1、 2020 年抚顺本溪辽阳初中毕业生学业考试年抚顺本溪辽阳初中毕业生学业考试 数学试卷数学试卷 第一部分选择题（共第一部分选择题（共 30 分）分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.-2 的倒数是（ ） A. -2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据倒数的定义求解. 【详解】-2 的倒数是- 1 2 故选 B 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握 2.下图是
2、由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【详解】从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个三角形， 故选：C 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 3.下列运算正确的是（ ） A. 23 23mmm B. 422 mmm C. 236 mmm D. 3 25 mm 【答案】B 【解析】 【分析】 运用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算法则运算即可 【详解】解：Am2与 2m 不是同类项，不能合并，所以 A 错误； Bm4 m2m42
3、m2，所以 B 正确； Cm2m3m2+3m5，所以 C 错误； D （m2）3m6，所以 D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称
4、图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 5.某校九年级进行了 3 次数学模拟考试， 甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学 3 次数学成绩的平均分都是 129 分， 方差分别是 2 3.6s 甲 ， 2 4.6s 乙 ， 2 6.3s 丙 ， 2 7.3s 丁 ， 则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是 （ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】 根据方差的意义即方差越小成绩越稳定即可求解 【详解】
5、解： 2 3.6s 甲 ， 2 4.6s 乙 ， 2 6.3s 丙 ， 2 7.3s 丁 ，且平均数相等， 2 s甲 2 s乙 2 s丙 2 s丁 这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是甲， 故选：A 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小， 稳定性越好 6.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120 ，则2 的度数是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平行线的性质求得3 的度数，即可求得
6、2 的度数 【详解】 ADBC， 3=1=20， DEF 是等腰直角三角形， EDF=45， 2=453=25， 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 7.一组数据 1，8，8，4，6，4 的中位数是（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 先将数据重新按大小顺序排列，再根据中位数的概念求解可得 【详解】解：一组数据 1，4，4，6，8，8 的中位数是 46 5 2 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
7、数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这 组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 8.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周 3000 件提高到 4200 件，平均每人每周比原来多投递 80 件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平 均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ） A. 30004200 80 xx B. 30004200 80 xx C. 42003000 80 xx D. 30004200 80 xx 【答案】D 【解析】 【分析】 设原来平均每人
8、每周投递快件 x 件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量 人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件 x 件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件， 根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得： 30004200 80 xx ， 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，8AC ，6BD，点E是CD上一点，连接OE，若OECE，则OE的长是（ ） A. 2 B. 5
9、2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分求出 OB，OC，ACBD，再利用勾股定理列式求出 BC，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可 【详解】菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， OA=OC= 1 2 AC=4，OB=OD= 1 2 BD=3，ACBD， 由勾股定理得，CD= 2222 435OCOD ， OE=CE， EOC=ECO， EOC+EOD =ECO+EDO=90， EOD =EDO， OE=ED， OE=ED=CE， OE= 1 2 CD= 5 2 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等
