8、ABCD ， ABEF 所在平面互相垂直， DE 与平面 ABCD 及平面 ABEF 所成角分别为0030,45， NM, 分别为 DBDE、 的中点，且 1?MN . (1)求 证： ?MN 平面 ABCD ； (2)求二面角 BDEA ? 的正弦值 . CDAB图 1CAB D图 2图 图FACBED5 第 19题图 第 20题图 20（本题满分 15分）如图，矩形 ABCD 所在的半平面和直角梯形 CDEF 所在的半平面 成 ?60 的二面角， .45,6,23,2,/ ? C F ECFEFADDECDCFDE (1)求证： BF 平面 ADE ； (2)试问在线段 CF 上是否存在一
9、点 G ，使锐二面角 DEGB ? 的余弦值为 41 .若存在，请求出CG的值；若不存在，请说明理由 . 6 （除高二 4班以外的其它所有班级） 一 .选择题 二 .填空题 9._6_ _6? _ 10._圆台 _ _ 3319? _ 11._5_ _ 22 _ 12._ 31 _ _ 32? _ 13. a2 14. 822 ?ba 15. 12 三 .解答题 16.(本题满 分 14 分 ) （ 1） 2 （ 2） 316? 17. (本题满分 15分 ) （ 1） 1/12 （ 2） 3? 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D B A C B PDCBA7 18.(
10、本题满分 15 分 ) 解：（）取 的中点 ，连接 ， 由 ，得：就是二面角 的平面角， 在 中 ， （）由 ， ， 又 平面 （）方法一：由（）知 平面 平面 平面 平面 平面 平面 ， 作 交 于 ，则 平面 ， 就是 与平面 所成的角 方法二：设点 到平面 的距离为 ， 8 于是 与平面 所成角 的正弦为 19. (本题满分 15分 ) （ 1 ） 证 明 ： 平 面 ABCD 平 面 ABEF ， 且 平 面 ABCD 平面 ABEF=AB ， EB AB ， EB 平面 ABCD ， 又 MN EB ， MN面 ABCD （ 2 ） 解 ： 过 B 作 BO AE 于 O 点，过 O
11、 作 OH DE 于 H ，连 BH ， AD 平 面 ABEF ， BO 面 ABEF ， BO 平面 ADE ， OH 为 BH 在平面 ADE 内 的 射 影 ， BH DE ， 即 BHO 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 ， 在 Rt ABE 中， BO= ， 在 Rt DBE 中，由 BHDE=DBOE 得 BH= ， sin BHO= . 20. (本题满分 15分 ) 证明：（ 1）在矩形 ABCD中 BC AD， FACBEDOGH MOH9 AD?平面 ADE BC?平面 ADE， BC平面 ADE， 同理 CF平面 ADE， 又 BCCF=C ， 平面 BCF平面
12、ADE， 而 BF?平面 BCF， BF平面 ADE （ 2） CD AD， CD DE ADE即为二面角 A-CD-F的平面角， ADE=60 又 ADDE=D ， CD平面 ADE， 又 CD?平面 CDEF 平面 CDEF平面 ADE， 作 AO DE于 O，则 AO平面 CDEF 过 O作 EHOH? 于 H,连接 BH,易得 BHO? 是锐二面角 DEGB ? 的平面角 因为 3?BO ，易求得 55?OH 取 CF 中点 M, 易知 OHG? 与 EMG? 相 似 ， 设 xOG? （ x0 ）， 则 EGEMOGOH? ，即2)2(9355xx ?，解得 21?x 或 2213?x （舍） 因此存在符合题意的点 G,使得 CG=23 .
