1、 - 1 - 2016-2017 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60分） 1关于复数，给出下列判断： 3 3i； 16 （ 4i） 2； 2+i 1+i； |2+3i| |2+i| 其中正确的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2在用反证法证明 “ 在 ABC中，若 C是直角，则 A和 B都是锐角 ” 的过程中，应该假设（ ） A A 和 B都不是锐角 B A和 B不都是锐角 C A 和 B都是钝角 D A和 B都是直角 3 函数 f（ x） =ex 4x的递减区间为（ ） A（ 0， ln4） B（ 0
2、， 4） C（ ， ln4） D（ ln4， + ） 4若直线 y=4x是曲线 f（ x） =x4+a的一条切线，则 a的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5 cosxdx= dx（ a 1），则 a的值为（ ） A B 2 C e D 3 6已知函数 f （ x）的图象如图所示，其中 f （ x）是 f（ x）的导函数，则 f（ x）的极值点的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 - 2 - 7下列四个类比中，正确得个数为（ ） （ 1）若一个偶函数在 R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在 R 上可导，则该函数的导函数为偶函数 （
3、 2）若双曲线的焦距是实轴长的 2 倍，则此双曲线的离心率为 2将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为 （ 3）若一个等差数列的前 3 项和为 1，则该数列的第 2 项为 将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前 3项积为 1，则该数列的第 2项为 1 （ 4）在平面上，若两个正三角形的边长比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，将此结论类比到 空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1： 2，则它们的体积比为 1： 8 A 1 B 2 C 3 D 4 8有下列一列数： ， 1， 1， 1，（ ）， ， ， ， ， ? ，按照规律，
4、括号中的数应为（ ） A B C D 9一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为 h，宽为 b，此抛物线拱的面积为 S，若 b=3h，则 S等于（ ） A h2 B h2 C h2 D 2h2 10已知复数 z=x+（ x a） i，若对任意实数 x （ 1， 2），恒有 |z| | +i|，则实数 a的取值范围为（ ） A（ ， B（ ， ） C ， + ） D（ ， + ） 11设数列 an的前 n项和为 Sn， a4=7且 4Sn=n（ an+an+1），则 S10等于（ ） A 90 B 100 C 110 D 120 12若函数 f（ x）满足： x3f （ x） +3x2f（ x）
5、=ex， f（ 1） =e，其中 f （ x）为 f（ x）的导函数，则（ ） A f（ 1） f（ 3） f（ 5） B f（ 1） f（ 5） f（ 3） C f（ 3） f（ 1） f（ 5）- 3 - D f（ 3） f（ 5） f（ 1） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13复数 在复平面内对应的点位于第 象限 14将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第 xh 时，原油的温度（单位： ）为 f（ x） =x2 7x+15（ 0 x 8），则在第 1h 时，原油温度的瞬时变化率为 /h 15已知表示不大于 x 的最大整数，设
6、函数 f（ x） =，得到下列结论： 结论 1：当 1 x 2时， f（ x） =0； 结论 2：当 2 x 4时， f（ x） =1； 结论 3：当 4 x 8时， f（ x） =2； 照此规律，得到结论 10： 16若函数 f（ x） =x3 3x+5 a（ a R）在 上有 2 个零点，则 a 的取值范围是 三、解答题（共 6小题，满分 70 分） 17已知复数 z满足 ， |z|=5 （ 1）求复数 z的虚部； （ 2）求复数 的实部 18已知函数 f（ x） =e2x 1 2x （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）求函数 g（ x） = 在上的最大值和最小值 19用数学归纳方法证
7、明： 22+42+62+? +（ 2n） 2= n（ n+1）（ 2n+1）（ n N*） 20已知 函数 f（ x） =x3+x （ 1）求函数 g（ x） =f（ x） 4x 的单调区间； （ 2）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线 l与坐标轴围成的三角形的面积； （ 3）若函数 F（ x） =f（ x） ax2在（ 0， 3上递增，求 a的取值范围 21现有一个以 OA、 OB为半径的扇形池塘，在 OA、 OB上分别取点 C、 D，作 DE OA、 CF OB- 4 - 分别交弧 AB 于点 E、 F，且 BD=AC，现用渔网沿着 DE、 EO、 OF、 FC 将池塘