10、腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键 10.如图， 在Rt ABC中，90ACB，2 2ACBC ，CDAB于点D点P从点A出发，沿ADC的路径运动，运动到点C停止， 过点P作PEAC于点E，作PFBC于点F设 点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 分两段来分析：点 P 从点 A 出发运动到点 D 时，写出此段的函数解析式，则可排除 C 和 D；P 点过了 D 点向 C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案 【详解
11、】解：90ACB， 2 2ACBC ， 45A ，4AB ， 又CD AB， 2ADBDCD，45ACDBCD， PEAC，PFBC， 四边形CEPF是矩形， I当 P 在线段 AD 上时，即02x时，如解图 1 2 sin 2 AEPEAPAx， 2 2 2 2 CEx， 四边形CEPF的面积为 2 221 2 22 222 yxxxx ，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项 CD 错误； II当 P 在线段 CD 上时，即24x时，如解图 2： 依题意得：4CPx， 45ACDBCD，PEAC， sinCEPECPECP， 2 4sin454 2 CEPExx ， 四边形CEPF的
12、面积为 2 2 21 448 22 xxxy ，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项 B 错误； 故选：A 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键 第二部分非选择题（共第二部分非选择题（共 120 分）分） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11.截至 2020 年 3 月底，我国已建成5G基站 198 000 个，将数据 198 000 用科学记数法表示为_ 【答案】 5 1.98 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10
13、，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当数绝对值大于 10 时，n 是正数； 当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【详解】198000=1.98 105， 故答案为：1.98 105 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键 12.若一次函数 22yx 的图象经过点(3,)m，则m_ 【答案】8 【解析】 【分析】 将点(3,)m代入一次函数的解析式中即可求出 m 的值 【详解】解：由题意知，将点(3,)m代入一次函数22yx的解析式中， 即：2 3 2 m， 解得：8m 故答案为：8
14、 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可 13.若关于x的一元二次方程 2 20 xxk无实数根，则k的取值范围是_ 【答案】1k 【解析】 【分析】 方程无实数根，则0，建立关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范围 【详解】1a ，2b，c k， 由题意知， 22 424 1440backk ， 解得：1k ， 故答案为：1k 【点睛】本题考查了一元二次方程 2 0axbxc（0a，ab c， ，为常数）的根的判别式 2 4bac当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方 程没有实数根 14.下图是由全等的小正方形组成
15、的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_ 【答案】 5 9 【解析】 【分析】 先设阴影部分的面积是 5x，得出整个图形的面积是 9x，再根据几何概率的求法即可得出答案 【详解】解：设阴影部分的面积是 5x，则整个图形的面积是 9x， 则这个点取在阴影部分的概率是 55 99 x x 故答案为： 5 9 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A） ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率 15.如图，在ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME
16、并延长，交BC的延长线于点D，若 4BC ，则CD的长为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 依据三角形中位线定理，即可得到 MN= 1 2 BC=2，MN/BC，依据 MNEDCE（AAS） ，即可得到 CD=MN=2 【详解】解：M，N 分别是 AB 和 AC 的中点， MN 是 ABC 的中位线， MN= 1 2 BC=2，MNBC， NME=D，MNE=DCE， 点 E 是 CN 的中点， NE=CE， MNEDCE（AAS） ， CD=MN=2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工
17、具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条 件 16.如图，在Rt ABC中，90ACB，2ACBC ，分别以点A和B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若3CE ，则BE的 长为_ 【答案】5 【解析】 【分析】 由题意可得：直线 MN 是 AB 的垂直平分线，从而有 EA=EB，然后设 BE=AE=x，则可用含 x 的代数式表示出 BC，于是在 Rt BCE 中根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求出结果 【详解】解：由题意可得：直线 MN 是 AB 的垂直平分线，EA=EB， 设 BE=AE=x，则 AC=x+3，
18、 AC=2BC， 1 3 2 BCx， 在 Rt BCE 中，由勾股定理，得 222 BCCEBE， 即 2 22 1 33 4 xx，解得： 12 5,3xx （舍去） ， BE=5 故答案为：5 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题关键 17.如图，在ABC中，ABAC，点A在反比例函数 k y x （0k ，0 x）的图象上，点B，C在x轴上， 1 5 OCOB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若BCD的面积等于 1，则k的值 为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 作 AEBC 于 E
