1、 求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：几何分析法方 程思想；设而不求韦达定理；第二 定义数形结合；参数法方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图 中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平 面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问 题的通性通法，缺点是计 算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方 程，化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通 过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪
2、种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的 参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的 定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 待定系数法求椭圆方程待定系数法求椭圆方程 例 1 【2014 年全国课标，理 20】设 1 F, 2 F分别是椭圆 2 2 22 10 y x ab ab 的左右焦点，M 是 C 上一 点且 2 MF与 x 轴垂直，直线 1 MF与 C 的另一个交点为 N. （）若直线 MN 的斜率为 3 4 ，求 C 的离心率； （）若直线 MN 在 y 轴上的截距为
3、 2，且 1 5MNFN，求 a,b. 【解析】（）由题意得： 1( ,0)Fc， 2 ( ,) b M c a ，MN的斜率为 3 4 2 3 24 b a c ，又 222 abc，解之： 1 2 c e a 或2（舍） 故直线MN的斜率为 3 4 时，C的离心率为 1 2 . （） （几何分析法）依据题意，原点O为 21F F的中点，xMF 2 轴， 1 MF与y轴的交点)2 , 0(P是线段 1 MF的中点， 2 |MF=4|2 2 OP a b ，即ab8 2 ， 1 5MNFN， 11 4MFFN， 过N作xNH 轴于H，则 1 NHF 12F MF， 4 1 | | | | |
4、| 1 1 12 1 2 MF NF FF HF MF NH ，1| 4 1 | 2 MFNH， 设) 1,( 0 xN，则cFFHFxc2 4 1 | 4 1 | 2110 ， cx 2 3 0 = 22 2 3 ba ， 1 1 ) 2 3 ( 22 222 ba ba ， 联立解得，72, 7ba. 类型类型 2 参数法求椭圆方程参数法求椭圆方程 例 2.【2015 高考安徽，理 20】设椭圆 E 的方程为 22 22 10 xy ab ab ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标 为0a，点 B 的坐标为0 b，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为 5 10 .
5、 （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为0b，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E 的方程. 【解析】 （I）由题设条件知，点M的坐标为 21 (,) 33 ab，又 5 10 OM k，从而 5 210 b a ，进而得 22 5 ,2ab cabb，故 2 5 5 c e a . （II） （参数法）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为1 5 xy bb ，点N的坐标为 51 (,) 22 bb，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 1 7 ( , ) 2 x，则线段NS的中点T的坐标为 1 517 (,)
6、4244 x bb.又点T在直线AB上，且1 NSAB kk ,从而有 1 1 517 4244 1 5 71 22 5 5 2 x bb bb b b x 解得 3b ，所以3 5a ，故椭圆E的方程为 22 1 459 xy . （几何分析法）设N关于AB的对称点为S， BACBAS， 根据椭圆的对称性知，CAOBAO， BOASAB2， 由题设条件和（I）知，ba5， 6 6 sinBAO 2 1 ， 6 30 cosBAO，300BAO， BASsin=)2sin(BAO= 3 5 ，90ASB，BAScos= 3 2 ， )sin(sinBAOSABSAO= 18 67 ， N 为线
7、段 AC 的中点，bACAS6| 2 1 |， 2 7 18 67 2 6 sin|bSAOAS，解得3b， 45 2 a，故椭圆E的方程为 22 1 459 xy . 类型类型 3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方设而不求思想与韦达定理求抛物线方程程 例 3【2013 年高考数学湖南卷】过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为 12 ,k k的两条不同的 直线 12 , l l，且 12 2kk， 1 lE与相交于点 A，B， 2 lE与相交于点 C，D.以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N （M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l. （I）若 12 0,0kk，证
