1、 1 安徽省池州市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 ? ?234, , ,A i i i i? （ i 是虚数单位）， ? ?1, 1B?，则 AB等于（ ） A ?1? B ?1 C ? ?1, 1? D ? 2.下列函数中既是奇函数，又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是（ ） A ( ) sinf x x? B ( ) | 1|f x x? ? C 1( ) ( )2 xxf x a a? D 2( )
2、 lg 2 xfx x? ? 3.设 0( ) sinf x x? ， 10( ) ( )f x f x? ， 21( ) ( )f x f x? ，?， 1( ) ( )nnf x f x? ， nN? ，则2017()fx? （ ） A sinx B sinx? C cosx D cosx? 4.对命题“正三角形的内切圆内切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的（ ） A一条中线上的点，但不是重心 B一条垂线上的点，但不是垂心 C一条角平分线上的点，但不是内心 D中心 5.设 1 1 1( 1)( 1)( 1)M abc? ? ? ?，且 1abc? ? ? （ a
3、， b ， c 均为正数），由综合法得 M 的取值范围是（ ） A 10,8?B 1 ,1)8 C ? ?1,8 D 8, )? 6.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为0.7 0.35yx?，则下列结论错误的是（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A产品的生产能耗与产量呈正相关 B t 的取值必定是 3.15 2 C回归直线一定过 (4.5,3.5) D A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 7.将正奇数 1,3,
4、5,7，?，排成五列（如表），按此表的排列规律， 89 所 在的位置是（ ） A第一列 B第二列 C第三列 D第四列 8.已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 0(2, )My，若点 M 到抛物线焦点的距离为 3，则 |OM 等于（ ） A 3 B 23 C 4 D 25 9.执行如图所示的程序框图，若输入的 a ， b ， k 分别为 1， 2,3，则输出的 M? （ ） A 203 B 165 C 72 D 158 10.经过椭圆 2 2 12x y?的一个焦点作倾斜角为 45? 的直线 l ，交椭圆于 A ， B 两点，设 O为坐标原点，则 OAOB? 等于（
5、 ） 3 A 3? B 13? C 13? 或 3? D 13? 11.设 a ， b 是两个实数，给出下列条件： 1ab?； 2ab? ； 2ab? ；222ab?； 1ab? 其中能推出：“ a ， b 中至 少有一个大于 1”的条件是（ ） A B C D 12.设函数 ()fx是奇函数 ()fx（ xR? ）的导函数， ( 1) 0f ?，当 0x? 时，( ) ( ) 0xf x f x?，则使得 ( ) 0fx? 成立 的 x 的取值范围是（ ） A ( , 1) (0,1)? ? B ( 1,0) (1, )? ? C ( , 1) ( 1,0)? ? ? D (0,1) (1,
6、 )? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若复数 z 满足 1z ii? ，其中 i 为虚数单位，则 z? 14.若正实数 x ， y 满足 26x y xy? ? ? ，则 xy 的最小值是 15.在矩形 ABCD 中，对 角线 AC 与相邻两边所成的角为 ? ， ? ，则有 22cos cos 1?.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，对角线 1AC 与相邻三个面所成的角为 ? ， ? ， ? ，则 16.一个圆经过椭圆 22116 4xy?的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的
7、标准方程 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知复平面内点 A 、 B 对应的复数分别是 21 sinzi?， 22 cos cos 2zi? ? ? ，其中 (0,2 )? ，设 AB 对应的复数为 z . （）求复数 z ； （）若复数 z 对应的点 P 在直线 12yx? 上，求 ? 的值 . 18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： 22s in 1 3 c o s 1 7 s in 1 3 c o s 1 7? ? ? ? ? ?； 4 22s in 1 5 c o s 1 5 s in
8、 1 5 c o s 1 5? ? ? ? ? ?； 22s in 1 8 c o s 1 2 s in 1 8 c o s 1 2? ? ? ? ? ?； 22s in ( 1 8 ) c o s 4 8 s in ( 1 8 ) c o s 4 8? ? ? ? ? ? ? ?； 22s in ( 2 5 ) c o s 5 5 s in ( 2 5 ) c o s 5 5? ? ? ? ? ? ? ?. （ ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 . 19.已知 a 、 b 、 cR? ，求证： 2 2 233
