1、 1 2017-2018 学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科） 选择题（本大题共 12 小题，共 60分） 1.1.复数 在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 A 【解析】 试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限 解： 复数 = , 复数对应的点的坐标是（ ） 复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选 A 考点： 复数的实部和虚部 点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加
2、减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中 2.2.已知 ， 是复数，以下四个结论正确的是 若 ，则 ， 若丨 ，则 ， 若 ，则 若 ，则向量 与 重合 A. 仅 正确 B. 仅 正确 C. 正确 D. 仅 正确 【答案】 A 【解析】 【分析】 举例说明 错误；由 |z1|+|z2|=0，得 |z1|=|z2|=0，从而得到 z1=0， z2=0，说明 正确 【 详解】 若 z1+z2=0，则 z1=0， z2=0，错误，如 z1= 1， z2=1； 若 |z1|+|z2|=0，则 |z1|=|z2|=0， z 1=0， z2=0，故 正确； 若 z1+ =0，
3、则 z1=0，错误，如 z1=i， ； 若 |z1|=|z2|，则向量 与 重合错误，如 z1=1+i， z2=1 i，满足 |z1|=|z2|，但向量与 不重合 正确的结论是 故选： A 2 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，属于基础题 3.3.曲线 在点 处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析：由 ，得到 ，把 x=0代入得： ，则曲线 在点 A（ 0， 1）处的切线斜率为 1故选 A 考点： 1直线的斜率； 2导数的几何意义 视频 4.4.定义一种运算 “ ” ：对于自然数 n满足以下运算性质： ，则 等于 A. n B.
4、 C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据定义中的运算法则，对（ n+1） *1=n*1+1 反复利用，即逐步改变 “n” 的值，直到得出运算结果 【详解】 1*1=1 ，（ n+1） *1=n*1+1， （ n+1） *1=n*1+1=（ n 1） *1+1+1=（ n 2） *1+3=?=n （ n 1） *1+n=1+n， n*1=n 故选： A 【点睛】 本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值，主要抓住运算的本质，改变式子中字母的值再反复运算性质求出值，考查了观察能力和分析、解决问题的能力 5.5.用反证法证明命题： “ ， 可被 5整除，那么 a， b中至少有一个能被
5、5整除 ”时，假设的内容应为 ( ) A. 都能被 5整除 B. 都不能被 5整除 C. 不都能被 5整 除 D.不能被 5整除 【答案】 B 3 【解析】 命题： “ ， 可被 5整除，那么 a， b中至少有一个能被 5整除的否定是 都不能被5整除 ,故反证法假设的内容应为 都不能被 5整除 ,故选 A. 6.6.原命题为 “ 若 互为共轭复数，则 ” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 【答案】 B 【解析】 试题分析：设复数 ，则 ，所以 ，故原命题为真；逆命题：若 ，则 互为共轭复
6、数；如 ， ，且 ，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若 不互为共轭复数，则 ；如 ，此时 不互为共轭复，但 ，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选 B. 考点：命题以及命题的真假 . 7.7.用数学归纳法证明等式 时，第一步验证时，左边应取的项是 ( ) A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4 【答案】 D 【解析】 试题分析：因为 1+3=4，所以左边应取的项是 1+2+3+4. 考点：本小题主要考查数学归纳法的应用 . 点评：应用数学归纳法时 ，一定要严格遵守步骤，验证第一步时要仔细 . 8.8.由曲线 y x2， y 围成的封
7、闭图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 4 由曲线 和曲线 可得交点坐标为 ， 则曲线 和曲线 围成的封闭图形的面积为 ， 故选 B. 9.9.已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 （ ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试题分析：由题意，得 ，所以 ，故选 D 考点： 1、导数的几何意义； 2、直 线的倾斜角 10.10.已知 ，且 ，则 为虚数单位的最小值是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用复数 |z|=1的几何意义即可求得 |z 2 2i|（ i为虚数单位）的最小值利用复数