19、，连接 OA，根据等腰三角形的性质得出 OC= 1 2 CE，根据相似三角形的性质求得 S CEA=1，进而根据题意求得 S AOE= 3 2 ，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 k 的值 【详解】解：作 AEBC 于 E，连接 OA， AB=AC， CE=BE， OC= 1 5 OB， OC= 1 2 CE， AEOD， CODCEA， 2 CEA COD 4 SCE SOC ， 1 BCD S，OC= 1 5 OB， COD 11 44 BCD SS， CEA 1 41 4 S， OC= 1 2 CE， AOC 11 22 CEA SS， AOE 13 1 22 S ， AOE
20、1 2 Sk(0k )， 3k ， 故答案为：3 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 18.如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AEDA，连接EB，点1 F是CD的中点，连接 1 EF， 1 BF，得到 1 EFB；点 2 F是 1 CF的中点，连接 2 EF， 2 BF，得到 2 EF B；点 3 F是 2 CF的 中点，连接 3 EF， 3 BF，得到 3 EF B；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于 2，则 n EF B的面积为_ （用含正整数n的式子表示） 【答案
21、】 21 2 n n 【解析】 【分析】 先计算出 1 EFB、 2 EF B、 3 EF B的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解 【详解】解：AEDA， ABE面积是矩形 ABCD 面积的一半，梯形 BCDE 的面积为2+1=3， 点 1 F是CD的中点， 11 =DF CF 1 1 11111 = 22242 矩形 BFCABCD SBC CFBCCDS， 1 1 1111 2=1 2222 矩形 DF EABCD SDE DFADDCS， 111 13 3 1 22 梯形 EF BDF EBFCABCD SSSS， 点 2 F是 1 CF的中点，由中线平分所在三角形的面
22、积可知， 21 11 24 BF CBFC SS， 且 21 3 2 DFDF， 21 33 22 DF EDF E SS 222 315 3 244 梯形 EF BDF EBF CABCD SSSS， 同理可以计算出： 32 11 28 BF CBF C SS， 且 31 7 4 DFDF， 31 77 44 DF EDF E SS， 333 719 3 488 梯形 EF BDF EBF CABCD SSSS， 故 1 EFB、 2 EF B、 3 EF B的面积分别为： 3 5 9 , 2 4 8 ， 观察规律，其分母分别为 2,4,8，符合2n，分子规律为2 +1 n ， n EF B
23、的面积为 21 2 n n 故答案为： 21 2 n n 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19.先化简，再求值： 2 11 339 xx xxx ，其中23x 【答案】3x, 2 【解析】 【分析】 首先根据分式的加减法法则将括号里面的分式进行计算，然后将除法转化成乘法进行约分化简，最后将x的值代入化简后的式子进行计算 【详解】 2 11 339 xx xxx 11 3(3)(3) xx
24、 xxx 1 (3)(3) 31 xxx xx 3x， 当 23x 时， 原式 23 32 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 20.为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周 课外阅读的总时间为x小时，将它分为 4 个等级：A（02x） ，B（24x） ，C（46x） ，D（6x） ，并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了_名学生； （2）
25、在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为_ ； （3）请补全条形统计图； （4）在等级D中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 【答案】 （1）50； （2）108； （3）见解析； （4） 1 6 【解析】 【分析】 （1）用条形统计图中等级 B 的人数除以扇形统计图中等级 B 所占百分比即得本次调查的人数； （2）用扇形统计图中等级 D 的人数除以总人数再乘以 360 即可求出等级D所对应的扇形的圆心角； （3）用总人数减去其它三个等级的人数即得等级 C 的人数，进而可补全条形统计图；
26、 （4）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解即可 【详解】解： （1）本次调查的学生人数=13 26%=50 名； 故答案为：50； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角= 15 360108 50 故答案为：108； （3）C等级人数为：50 4 13 15 18 名，补图如下： （4）画树状图得： 由图可知：总共有 12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲和乙的结果有 2 种， 所以P（恰好选中甲和乙） 21 126 【点睛】本题是统计与概率综合题，主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及求两次事件的概率，
27、属于常考题型，熟练掌握统计与概率的基本知识是解题的关键 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21.某校计划为教师购买甲、乙两种词典已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元 （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】 （1）每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元； （2）学校最多可购买甲种词典 5
