1、 - 1 - 广东省东莞市 2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 理（含解析） 一选择题（共 12小题） 1已知复数 z= ，则复数 z在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如果复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z的实部为 1 C z的虚部为 1 D z的共轭复数为 1+i 3把正整数按如图所示的规律排序，则从 2003到 2005的箭头方向依次为（ ） A B C D 4若 P= + ， Q= + （ a 0），则 P， Q的大小关系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a的取值确定 5用数学归纳法证明 1+ + + +
2、 n（ n N*， n 1），第一步应验证不等式（ ） A 1+ 2 B 1+ + 3 C 1+ + + 3 D 1+ + 2 6函数 y=x2+x在 x=1到 x=1+ x之间的平均变化率为（ ） A x+2 B 2 x+（ x） 2 C x+3 D 3 x+（ x） 2 7下列式子不正确的是（ ） A（ 3x2+cosx） =6x sinx B（ lnx 2x） = ln2 C（ 2sin2x） =2 cos2x D（ ） = 8函数 f（ x） =x3 3ax2+3x有极小值，则 a的取值范围是（ ） A a 1 B a 1 C a 1或 a 1 D a 1或 a 1 9 （ x+ ）
3、dx=（ ） A e2 B C D 10某校开设 A类选修课 3门， B类选修课 4门，一位同学从中选 3门若要求两类课程中各- 2 - 至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 30种 B 35种 C 42种 D 48种 11（ x+1）（ x 2） 6的展开式中 x4的系数为（ ） A 100 B 15 C 35 D 220 12如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种 A 72 B 60 C 48 D 24 二填空题（共 4小题） 13如果（ x2 1） +（ x 1） i是纯虚数，那么实数 x=
4、 14函数 f（ x） =lnx的图象在点 x=1处的切线方程是 15在（ x+ y） 8的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为 16 A， B， C， D， E 等 5 名同学坐成一排照相，要求学生 A， B 不能同时坐在 两旁，也不能相邻而坐，则这 5名同学坐成一排的不同坐法共有 种（用数学作答） 三解答题（共 6小题） 17设复数 z= 3cos +isin （ i为虚数单位） （ 1）当 = 时，求 |z|的值； （ 2）当 ， 时，复数 z1=cos isin ，且 z1z为纯虚数，求 的值 18若 an+1=2an+1（ n=1， 2， 3， ）且 a1=1 （ 1）求 a2
5、， a3， a4， a5； （ 2）归纳猜想通项公式 an并用数学归纳法证明 19袋中装有大小相同的 4个红球和 6个白球，从中取出 4个球 （ 1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？ （ 2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ - 3 - 20设 f（ x） =x2+2x+1求 y=f（ x）的图象与两坐标所围成图形的面积 21从集合 x| 5 x 16， x Z中任选 2个数，作为方程 中的 m和 n， 求：（ 1）可以组成多少个双曲线？ （ 2）可以组成多少个焦点在 x轴上的椭圆？ （ 3）可以组成多少个在区域 B=（ x， y） |x| 2，且 |y|
6、 3内的椭圆？ 22已知函数 f（ x） =ax2 bx+lnx， a， b R （ 1）当 a=b=1时，求曲线 y=f（ x）在 x=1处的切线方程； （ 2）当 b=2a+1时，讨论函数 f（ x）的单调性 - 4 - 2016-2017 学年广东省东莞市北师大石竹附中高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一选择题（共 12小题） 1已知复数 z= ，则复数 z在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 A2：复数的基本概念 【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论 【解答】解： z= = = ， 对应的点的坐标为（
7、）， 位于第四象限， 故选： D 2如果复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z的实部为 1 C z的虚部为 1 D z的共轭复数为 1+i 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算； A2：复数的基本概念 【分析】直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案 【解答】解：由 z= = ， 所以 ， z的实部为 1， z的虚部为 1， z 的共轭复数为 1+i， 故选 C 3把正整数按如图所示的规律排序，则从 2003到 2005的箭头方向依次为（ ） - 5 - A B C D 【考点】 F1：归纳推理 【分析】根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，所以确
