1、 专题专题 8 欲证直线过定点，结合特征方程验欲证直线过定点，结合特征方程验 【题型综述题型综述】 直线过定点的解题策略一般有以下几种： （1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考： 由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个 点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为 点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特 征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代 数运算是此类
2、问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 椭圆中直线过未知顶点问题椭圆中直线过未知顶点问题 例 1 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ， P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定 点. 【解析】 类型二类型二 椭圆中椭圆中直线过已知定点问题直线过
3、已知定点问题 例 2. 【2017 课标课标 II，理】，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足 为 N，点 P 满足 2NPNM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线3x 上，且1OP PQ，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 【解析】 类型三类型三 点在定直线上问题点在定直线上问题 例 3【2016 高考山东理数】平面直角坐标系xOy中，椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率是 3 2 ，抛 物线 E： 2 2xy的焦点 F 是 C 的一个顶点. （I）
4、求椭圆 C 的方程； （II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线l与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中 点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （i）求证：点 M 在定直线上; （ii）直线l与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为 1 S， PDM的面积为 2 S，求 1 2 S S 的最大值及取得最大 值时点 P 的坐标. 【解析】 类型四类型四 抛物线中直线过定点问题抛物线中直线过定点问题 例 4.【2013 年高考理科陕西卷】已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的
5、轨迹 C 的方程; 来源:Z#X#X#K () 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点. 【解析】 来源:Z,xx,k.Com 【扩展链接】【扩展链接】 1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于BA, 两点，则直线两点，则直线AB过定点过定点. 2.已知已知AB为过抛物线为过抛物线 2 y=)0(2ppx的焦点的焦点F的弦，的弦，),(),( 2211 y
6、xByxA，则，则pxxAB 21 |. 3.已知已知AB为过椭圆为过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点的焦点F的弦，的弦，),(),( 2211 yxByxA，则，则 |2| 21 xxeaAB. 4.已知直线已知直线)( 00 xxkyy，当，当k变动时，直线恒过定点变动时，直线恒过定点),( 00 yx. 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 福建备考关键问题指导系列适应性练习】设 为坐标原点，动圆 过定点， 且被 轴截得的 弦长是 8 （）求圆心 的轨迹 的方程； （）设是轨迹 上的动点，直线的倾斜角之和为 ，求证：直线过定点 【思路引导】 （）设动圆圆心
7、，由题设条件，利用圆中的特殊三角形，推导出点 P 的轨迹方程； （）设出直线 AB 的方程为，与联立，消元得到，利用韦达定理，最 后得到直线 AB 恒过定点 2 【2019 河南郑州 1 月质量预测】设点为圆上的动点，点在 轴上的投影为 ，动点 满足 ，动点 的轨迹为 （）求 的方程； （）设 的左顶点为 ，若直线与曲线 交于两点 ， （ ， 不是左右顶点） ，且满足 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 【思路引导】 （）设 P（x，y） ，M（x0，y0） ，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； （2）由向量条件结合矩形对角线相等可得 DA，DB 垂直，斜率之积
8、为1，再联立直线与椭圆方程，得根 与系数关系，逐步求解得证 3 【2019 新疆乌鲁木齐一模】椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直 线方程是 （1）求椭圆 的方程； （2）过点作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为，证明直线过定点 【思路引导】 （1）对于，当时，即，当，即，再写出椭圆的方程； （2）设直线， （） ，设 ， 两点的坐标分别为，则，代入椭 圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点， 4 【2019 福建漳州下学期第二次 质量监测】 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：上， 该椭圆的左顶点 A 到直线的距离为 求椭圆 C
9、 的标准方程； 若线段 MN 平行于 y 轴，满足，动点 P 在直线上，满足，证明：过 点 N 且垂直于 OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F 【思路引导】 （1）根据点到直线的距离公式即可求出 a 的值，可得椭圆方程， （2）由题意 M（m，n） ，N（m， ） ，P（2，t） ，根据（2）0，可得 y12n，由2， 可得 2m+2nt6，再根据向量的运算可得 0，即可证明 5【2019 河北衡水十三中学质检】已知抛物线 ：，过其焦点 作斜率为 1 的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段的中点的纵坐标为 4 （1）求抛物线 的标准方程； （2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、