28、 本 【解析】 【分析】 （1）设每本甲种词典的价格为 x 元，每本乙种词典的价格为 y 元，根据“购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次 方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典 m 本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价 数量结合总费用不超过 1600 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【详解】 （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据题意，得 2170 23290 xy xy 解得 70 50 x
29、y 答：每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元 （2）设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典(30)m本，根据题意，得 7050(30)1600mm 解得5m 答：学校最多可购买甲种词典 5 本 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 22.如图， 我国某海域有A，B两个港口， 相距 80 海里， 港口B在港口A的东北方向， 点C处有一艘货船， 该货船在港口A的北偏西 30 方向， 在港口B的北偏西 75 方向， 求货船与港口A之
30、间的距离 （结 果保留根号） 【答案】货船与港口A之间的距离是40 6海里 【解析】 【分析】 过点A作ADBC于D，先求出60ABC，在Rt ABD中，30DAB，由三角函数定义求出AD，求出45DACCABDAB ，则ADC是等腰直角三角形，得出240 6ACAD 海里即可 详解】解：过点A作ADBC于点D 根据题意，得 180754560ABC ADBC 90ADB 180180906030DABADBABC 在Rt ABD中 80AB ，60ABD sin80 sin6040 3ADABABD 304575CAB 753045DACCABDAB 在Rt ACD中 40 3AD ，45D
31、AC 40 3240 6 cos AD AC DAC 答：货船与港口A之间的距离是40 6海里 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶 10 元在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中1015x，且x为整数） ，当每瓶洗手液的售价是 12 元时， 每天销售量为 90 瓶；当每瓶洗手液的售价是 14 元时，每天销售量为 80 瓶 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗
32、手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】 （1）5150yx （10 x15，且 x 为整数） ； （2）当每瓶洗手液的售价定为 15 元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是 375 元 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润 销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得 【详解】解： （1）设y与x之间的函数关系式为y kxb （0k ） ，根据题意，得： 1290 1480 kb kb ， 解得 5 150 k b ， y与x
33、之间的函数关系式为5150yx （10 x15，且 x 为整数） ； （2）根据题意，得： (10)( 5150)wxx ， 2 52001500 xx ， 2 5(20)500 x ， 50a ， 抛物线开口向下，w有最大值， 当20 x时，w随x的增大而增大， 1015x，且x整数， 当 15x 时，w有最大值， 即 2 5 (1520)500375w ， 答：当每瓶洗手液的售价定为 15 元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是 375 元 【点睛】本题主要了考查二次函数应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质
34、求最值问题 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，90CAB，以点A为圆心，以AB的长为半径作 A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE （1）求证：DE与A相切； （2）若60ABC，4AB ，求阴影部分的面积 【答案】 （1）见解析； （2） 4 4 3 3 【解析】 【分析】 （1）证明：连接 AE，根据平行四边形的性质得到 AD=BC，ADBC，求得DAE=AEB，根据全等三角形的性质得到DEA=CAB，得到 DEAE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到 ABE 是等边三角形，求得 AE=BE，EAB=60 ，得到CA
35、E=ACB，得到 CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论 【详解】 （1）证明：连接AE 四边形ABCD是平行四边形 ADBC，/AD BC DAEAEB AEAB AEBABC DAEABC AEDBAC DEACAB 90CAB 90DEA DEAE AE是A的半径 DE与A相切 （2）解：60ABC，AB AE ABE是等边三角形 AEBE，60EAB 90CAB 90906030CAEEAB 90906030ACBB CAEACB AECE CEBE 1 2 ACEABEABC SSS 在Rt ABC中， 90CAB，60ABC，4AB tan4 tan604 3ACABA
36、BC 11 4 4 38 3 22 ABC SAB AC 11 8 34 3 22 ACEABC SS 30CAE，4AE 22 303044 3603603 AEF AE S 扇形 4 4 3 3 AA FCEE SSS 阴影扇形 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25.如图， 射线AB和射线CB相交于点B，ABC （0180） ， 且ABCB 点D是射线CB上的动点 （点D不与点C和点B重合） 作射线AD， 并在射线AD
37、上取一点E， 使AEC， 连接CE，BE （1）如图，当点D在线段CB上，90时，请直接写出AEB的度数； （2）如图，当点D在线段CB上，120时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由； （3）当120， 1 tan 3 DAB时，请直接写出 CE BE 的值 【答案】 （1）45AEB； （2）3AEBECE，理由见解析； （3） 33 2 或 33 2 【解析】 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质求解得ACB=45，证明 A、B、E、C 四点共圆，利用圆周角定理即可求解； （2）在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于点H，利用“SAS”证得 ABF CB
