1、 【题型综述题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点： （）利用常见结论，如：，ln1xx，等； （）利用同题上一问结论或既得结论 【典例指引】【典例指引】 例 1已知 2 17 ( )ln , ( )(0) 22 f xx g xxmxm，直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切，且与函数 ( )f x的图像的切点的横坐标为 1 （I）求直线l的方程及 m 的值； （II）若( )(1)( )()h xf xg x其中g(x)是g(x)的导函数，求函数( )h x的最大值 （III）当0b
2、a时，求证：()(2 ) . 2 ba f abfa a 例 2设函数 ln1f xax， 1 x g xe，其中aR，2.718e 为自然对数的底数 （）当0 x 时， f xg x恒成立，求a的取值范围； （）求证： 10 10952000 10001791 e (参考数据：ln1.10.095) 例 3设 （l）若对一切恒成立，求 的最大值； （2） 是否存在正整数 ， 使得对一切正整数 都成立？若存在， 求 的最小值； 若不存在，请说明理由 【新题展示新题展示】 1 【2019 安徽安庆上学期期末】 （1）已知函数，求函数在时的值域； （2）函数有两个不同的极值点 ， 求实数 的取值范
3、围； 证明：. （本题中可以参与的不等式：，） 来源:Z*xx*k.Com 2 【2019 河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中， . （1）求的取值范围； （2）若，求的最大值. 3 【2019 湖南益阳上学期期末】已知函数. （1）当时，比较与的大小； （2）若有两个极值点，求证：. 4 【2019 广东韶关 1 月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）. （1）证明：当时，；当时，. （2）是否存在最大的整数 ，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由. 5 【2019 天津 部分区期末】已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程；
4、（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求 的取值范围； （3） 设函数，是函数的导函数， 若存在两个极值点 ， ， 且满足， 求实数 的取值范围 【同步训练】【同步训练】来源来源: 1已知函数 x f xe， 2 2 a g xxx ， （其中aR，e为自然对数的底数， 2.71828e ） （1）令 h xf xgx ，若 0h x 对任意的xR恒成立，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，设m为整数，且对于任意正整数n， 1 n n i i m n ，求m的最小值 来源: 2设函数 x f xeaxa aR （1）当1a 时，求 f x的单调区间； （2）若 f x的图象与x轴交于
5、 12 ,0 ,0A xB x两点，且 12 xx，求a的取值范围； （3）令0a ， ,2xR f xa ，证明： * 111 1ln1 23 nnN n 3已知函数 2 1 ln 2 f xxa x （1）若函数 f x有两个不同的零点，求实数a的取值范围； （ 2）当1x 时， 0f x 恒成立的a的取值范围，并证明 2 2 ln2ln3ln4ln 4 nn n * 2,nnN来源:ZXXK 4已知函数 ln 1 x x f x x 与 1g xa x （1）若曲线 yf x与直线 yg x恰好相切于点1,0P，求实数a的值；来源:ZXXK （2）当1,x时， f xg x恒成立，求实数
6、a的取值范围； （3）求证： * 2 1 4 ln 21. 41 n i i nnN i 来源:Z*X*X*K 5已知函数， （）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值； （）当时，恒成立，求整数 的最大值； （）证明： 6已知函数 ln1 x x f x e （e是自然对数的底数） ， 1lnh xxx x （1）求曲线 yf x在点 1,1Af处的切线方程； （2）求 h x的单调区间； （3）设 g xxfx，其中 fx为 f x的导函数，证明：对任意0 x ， 2 1g xe 7设函数 2 ln1f xxbx，其中0b （1）当1b 时，求曲线 yf x在点0,0处的切线方程； （2
7、）讨论函数 f x的单调性； （3）当 * nN，且2n 时证明不等式： 333 11111111 ln111 232321nnn 8已知函数 1 ln1f xa xax x （1）当 3 - 2 a 时，讨论 f x的单调性； （2）当1a 时，若 1 1g xx x ，证明：当1x 时， g x的图象恒在 f x的图象上方； （3）证明： 2 * 222 ln2ln3ln21 ,2 2341 nnn nNn nn 9已知函数 ln1f xaxx （1）若函数)(xf在区间1 ，上递增，求实数a的取值范围； （2）求证： * 111 ln21 231 nnN n 10已知函数 1 ln x
8、f xx ax (其中0a ，e2.7) (1)若函数 f x在1,上为增函数，求实数a的取值范围； (2)当1a 时，求函数 f x在 1 ,2 2 上的最大值和最小值； (3)当1a 时，求证：对于任意大于 1 的正整数n，都有 111 ln 23 n n 来源:163文库 11已知函数 ln.f xxkxk ()若 0f x 有唯一解，求实数k的值； （）证明：当1a 时， 2 1. x x f xkxkeax （附： 3 2 2 ln20.69,ln31.10,4.48,7.39ee） 12 已知函数 ln 1 ax f xx x （）若函数 f x有极值，求实数a的取值范围； （）当 f x有两个极值点（记为 1 x和 2 x）时，求证： 12 1 1 x f xf xf xx x 13已知 （1）求函数在区间上的最小值； （2）对一切实数恒成立，求实数 的取值范围； 来源:来源:Z。xx。k.Com （3）证明：对一切，恒成立 14已知函数 ln1f xxax， aR （I）求 f x的单调区间； （II）若对任意的0,x， 都有 22f xa，求实数a的取值范围来源:ZXXK