8、明； 2 2FM FNP； （II）若点 M 到直线l的距离的最小值为 7 5 5 ，求抛物线 E 的方程. 【解析】 （1）依题意，抛物线 E 的交点为(0,) 2 p F，直线 1 l的方程为 1 2 p yk x， 由 1 2 2 2 p yk x xpy 得 22 1 20 xpk xp，设 A、B 两点的坐标分别为 1122 ( ,),(,)x yxy，则 12 ,x x是上述方程 的 两 个 实 数 根 ， 从 而 121 2 12121 2 ()2 xxpk yyk xxpkp ， 所 以 点 M 的 坐 标 为 2 11 (,) 2 p pk pk ， 2 11 (,)FMpk
9、 pk， 同 理 可 得N的 坐 标 为 2 22 (,) 2 p pkpk ， 2 22 (,)FNpkpk， 于 是 222 1212 ()FM FNpk kk k，由题设， 121212 2,0,0,kkkkkk，所以 2 12 12 () 01 2 kk k k ， 故 222 (1 1 )2FM FNpp； （2）由抛物线的定义得 12 , 22 pp FAyFBy所以 2 121 22 ,AByyppkp从而圆 M 的半 径 2 11 rpkp，圆 M 的方程为 22222 111 ()()() , 2 p xpkypkpkp 化简得 2222 11 3 2(21)0 4 xypk
10、 xpkyp，同理可得圆N的方程为 2222 22 3 2(21)0 4 xypk xpkyp， 于 是 圆 M 与 圆 N 的 公 共 弦 所 在 直 线 l 的 方 程 为 22 2121 ()()0kk xkky，又 2112 0,2kkkk，则直线 l 的方程为20 xy，因为0p ，所以 点 M 到直线 l 的距离 2 2 1 11 17 2() 2 48 55 pk pkpkp d ， 故当 1 1 4 k 时，d取最小值 7 8 5 p . 由 题设， 77 5 58 5 p ，所以8p ，故所求抛物线 E 的方程为 2 16xy 类型类型 4 待定待定系数法求抛物线方程系数法求
11、抛物线方程 例 4 （2012 全国课标理 20）.设抛物线C： 2 2xpy（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点， 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点. ()若 0 90BFD,ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程； ()若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m， n距离的比值. 【解析】设准线l于y轴的焦点为 E，圆 F 的半径为r， 则|FE|=p，| |=|FAFBFD=r，E 是 BD 的中点， () 0 90BFD，| |=|FAFBFD=2p，|BD|=2p， 设 A( 0 x， 0 y)，根据抛物线定义得
12、，|FA|= 0 2 p y， ABD的面积为4 2， ABD S= 0 1 |() 22 p BDy = 1 22 2 pp=4 2，解得p=2， F(0,1), FA|=2 2， 圆 F 的方程为： 22 (1)8xy； () 【解析 1】A，B，F三点在同一条直线m上, AB是圆F的直径， 0 90ADB, 由抛物线定义知 1 | | 2 ADFAAB， 0 30ABD，m的斜率为 3 3 或 3 3 ， 直线m的方程为： 3 32 p yx ，原点到直线m的距离 1 d= 3 4 p， 设直线n的方程为： 3 3 yxb ，代入 2 2xpy得， 2 2 3 20 3 xxpb， n与
13、C只有一个公共点， = 2 4 80 3 ppb， 6 p b ， 直线n的方程为： 3 36 p yx ，原点到直线n的距离 2 d= 3 12 p， 坐标原点到m，n距离的比值为 3. 【解析 2】由对称性设 2 0 00 (,)(0) 2 x A xx p ，则(0,) 2 p F 点,A B关于点F对称得： 22 22 00 00 (,)3 222 xxp Bxppxp pp 得： 3 ( 3 ,) 2 p Ap，直线 3 3 22 :30 223 pp pp m yxxy p 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 切点 3 (,) 36 p p P 直线 333 :(
14、)30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到,m n距离的比值为 33 :3 26 pp 。 【扩展链接】【扩展链接】 1.1. 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 ：焦 点 三 角 形 面 积 公 式 ： 圆 锥 曲 线 的 左右焦点分别为 F1， F 2， 点 P 为曲线上任意一点 12 FPF， （1）若 P 在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb . . （2 2）若 P 在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF b S . . 2.椭圆椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式： 10