38、E，求得30BFEBEF，根据三角函数的定义即可求解； （3）分 D 在线段 CB 上和 D 在 CB 延长线上两种情况讨论，利用（2）的方法及结论即可求解 【详解】 （1）连接 AC，如图： ABC=90，AB=CB, ACB=CAB=45， AEC=90，又ABC=90， A、B、E、C 四点共圆， 根据圆周角定理：AEB=ACB=45； （2）3AEBECE，理由如下： 在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于点H ABCAEC， A、B、E、C 四点共圆， 根据圆周角定理：AC ， 在 ABF 和 CBE 中， AFCE AC BABC ， SASABFCBE， ABFCBE
39、，BFBE， ABFFBDCBEFBD， FBEABC， 120ABC， 120FBE， BFBE， 11 18018012030 22 BFEBEFFBE ， BHEF于点H， 90BHE， 在Rt BHE 中， 3 coscos30 2 FHEHBEBEHBEBE， 33 3 22 FEFHEHBEBEBE， AEAFFE，AFCE， 3AECEBE ； （3）当 D 在线段 CB 上时，如图： 1 tan 3 BH DAB AH ， 设 BH=a，则 AH=3a， 由（2）得：30BFEBEF， BF=BE=2a，FH=EH= 3a， AF=CE=AH-FH=(3- 3)a， 33 33
40、 22 a CE BEa ； 当 D 在 CB 延长线上时， 在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于点H如图： 同理：设 BH=a，则 AH=3a， 同理得：30BFEBEF， BF=BE=2a，FH=EH= 3a， AF=CE=AH+FH=(3+ 3)a， 33 33 22 a CE BEa ； 综上， CE BE 的值为： 33 2 或 33 2 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键 八、解八、解答题（满分答题（满分 14 分）分） 26.如图，抛物线 2 2 3yaxx
41、c（0a）过点 (0,0)O 和(6,0)A，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当30BOD时，求点D的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合，连接EF，将BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B， EFB与OBE 的重叠部分为EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 3 2 3 3 yxx； （2） 5 3 5, 3 D ； （
42、3）存在，( 3 2 ， 3 2 )或( 5 2 ， 3 3 2 )或( 7 2 ， 3 3 2 ) 【解析】 【分析】 （1）把点 O(0，0)和 A(6，0)分别代入解析式即可求解； （2）分别求得点 B、C、E 的坐标，用待定系数法求得直线OD的解析式，解方程组即可求得点 D 的坐标； （3）分三种情况讨论，利用解直角三角形求解即可 【详解】 （1）把点0 0O( ，)和(6 0)A ，分别代入 2 2 3yaxxc中，得： 0 3612 30 c ac ， 解得 3 3 0 a c ， 抛物线的解析式为 2 3 2 3 3 yxx； （2）如图，设抛物线的对称轴与x轴相交于点 C，与O
43、D相交于点 E， 22 33 2 3(3)3 3 33 yxxx， 顶点(33 3)B，对称轴与x轴的交点 C(3，0)， OC=3， CB=3 3， 在Rt OCB中， 3 3 tan3 3 BC COB OC ， 60COB， 30BOD， 603030CODCOBBOD， 在Rt OCE中， 3 tan3tan3033 3 CEOCCOE ， 点 E 的坐标为(3，3)， 设直线OD的解析式是y kx （0k ） ， 把点 E (3，3)代入，得： 33k 解得 3 3 k ， 直线OD的解析式是 3 3 yx ， 2 33 2 3 33 xxx， 解得 1 0 x （舍去） ， 2 5
44、x ， 当5x 时， 5 3 3 y ， 点 D 的坐标为(5， 5 3 3 )； （3）存在，理由如下： 由（2）得：COE=EOB=30，CE= 3，BE=OE=2CE=23， 当EFG=90时，如图： 点 B 、G 与点 O 重合，此时四边形 EFGH 为矩形， 过 H 作 HPOC 于 P， COE=EOB=30， OH=EF=CE= 3， HOP=90-COE-EOB=30， HP= 1 2 OH= 3 2 ，OP= 3HP= 3 2 ， 点 H 的坐标为( 3 2 ， 3 2 )； 当EGF=90时，此时四边形 EGFH 为矩形，如图： CEO=90-COE=60，OEG=90-E
45、OB=60， BEG=180-CEO-OEG=60， 根据折叠的性质： D EF=BEF= 1 BEG 2 =30， 在 Rt EGF 中，EGF=90，GEF=30，GE=CE= 3， GF=GEtan30=1， EH=GF=1， 过 H 作 HQBC 于 Q， HEQ=90-BEG =30， HQ= 1 2 EH= 1 2 ，EQ= 3HQ= 3 2 ， 点 H 的坐标为( 1 2 3， 3 3 2 )，即( 7 2 ， 3 3 2 )； 当点 G 在 OD 上，且EGF=90时，此时四边形 EGFH 为矩形，如图： BOE=30， OFG=90-EOB=60， 根据折叠的性质： kg E
46、=BFE= 1 BFG 2 = 1 180OFG 2 =60， FG 是线段 OE 的垂直平分线， OG=GE= 1 2 OE= 3，EH=GF=OGtan30=1， 过 H 作 HKBC 于 K， HEK=180-OEC-OEH=30， HK= 1 2 EH= 1 2 ，EK= 3HK= 3 2 ， 点 H 的坐标为( 1 3 2 ， 3 3 2 )，即( 5 2 ， 3 3 2 )； 综上，符合条件的点 H 的坐标为( 3 2 ， 3 2 )或( 5 2 ， 3 3 2 )或( 7 2 ， 3 3 2 ) 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，含 30 度角的直角三角形的性质，翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想和分类讨论 的思想解决问题，属于中考压轴题