10、 两点，且求证：直线 过定点，并求出 该定点的坐标 【思路引导】 （1）根据线段的中点的纵坐标为 4，直线的斜率为 1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物 线的方程； （2） 设直线 ：， 联立方程组， 利用根与系数的关系， 求得， 再由 得，即可得到结论 来源: 6 【2019 黑龙江大庆二模】已知椭圆的离心率为，短轴长为 4 （1）求椭圆 的方程； （2）过点作两条直线，分别交椭圆 于两点（异于 ） ，当直线，的斜率之和为 4 时，直线 恒过定点，求出定点的坐标 【思路引导】 （1）首先根据题中所给的条件，得到所满足的等量关系式，求解即可； （2）分直线 AB 的斜率存在与不存在两种情况
11、进行讨论，写出直线的方程， ，将其与椭圆方 程联立，根据题中的条件，求得，从而求得直线所过的定点为，当直线 AB 斜率不存在时， 验证也过该点，得证 7 【2019 福建漳州班第一次质检】已知动圆 过点且与直线相切，圆心 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程； （2）若是曲线 上的两个点且直线过的外心，其中 为坐标原点，求证：直线过定点 【思路引导】 （1）根据抛物线定义，可知曲线方程为抛物线，进而利用定义求得抛物线的方程。 （2）设出 A、B坐标，设出 AB方程，联立抛物线，结合韦达定理表示出与，利用垂直关系求得 m的 值，进而求出定点坐标。 8 【2019 湖北十堰元月调研】 设 是圆上的任
12、意一点，是过点 且与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程； （2） 已知直线与曲线 交于， 两点， 点关于 轴的对称点为， 证明： 直线过定点 【思路引导】 （1）点 A 在圆 x2+y216上运动，引起点 Q 的运动，可由 4|BQ|3|BA|，得到点 A 和点 Q 坐标之间的关系 式，由点 A的坐标满足圆的方程得到点 Q坐标满足的方程； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 M（x1， y1） ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出直线 MN的方程，即可判断出所过的定点 【同步训
13、练】【同步训练】 1已知椭圆的离心率 e=，左、右焦点分别为 F1、F2，定点，P（2，） ，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 F2M、F2N 的倾斜角分别为 、 且 +=，求证： 直线 l 过定点，并求该定点的坐标 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率求得 a=c，且丨 F1F2丨=丨 PF2丨，利用勾股定理即可求得 c 及 a 和 b 的值； （2）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0， 结合韦达定理，即可求得 m=2k则直线 MN 过定点，该定点的坐标为（2，0） 【详细
14、解析】 2.（2017菏泽一模）已知焦距为 2的椭圆 C：+=1（ab0）的右顶点为 A，直线 y=与椭圆 C 交于 P、Q 两点（P 在 Q 的左边） ，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形 （1）求椭圆C 的方程； （2）斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M，N （i）若直线 l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线 3x+3y2=0 上一点，且EMN 是以 E 为直角顶点的等腰 直角三角形，求 k 的值 （ii）若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DAAM，点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线
15、AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点 【思路点拨】 （1）由题意可得 c=，直线 y=代入椭圆方程，求得 P，Q 的横坐标，可得|AB|，由四边形 ABPQ 是平行四边形， 可得|AB|=|PQ|，解方程可得 b，由 a，b，c 的关系可得 a ，进而得到椭圆方程； （2） （i）由直线 y=kx 代入椭圆方程，求得 M 的坐标，由EMN 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，可 设 E（m，m） ，求出 E 到直线 kxy=0 的距离 d，由题意可得 OEMN，|OM|=d，解方程可得 k 的值； （ii）由 M（2，0） ，可得直线 MN 的方程为 y=k（x+2） ，代入椭圆方程
16、，可得 x 的方程，运用韦达定理， 可得 N 的坐标，设 G（t，0） ， （t2） ，由题意可得 D（2，4k） ，A（2，0） ，以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，可得 ANDG，运用两直线垂直的条件，可得斜率之积为1，解方程可得 t=0，即可得 到定点 【详细解析】 3.已知椭圆 E：+=1（ab0）经过点（1，） ，且离 心率 e= （1）求椭圆 E 的方程； （2）设椭圆 E 的右顶点为 A，若直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 相交于 M、N 两点（异于 A 点） ，且满足 MA NA，试证明直线 l 经过定点，并求出该定点的坐标 【思路点拨】 （1）由题意的离
17、心率公式 e=，求得 a=2c，b2=3c2，将点代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的 值，即可求得椭圆 C 的标准方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，由题意可知=0，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得 m 和k 的关系，代入即可求得直线恒过定点 【详细解析】 4.已知椭圆的离心率为 ， 左、 右焦点分别为圆 F1、 F2， M 是 C 上一点， |MF1|=2， 且 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当过点 P（4，1）的动直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A，B 时，线段 AB 上取点 Q，且 Q 满足 ，证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线 【思路点拨】 （1）由已