15、 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 【新题展示】新题展示】 1 【2019 四川绵阳二诊（节选） 】己知椭圆 C：的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：ykx+m 与椭 圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点 （1）若直线 l 过点 F1，且AF2十BF2 ，求直线 l 的方程； 【思路引导】 （1） 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0 根据弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得得到直线 l的方程 【解析】 （1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|
16、BF2|=4a=8，则|AB|= 因为直线 l过点 F1(-2，0)，所以 m=2k 即直线 l的方程为 y=k(x+2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0 x1+x2=，x1x2= 由弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得所以直线 l的方程为， 即或 2 【2019 广东省模（节选） 】已知点，都在椭圆 ：上 （1）求椭圆 的方程； 【思路引导】 （1）把点，代入椭圆方程，得即可； 【解析】 （1）由题意得，得，故椭圆 的方程为 3 【2019 闽粤赣三省十校联考（节选） 】已知椭圆经过点，离心率为 ， 左右焦点分别为， （1）
17、求椭圆 的方程； 【思路引导】 （1）利用椭圆的离心率和椭圆上的点，构造关于的方程，求解得到椭圆方程； 【解析】 （1）因为椭圆经过点，所以，又因为，所以 又，解得，所以椭圆 的方程为 4 【2019 四川凉山二诊（节选） 】椭圆长轴右端点为 ，上顶点为， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； 【思路引导】 （1）由条件布列关于 a，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程； 【解析】 （1）设椭圆的方程为，半焦距为 则、 由，即，又， 解得，椭圆的方程为 5 【2019 陕西榆林一模（节选） 】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的 距离， 为坐标原点 （1）求椭圆
18、的方程； 【思路引导】 （1）结合离心率，计算出 a，b，c 之间的关系，利用点到直线距离，计算 a，b 值即可。 【解析】 （1）椭圆的离心率， ， ， ， ，即， 椭圆 的左顶点到直线，即到的距离 ， ， 把代入得，解得， ， 椭圆 的方程为 【同步训练】同步训练】 1设椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左右焦点分别为 1 F， 2 F，下顶点为B，直线 2 BF的方程为 0 xyb. （）求椭圆C的离心率； （）设P为椭圆上异于其顶点的一点， P到直线 2 BF的距离为2b，且三角形 12 PFF的面积为 1 3 ，求 椭圆C的方程； 【思路引导】 （） 由直线斜率为1
19、可得bc ，从而可得结果； （）先求得P 点坐标 41 , 33 Pbb ，根据三角形面积可得b 的值，从而可得椭圆方程. 【详细解析】 由 222 0 22 xyb xyb 得 41 , 33 Pbb . 又因为三角形 12 PFF面积 111 2 233 Sbb，所以1b ， 于是，椭圆的方程为 2 2 1 2 x y.*网 2已知抛物线 2 :2C xpy（0p ）和定点0,1M，设过点M的动直线交抛物线C于,A B两点，抛物 线C在,A B处的切线交点为N. （）若N在以AB为直径的圆上，求p的值； （）若三角形ABN的面积最小值为 4，求抛物线C的方程. 【思路引导】 （）设出直线方
20、程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合,A B处的切线斜率乘积 为 12 2 1 x x p 可得结果； （）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到 3 2 1 22 24 2 ABN SABdp pkp ，从而可得结果. 【详细解析】 3已知抛物线C： 2 2xpy（0p）的焦点为F，直线220 xy交抛物线C于A、B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. （1）D是抛物线C上的动点，点1,3E，若直线AB过焦点F，求DFDE的最小值； （）是否存在实数p，使2 uuruuu r QAQB2 uuruuu r QAQB？若存在，求出
21、p的值；若不存在，说明理由. 【思路引导】 () 由直线AB过焦点F,求出焦点F的坐标，过设过D作DGl于G，由抛物线定义知 DFDEDGDE，结合图形即可求出DFDE取最小值； （）由2QAQB uuruu u r 2QAQB uuruuu r 知QAQB，设出BA,的坐标，由 pyx yx 2 022 2 消去y化为关于x的一元二次方程，用韦达定理和向 量数量积列出关于p的方程，即可解出p. 【详细解析】 （）假设存在，抛物线 2 2xpy与直线22yx联立方程组得： 2 440 xpxp， 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 4xxp， 12 4 x xp，2 ,2Qp