8、分成如图所示的养殖区域已知 OA=1km， AOB= ， EOF= （ 0 ） （ 1）若区 域 的总面积为 ，求 的值； （ 2）若养殖区域 、 、 的每平方千米的年收入分别是 30万元、 40 万元、 20 万元，试问：当 为多少时，年总收入最大？ 22已知函数 f（ ） = x3+ x2 m（ 0 m 20） （ 1）讨论函数 f（ x）在区间上的单调性； （ 2）若曲线 y=f（ x）仅在两个不同的点 A（ x1， f（ x1）， B（ x2， f（ x2）处的切线都经过点（ 2， lg ），其中 a 1，求 m的取值范围 - 5 - 2016-2017 学年福建省宁德市部分一级达标中
9、学高二（下）期中数学试卷（理科） 参考 答案与试题解析 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60分） 1关于复数，给出下列判断： 3 3i； 16 （ 4i） 2； 2+i 1+i； |2+3i| |2+i| 其中正确的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 A2：复数的基本概念 【分析】 两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小； 利用复数的运算法则即可判断出结论； 利用复数的模的计算公式即可判断出结论 【解答】解： 两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此 3 3i不正确； （ 4i） 2= 16，因此正确； 道理同 ，不正确； |2+3i|= = ， |2
10、+i|= ，因此 |2+3i| |2+i|正确 其中正确的个数为 2 故选： B 2在用反证法证明 “ 在 ABC中，若 C是直角，则 A和 B都是锐角 ” 的过程中，应该假设（ ） A A 和 B都不是锐角 B A和 B不都是锐角 C A 和 B都是钝角 D A和 B都是直角 【考点】 R9：反证法与放缩法 【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否- 6 - 定，即为所求 【解答】解：用反证法证明数学命 题时，应先假设命题的反面成立， 而命题： “ A和 B都是锐角 ” 的否定是 A和 B不都是锐角， 故选： B 3函数 f（ x） =ex 4x的递减
11、区间为（ ） A（ 0， ln4） B（ 0， 4） C（ ， ln4） D（ ln4， + ） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 【解答】解： f （ x） =ex 4， 令 f （ x） 0，解得： x ln4， 故函数在（ ， ln4）递减； 故选： C 4若直线 y=4x是曲线 f（ x） =x4+a的一条切线，则 a的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，设出切点坐标，列出方程求解即可 【解答】解：设切点坐标为：（
12、 m， 4m）， f （ x） =4x3， f （ m） =4m3=4，解得 m=1， 14+a=4，解得 a=3 故选： C 5 cosxdx= dx（ a 1），则 a的值为（ ） A B 2 C e D 3 【考点】 67：定积分 【分析】根据定积分的计算法则计算即可 【解答】 解： cosxdx=sinx| = ， - 7 - dx=lnx| =lna， lna= ， a= 故选： A 6已知函数 f （ x）的图象如图所示，其中 f （ x）是 f（ x）的导函数，则 f（ x）的极值点的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 3O：函数的图象 【分析】根据极值点的定
13、义和 f （ x）的图象得出结论 【解答】解：若 x0是 f（ x）的极值点，则 f （ x0） =0，且 f （ x）在 x0两侧异号， 由 f （ x）的图象可知 f （ x） =0共有 4解， 其中只有两个零点的 左右两侧导数值异号， 故 f（ x）有 2个极值点 故选 A 7下列四个类比中，正确得个数为（ ） （ 1）若一个偶函数在 R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在 R 上可导，则该函数的导函数为偶函数 （ 2）若双曲线的焦距是实轴长的 2 倍，则此双曲线的离心率为 2将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心
14、率为 （ 3）若一个等差数列的前 3 项和为 1，则该数列的第 2 项为 将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前 3项积为 1，则该数 列的第 2项为 1 （ 4）在平面上，若两个正三角形的边长比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，将此结论类比- 8 - 到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1： 2，则它们的体积比为 1： 8 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】根据类比推理的一般步骤是： 找出两类事物之间的相似性或一致性； 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），判断命题是否正确 【解答】解：对于（ 1），若一个偶函数在 R上可导，则该函数的导函数为奇函数， 将此结论类比到 奇函数的结论为：若一个奇函数在 R 上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确； 对于（ 2），若双曲线的焦距是实轴长的 2倍，则此双曲线的离心率为 2； 将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为 ，命题正确； 对于（ 3），若一个等差数列的前 3项和为 1，则该数列的第 2项为 ； 将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前 3项积为 1，则该数列的第 2项为 1，命题正确； 对