18、知得 a=2c，且，由余弦定理求出 c=1由此能求出椭圆 C 的方程 （2）设直线 l 的方程为 y=kx+（14k） ，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0， 由此利用韦达定理、向量，结合已知条件能 证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线 【详细解析】 5. 已知椭圆 C 的方程为+=1（ab0） ，离心率 e=，点 P（，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 C 的右焦点 F 作两条弦 AB，CD，满足=0，且=2，=2，求证：直线 MN 过定点， 并求出此定点 【思路点拨】 （1）由 a=c，则 b2=a2c2=2c2，将
19、P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程 （2）然后分弦 AB，CD 的斜率均存在和弦 AB 或 CD 的斜率不存在两种情况求解当斜率均存在时，写出 直线 AB 的方程， 代入椭圆方程后化简， 利用根与系数关系求得 M 坐标， 同理求得 N 的坐标 进一步分 k1 和 k= 1 求得直线 MN 的方程，从而说明直线 MN 过定点，当弦 AB 或 CD 的斜率不存在时，易知，直线 MN 为 x 轴，也过点（，0） 【详细解析】 6.已知椭圆 C：x2+4y2=4 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）椭圆 C 的长轴的两个端点分别为 A，B，点 P 在直线 x=1 上运动，直线
20、PA，PB 分别与椭圆 C 相交于 M，N 两个不同的点，求证：直线 MN 与 x 轴的交点为定点 【思路点拨】 （1）求得椭圆的标准方程，则 a=2，b=1，则 c=，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆 C 的离心率； （2）设 P（1，t） ，由已知条件分别求出 M，N 的坐标，设定点为 Q，再由 kMQ=kNQ，能证明直线 MN 经过 一定点 Q（4，0） 【详细解析】 7.在直角坐标系 xOy 中，F，A，B 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点，若 （1）求 a 的值； （2）过点 P（0，2）作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，过 M 作平行于 x 轴的直线交椭圆于另外一点 Q，连
21、 接 NQ，求证：直线 NQ 经过一个定点 【思路点拨】 （1）由题意得：，解得 a； （2） 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 直线 l 的方程为 y=kx+2， 将 y=kx+2 代入椭圆方程得 （3+4k2） x2+16kx+4=0， ，直线 NQ 的方程，由对称性可知， 若过定点， 则必在 y 轴上，令 x=0，即可 【详细解析】 8.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点为 3,0F，其左顶点在圆 22 :12O xy上 （1）求椭圆C的方程； （2） 直线:30l xmym交椭圆C于,M N两点， 设点N关于x轴的对称点为 1 N （点
22、1 N与点M不 重合） ，证明：直线 1 N M过 x轴上的一定点，并求出定点坐标 【思路点拨】 （1）利用点在椭圆上和几何要素间的关系求其标准方程； （2）联立直线和椭圆的标准方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到直线的点斜式方 程，再利用赋值法进行求解. 【详细解析】 来源:ZXXK 9.已知动圆 M 恒过点（0，1） ，且与直线 y=1 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）动直线 l 过点 P（0，2） ，且与点 M 的轨迹交于 A、B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直 线 AC 恒过定点 【思路点拨】 （1）由题意可知圆心 M 的轨迹为以（0，
23、1）为焦点，直线 y=1 为准线的抛物线，根据抛物 线的方程即可求得圆心 M 的轨迹方程； （2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：y=kx2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 C（x2， y2） 代入抛物线方，由韦达定理及直线直线 AC 的方程为：yy2=（x+x2） ，把根与系数的关系 代入可得 4y=（x2x1）x+8，令 x=0，即可得出直线恒过定点 【详细解析】 10.已知 F 是抛物线 C：x2=4y 的焦点，A（x1，y1） ，B（x2，y2）为抛物线 C 上不同的两点，l1，l2分别是抛 物线 C 在点 A、点 B 处的切线，P（x0，y0）是 l
24、1，l2的交点 （1）当直线 AB 经过焦点 F 时，求证：点 P 在定直线上； （2）若|PF|=2，求|AF|BF|的值 【思路点拨】 （1）当直线 AB 经过焦点 F 时，求出切线 PA，PB 的方程，可得 P 的坐标，即可证明：点 P 在定直线上； （2）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，代入 C：x2=4y 得 x24kx4 m=0，求出 P 的坐标，利用韦达定理，即 可求|AF|BF|的值 【详细解析】 11.已知动点 C 到点 F（1，0）的距离比到直线 x=2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E （1）求曲线 E 的方程； （2）若直线 l：y=kx+m（km0）与曲线
25、E 相交于 A，B 两个不同点，且，证明：直线 l 经过一 个定点 【思路点拨】 （1）根据抛物线的定义，即可求得曲线 E 的方程； （2）设直线 l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 m=5k，即可求得 直线 l 的方程，则直线 l 必经过定点（5，0） 【详细解析】 12.已知动点,M x y满足： 22 22 112 2xyxy . （1）求动点M的轨迹E的方程； （2） 设过点1,0N 的直线l与曲线E交于,A B两点， 点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合） ， 证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标. 【思路点拨】 （1）动点M到点1 , 0P ， 1 , 0Q的距离之和为2 2，且2 2PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨迹E的方程； （2）直线l的方程为： 1yk x，由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 124220kxk xk， ，根据韦达定理可得 1221 21 2 x yx y xx ，直线BC的方程为 21 21 2 yy yx xx ，即可证明其过定点. 【详细解析】 来源:
