1、 一、极值点偏移的含义一、极值点偏移的含义 众所周知， 函数( )f x满足定义域内任意自变量x都有( )(2)f xfmx=-， 则函数( )f x关于直线xm= 对称；可以理解为函数( )f x在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若( )f x为单峰函数，则xm=必为 ( )f x的极值点. 如二次函数( )f x的顶点就是极值点 0 x，若( )f xc=的两根的中点为 12 2 xx+ ，则刚好有 12 0 2 xx x + =，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等， 则为极值点偏移： 若单峰函数( )f x的极值点为m， 且函数( )f x满足定义域内xm=
2、 左侧的任意自变量x都有( )(2)f xfmx-或( )(2)f xfmx-，则函数( )f x极值点m左右侧变化快慢 不同. 故单峰函数( )f x定义域内任意不同的实数 12 ,x x满足 12 ( )()f xf x=，则 12 2 xx+ 与极值点m必有确 定的大小关系：*网 若 12 2 xx m + ，则称为极值点右偏右偏.来源:Z_X_X_K 如函数( ) x x g x e =的极值点 0 1x =刚好在方程( )g xc=的两根中点 12 2 xx+ 的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数( )f x
3、存在两个零点 12 ,x x且 12 xx，求证： 120 2xxx+（ 0 x为函数( )f x的极值点） ； 2. 若函数( )f x中存在 12 ,x x且 12 xx满足 12 ( )()f xf x=，求证： 120 2xxx+（ 0 x为函数( )f x的极值 点） ； 3. 若函数( )f x存在两 个零点 12 ,x x且 12 xx，令 12 0 2 xx x + =，求证： 0 ()0fx； 4. 若函数( )f x中存在 12 ,x x且 12 xx满足 12 ( )()f xf x=，令 12 0 2 xx x + =，求证： 0 ()0fx. 三三、新题、新题展示展示
4、 【2019 江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = ax(a 0). (1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0，都有 f(x) 0 成立； (2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： ln a. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. （2）函数 yf（x）恰好在 xx1和 xx2两处取得极值 x1，x2是方程 f（x）0的两个实数根，不妨设 x 1x2， 来源: f（x）exaxa，f（x）exa， 当 a0 时，f（x）0恒成立，f（x）单调递增，f（x）0至多有一个实数解，不符合题意， 当 a0时，f（x）0 的解
5、集为（，lna） ，f（x）0 的解集为（lna，+） ， f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，.网 f（x）minf（lna）alna， 由题意，应有 f（lna）alna0，解得 a1， 此时 f（1）0， 存在 x1（1，lna）使得 f（x1）0， 易知当时，f(x). 存在 x2（lna，）使得 f（x2）0， a1 满足题意， 设 g（t）（2tet）et+1， g（t）2（t+1et）et， 由（1）可知，g（t）2（t+1et）et0恒成立， g（t）单调递减， g（t）g（0）0， 即 f（）0， lna 四四、问题初、问题初现，形神合聚现，形神合聚
6、来源来源:ZXXK 函数 2 ( )21 x f xxxae=-+ +有两极值点 12 ,x x，且 12 xx. 所以(2)(2)hxhx+-， 所以 12222 ( )()2 (2)2 (2)(4)h xh xhxhxhx=+-=-， 因为 1 2x ， 2 42x- -，即 12 4xx+.&网来源: 已知函数( )lnf xx=的图象 1 C与函数 2 1 ( )(0) 2 g xaxbx a=+?的图象 2 C交于,P Q，过PQ的中点R 作x轴的垂线分别交 1 C， 2 C于点,M N， 问是否存在点R， 使 1 C在M处的切线与 2 C在N处的切线平行？ 若存在，求出R的横坐标；
7、若不存 在，请说明理由. 五五、招式演练招式演练来源来源:来源来源:163文库 过点作曲线的切线 （1）求切线 的方程； （2）若直线 与曲线交于不同的两点，求证： 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 试题分析： （1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程 因为，不妨设，网 设，则， 当时，在单调递增， 来源:Z*X*X*K 所以，所以当时， 因为，所以， 从而，因为，在单调递减，所以，即&网 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经 常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此 类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！来源:Z。xx。k.Com