22、p. 2 uuruuu r QQAQB2 uuruuu r QAQB，QAQB. 则 0 uur uuu r QA QB 得： 12 22xpxp 12 220ypyp， 12 22xpxp 12 2222220 xpxp， 1212 546x xpxx 2 8840pp， 代入得 2 4310 pp，*网 解得 1 4 p或1 p（舍去）. 4设直线 l：y=k（x+1）与椭圆 x2+3y2=a2（a0）相交于 A、B 两个不同的点，与 x 轴相交于点 C，O 为坐 标原点 （）证明： 2 2 2 31 3 k k a ； （）若， OAB 的面积取得最大值时椭圆方程 【思路引导】 （I）将
23、直线 l 的方程为 y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去 x 得到关于 y 的一元二次方程，再结合直线 l 与 椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于 0，从而解决问题 （II）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由（I） ，得，由，得 y2=从而求得 OAB 的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的 k 值，从而 OAB 的面积取得最大值时椭 圆方程即可 【详细解析】 上式取等号的条件是 3k2=1，即（9 分） 当时，由解得； 当时，由解得 将及这两组值分别代入，均可解出 a2=5（11 分） 经验证，a2=5，满足（）式 所以，OAB 的面积取得最大值时椭圆方程
24、是 x2+3y2=5（12 分）*网 5已知点 F 是椭圆 C 的右焦点，A，B 是椭圆短轴的两个端点，且 ABF 是正三角形. （）求椭圆 C 的离心率； （）直线 l 与以 AB 为直径的圆 O 相切，并且被椭圆 C 截得的弦长的最大值为 2，求椭圆 C 的标准方 程 【思路引导】 （）设椭圆的标准方程为，焦距为 2c，由 ABF 是正三角形，得 a=2b，b=， 由此能求出椭圆的离心率 （）由（）知 a=2b，所以椭圆方程为 x2+4y2=4b2，设直线 l 与椭圆 C 的交点为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 若直线 l 与 x 轴垂直，则弦长|MN|=，当直线 l 不垂直于
25、 x 轴时，设其方程为 y=kx+m，与 x2+4y2=4b2 联立，得： （1+4k2）x2+8kmx+4（m2b2）=0，由此利用韦达定理、直线与圆相切性质，结合已知条件能求 出椭圆 C 的方程 【详细解析】 |MN|2=（）2=（1+k2）（）24 =， 直线 l 与圆 O 相切，解得 m2=b2（1+k2） ， 代入得|MN|2=b2=4b2， 当且仅当 3k2=1+k2，k=时，等号成立 此时|MN|max=2b，于是弦长|MN|的最大值为 2b=2， b=，a=2，*网 椭圆 C 的方程为 6如图，椭圆 C：+=1（ab0）的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为点 A、B，且|AB|
26、=|BF| （）求椭圆 C 的离心率； （）若点 M（，）在椭圆 C 内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，M 为线段 PQ 的中 点，且 OPOQ求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 【思路引导】 （）由已知得，由此能求出 （） 由 （） 知 a2=4b2， 设椭圆 C： 设 P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 由， 得，直线l的方程为2xy+2=0由 ，由此能求出椭圆 C 的方程 【详细解析】 即 2xy+2=0（9 分） 由，即 17x2+32x+164b2=0 .， OPOQ， 即 x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2） （2x2+2）=0
27、，5x1x2+4（x1+x2）+4=0 从而，解得 b=1，椭圆 C 的方程为（12 分）*网 7已知 A、B 分别为曲线 C：+y2=1（a0）与 x 轴的左、右两个交点，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直，P 为 l 上异于点 B 的点，连结 AP 与曲线 C 交于点 M （）若曲线 C 为圆，且|BP|=，求弦 AM 的长； （）设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点，若 O、N、P 三点共线，求曲线 C 的方程 【思路引导】 （）先求出 A、B、P 的坐标，从而求出直线 AP 的方程，进而求出弦 AM 的长； （）设出直线 AP 的方程，联立方程组，求出 M 点的坐标，结