8、定 2005 到 2007 的箭头方向可以把 2005除以 4余数为 1，由此可以确定 2005的位置和 1的位置相同，然后就可以确定从 2005到 2007的箭头方向 【解答】解： 1和 5的位置相同， 图中排序每四个一组循环， 而 2003除以 4的余数为 3， 2003的位置和 3的位置相同， 2003 2005 故选 B 4若 P= + ， Q= + （ a 0），则 P， Q的大小关系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a的取值确定 【考点】 F9：分析法和综合法 【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子 P= + ，Q= + ，很难找到由已知到未知
9、的切入点，故我们可以用分析法来证明 【解答】解： 要证 P Q，只要证 P2 Q2， 只要证： 2a+7+2 2a+7+2 ， 只要证： a2+7a a2+7a+12， 只要证： 0 12， 0 12 成立， P Q 成立 故选 C 5用数学归纳法证明 1+ + + + n（ n N*， n 1），第一步应验证不等式（ ） A 1+ 2 B 1+ + 3 C 1+ + + 3 D 1+ + 2 - 6 - 【考点】 RG：数学归纳法 【分析】利用 n=2写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式 【解答】解：当 n=2时，左侧 =1+ + ，右侧 =2，左侧 右侧 用数学归纳法证明 1+ + +
10、 + n（ n N*， n 1），第一步应验证不等式 1+ 2， 故选： D 6函数 y=x2+x在 x=1到 x=1+ x之间的平均变化率为（ ） A x+2 B 2 x+（ x） 2 C x+3 D 3 x+（ x） 2 【考点】 61：变化的快慢与变化率 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进 行化简求解 【解答】解： y=（ 1+ x） 2+1+ x 1 1= x2+3 x， = x+3， 故选： C 7下列式子不正确的是（ ） A（ 3x2+cosx） =6x sinx B（ lnx 2x） = ln2 C（ 2sin2x） =2cos2x D（ ） = 【考点】 66：简单复合函数
11、的导数 【分析】观察四个选项，是四个复合函数求导的问题，故依据复合函数求导的法则依次对四个选项的正误进行判断即可 【解答】解：由复合函数的求导法则 对于选项 A，（ 3x2+cosx） =6x sinx成立，故 A正确 对于选项 B， 成立，故 B正确 对于选项 C，（ 2sin2x） =4cos2x 2cos2x，故 C不正确 对于选项 D， 成立，故 D正确 故选 C - 7 - 8函数 f（ x） =x3 3ax2+3x有极小值，则 a的取值范围是（ ） A a 1 B a 1 C a 1或 a 1 D a 1或 a 1 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】求出函数的导数，得
12、到 f （ x） =0 有 2 个不相等的实数根，由 0，求出 a 的范围即可 【解答】解： f （ x） =3（ x2 2ax+1）， 若函数 f（ x） =x3 3ax2+3x 有极小值， 则 f （ x） =0有 2个不相等的实数根， 故 =4a2 4 0， 解得： a 1或 a 1， 故选： D 9 （ x+ ） dx=（ ） A e2 B C D 【考点】 67：定积分 【分析】根据定积分的计算法则计算即可 【解答】解： （ x+ ） dx=（ x2+lnx） | =（ e2+1）（ +0） = ， 故选： B 10某校开设 A类选修课 3门， B类选修课 4门，一位同学从中选 3门
13、若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 30种 B 35种 C 42种 D 48种 【考点】 D3：计数原理的应用 【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况： A类选修课选 1门， B类选修课选 2门；A 类选修课选 2门， B类选修课选 1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：可分以下 2种情况： A类选修课选 1门， B类选修课选 2门，有 C31C42种不同的选法； A类选修课选 2门， B类选修课选 1门，有 C32C41种不同的选法 根据分类计数原理知不同的选法共有 C31C42+C32C41=18+12=30种 - 8 - 故要求两类课程中各至
14、少选一 门，则不同的选法共有 30种 故选： A 11（ x+1）（ x 2） 6的展开式中 x4的系数为（ ） A 100 B 15 C 35 D 220 【考点】 DB：二项式系数的性质 【分析】把（ x 2） 6按照二项式定理展开，可得（ x+1）（ x 2） 6的展开式中 x4的系数 【解答】解：（ x+1）（ x 2） 6 = （ x+1 ）（ + 23? ?x3+24? ?x2 25? ?x+26? ） 故展开式中 x4的系数为 23? +22? = 100， 故选： A 12如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择
15、，则不同的着方法共有（ ）种 A 72 B 60 C 48 D 24 【考点】 D8：排列、组合的实际应用 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：若选 3 种颜色时，就是 同色， 同色；若 4 种颜色全用，只能 或 用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可 【解答】解：由题意，分 2种情况讨论： （ 1）、选用 3种颜色时，必须是 同色， 同色，与 进行全排列， 涂色 方法有 C43?A33=24种 （ 2）、 4色全用时涂色方法：是 同色或 同色，有 2种情况， 涂色方法有 C21?A44=48种 - 9 - 所以不同的着色方法共有 48+24=72种； 故选： A 二填空题（共 4小题） 13如果（ x2 1） +（ x 1） i是纯虚数，那么实数 x=