8、|z|=1的几何意义即可求得 |z 2 2i|（ i为虚数单位）的最小值 【详解】 |z| =1 且 z C，作图如图： 5 |z 2 2i|的几何意义为单位圆上的点 M到复平面上的点 P（ 2， 2）的距离， |z 2 2i|的最小值为： |OP| 1=2 1 故选： A 【点睛】 本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题 11.11.函数 在 内有极小值，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析 ： 该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即
9、可 . 详解 ： ， 函数 在 内有极小值，等价于方程 在区间上有较大根，即 ， 解得 ， 故选 A, 点睛 ： 解决该题的关键是要明确函数的极值点的位置，以及极值点存 在的条件，还有极值点的求解方法，除此之外，还需要明确极大值与极小值的区别所在 . 12.12.用数学归纳法证明不等式 的过程中 ,由 到时 ,不等式的左边 ( ) A. 增加了一项 B. 增加了两项 + C. 增加了两项 + ,又减少了一项 6 D. 增加了一项 ,又减少了一项 【答案】 C 【解析】 当 时 ,不等式左边为 + +?+ + + ,故增加了两项+ ,减少了一项 ,故选 C. 填空题（本大题共 4小题，共 20分
10、） 13.13.已知 i 为虚数单位，则 _ 【答案】 2 【解析】 . 14.14.函数 在 时有极值为 10，则 的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 首先对 f（ x）求导，然后由题设在 x=1时有极值 10 可得 ，解方程得出 a， b的值，最后求它们的即可 【详解】 对函数 f（ x）求导得 f （ x） =3x2+2ax+b， 又 在 x=1时 f（ x）有极值 10， ， 解得 或 ， 验证知，当 a= 3， b=3时，在 x=1无极值， 故 a+b的值 7 故答案为： 7 【点睛】 掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力 15.15.已知 有下列各
11、式： ， ，成立，观察上面各式，按此规律若 ，则正数 _ 【答案】 7 【解析】 【分析】 由已知中的不等式，归纳推理得： x+ n+ 1，进而根据 n+1=5，求出 n值，进而得到 a值 【详解】 由已知中： x （ 0， + ）时， x+ 2 ， x+ = + + 3 ， x+ = + + + 4 ? 归纳推理得： x+ n+1 ， 若 x+ 5 ， 则 n+1=5，即 n=4， 此时 a=nn=44， 故答案为 44 【点睛】 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： (1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问 题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系
12、相关的知识，如等差数列、等比数列等； (2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳 . 16.16. _ 【答案】 【解析】 【分析】 由定积分的几何意义求得 dx，直接求定积分得到 sinxdx，则答案可求 【详解】 求 dx sinxdx 由定积分的几何意义可知， dx是以原点为圆心，以 1为半径的四分之一圆的面积，8 等于 sinxdx= dx sinxdx= 故答案为： 【点睛】 本题考查了定 积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题 解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17.17.已知 ，复数 实数 m取什么值时，复数 z为实数、纯虚数； 实数 m取值范围是什么
13、时，复数 z对应的点在第三象限 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 【分析】 （ 1）由虚部为 0求得使 z为实数的 m值，再由实部为 0且虚部不为 0求得使 z为纯虚数的m值； （ 2）由实部与虚部均小于 0求解 【详解】 解： 当 ，即 时， 复数 为实数； 当 ，即 时， 复数 是纯虚数； 由题意， ，解得 当 时，复数 z对应的点在第 三象限 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题 18.18.数列 的前 n 项和记为 ，已知 ， 2， 证明： 数列 是等比数列； 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 9 【解析】 试题分析： 由 ， 得 Sn
14、Sn 1 Sn， 2分 S n 1 Sn， 2， 4分 数列 为等比数列 . 6分 由 知 公比为 2， 8分 ， 10分 S n 1 4an. 12分 考点：等比数列及求和 点评：要证明一数列是等比数列需用定义，如要证明 是等比数列只需证明 是常数，另本题中用到了关系式 19.19.已知 a， ， 其中 e是自然对数的底数，求证： 提示：可考虑用分析法找思路 【答案】 见解析 【解析】 【分析】 要证： ba ab只要证： alnb blna 只要证 构造函数 f（ x） = ，利用函数的单调性即可证明 【详解】 证明： ， ， 要证： 只要证： ， 只要证 ， 设 ， 10 ， 当 时， ， 函数 在 上是单调递减 当 时，有 ， 即 ， 【点睛】 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题 20.20.求由抛物线 与它在点 和点 的切线所围成的区域的面积 【答案】 【解析】 试题分析：求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积 试题解析： ， ， 所以过点 A（ 0， 3）和点 B(3， 0)的切线方程分别是 ， ?2 分 两条切线的交点是（ ）， ?3 分 围成的区域如图所示：区域被直线 分成了两部 分，分别计算再相加，得：