28、合 BMOP，求出 a 的值，从而求出曲线 C 的方程 【详细解析】 （）由已知得 A（a，0） ，B（a，0） ， 由于点 N 在以 BP 为直径的圆上，且 O、N、P 三点中线，故 BMOP， 显然，直线 AP 的斜率 k 存在且 k0，可设直线 AP 的方程为 y=k（x+a） ， 由得： （1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2a2=0， 设点 M（xM，yM） ，xM（a）=， 故 xM=，从而 yM=k（xM+a）=， M（，） ， B（a，0） ，=（，） ，*网 由 BMOP，可得=0， 即2a4k2+4a2k2=0， k0，a0，a=， 经检验，当 a=时，O、N、P 三
29、点共线， 曲线 C 的方程是：+y2=1*网 8若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，且|AB|=2，又 M 为 AB 的中点，若 O 为坐标原点， 直线 OM 的斜率为，求该椭圆的方程 【思路引导】 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点 M（x0，y0） 联立，化为（a+b）x22bx+b1=0， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 和 中 点 坐 标 公 式 可 得 OM 的 斜 率 =， 再 利 用 弦 长 公 式 可 得 =，联立解得即可 【详细解析】 联立， 解得，满足（*） 该椭圆的方程为：*网 9已知直线 x+y1=0 与椭圆相交
30、于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 在直线xyl 2 1 : 上 （）求椭圆的离心率； （）若椭圆右焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x2+y2=1 上，求椭圆的方程 【思路引导】 （）设出 A、B 两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于 x 的一元二次方程；由根与系数的关系，可得 x1+x2，y1+y2；从而得线段 AB 的中点坐标，代入直线 l 的方程，得出 a、c 的关系，从而求得椭圆的离心率 （）设椭圆的右焦点坐标为 F（b，0） ，F 关于直线 l 的对称点为（x0，y0） ，则由互为对称点的连线被对 称轴垂直平分，可得方程组，解得 x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=1
31、，得出 b 的值，从而得椭圆的方程 【详细解析】 a2=2b2=2（a2c2） ，a2=2c2， （6 分） （）由（）知 b=c，设椭圆的右焦点 F（b，0）关于直线 l：的对称点为（x0，y0） ， 由，解得（10 分） x02+y02=1， ， b2=1，显然有 a2+b2=31 所求的椭圆的方程为（12 分） 10.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且ABC 的重心 为抛物线的焦点，若 BC 所在直线 l 的方程为 4xy200. （）求抛物线 C 的方程； （）若 O 是坐标原点，P，Q 是抛物线 C 上的两动点，且满足 POOQ，证
32、明：直线 PQ 过定点 【思路引导】 （）联立直线与椭圆的方程得关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系，可得 x1+x2，y1+y2，设出 C 点 坐标，利用三角形重心公式，求出 C 点坐标，代入抛物线方程，即可列出关于 p 的方程，解出 p，即可写出 抛物线方程 （）设出 P、Q 的坐标及直线 PQ 的方程，与抛物线方程联立消去 x,得到关于 y 的一元二次方程，利用设 而不求思想和向量垂直的充要条件列出关于 PQ 直线方程中参数的方程，解出参数的关系式，即可求出直线 过的定点，注意分斜率存在与不存在两种情况讨论. 【详细解析】 （）证明 当 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 yk
33、xb，显然 k0，b0，POOQ，kPOkOQ 1， 设 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，xPxQyPyQ0， 将直线 ykxb 代入抛物线方程，得 ky216y16b0， yPyQ16b k .从而 xPxQy 2 Py 2 Q 162 b 2 k2， b2 k2 16b k 0， k0，b0， 直线 PQ 的方程为 ykx16k，PQ 过点(16,0)； 当 PQ 的斜率不存在时，显然 PQx 轴，又 POOQ， POQ 为等腰三角形，由 y|x|， y216x， 得 P(16,16)，Q(16，16)，此时直线 PQ 过点(16,0)， 直线 PQ 恒过定点(16,0). 11.已知
34、拋 物线 y2)0(2ppx的焦点为 F，斜率为 3 4 的直线l与该抛物线交于BA,，且存在实数 ，使 0BFAF，| AB25 4 . （）求该抛物线的方程； （）求AOB 的外接圆的方程 【思路导引】 （）由0BFAF知 A，B，F 三点共线，设直线 AB 方程，代入抛物线方程化为关于 x 的一元二次方程，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用韦达定理，用p将 21 xx 表示出来，利用过抛物线焦点的 弦长公式pxx 21 即可列出关于p的方程，即可解出p，从而写出抛物线方程. （）将直线l方程与抛物线方程联立，即可解出 A、B 点的坐标，利用待定系数法即可求出AOB 的外接 圆的方程.