9、a b c a b c? ? ? ?. 20.已知抛物线 2 4 ( 0)y ax a?的焦点为 A ，以 ( 4,0)Ba? 为圆心， |AB 长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M 、 N 不同的两点 （）求 a 的取值范围； （）求 | | | |AM AN? 的值 21.某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行 分析，规定：大于或等于 120 分为优秀，120 分以下为非优秀统计成绩后，得到如图 22? 列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 311 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 （）请完成列联表； （）根据列联
10、表的数据，若按 99.9% 的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？通过计算作出回答 参考公式与临界值表： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? 2 0()P K k? 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 5 22.已知点 (0, 2)A ? ，椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 32 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 233 ， O 为坐标原点 （）求 E 的方程； （）设过点 A
11、 的直线 l 与 E 相交于 P ， Q 两点，当 OPQ? 的面积最大时，求 l 的方程 6 2016 2017 学年度第二学期期中教学质量检测高二数学（文科）答案 一、选择题 1-5:CDCDD 6-10:BDBDB 11、 12： CA 二、填空题 13.1i? 14.18 15. 2 2 2c o s c o s c o s 2? ? ? ? ? 16. 223 25()24xy? ? ? 三、解答题 17.解：（） 2 2 221 c o s s i n ( c o s 2 1 ) 1 ( 2 s i n )z z z i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （）点
12、 P 的坐标为 2( 1, 2sin )? ，由点 P 在直线 12yx? ，得 2 12sin 2? ? ， 2 1sin 4? ， 1sin 2? ， 又 (0,2 )? ， 6? ， 56? ， 76? ， 116? . 18.解：（）选择式，计算如下： 22 1 1 3s i n 1 5 c o s 1 5 s i n 1 5 c o s 1 5 1 s i n 3 0 12 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （）三角恒等式为 22 3s i n c o s ( 3 0 ) s i n c o s ( 3 0 ) 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 证明如
13、下： 22s in c o s ( 3 0 ) s in c o s ( 3 0 )? ? ? ? ? ? ? ? ?22s i n ( c o s 3 0 c o s s i n 3 0 s i n ) s i n ( c o s 3 0 c o s s i n 3 0 s i n)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 23 3 1 3 1s i n c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i n4 2 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 223 3 3sin co s4 4 4? ? ? 19.证明：
14、要证 2 2 233a b c a b c? ? ? ?， 只需证 2 2 2 2()33a b c a b c? ? ? ? ， 只需证 2 2 2 2 2 23 ( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ?， 只需证 2 2 22 ( ) 2 2 2a b c a b b c c a? ? ? ? ?， 7 只需证 2 2 2( ) ( ) ( ) 0c a b c c a? ? ? ? ? ?，而这是显然成立的， 所以 2 2 233a b c a b c? ? ? ?成立 20.解：（）由题意知抛物线的焦点坐标为 ( ,0)Aa ， 则
15、 | | 4AB? ，圆的方程为 ? ?2 2( 4) 16x a y? ? ? ?， 将 2 4 ( 0)y ax a?代入上式，得 222 ( 4 ) 8 0x a x a a? ? ? ? ?， 224 ( 4 ) 4 (8 ) 0a a a? ? ? ? ? ?，解得 01a?，即 (0,1)a? （） A 为焦点，设 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， 根据（）中的 222 ( 4 ) 8 0x a x a a? ? ? ? ?，得 1282x x a? ? ? ， 1 2 1 2| | | | ( ) ( ) 2 8 2 2 8A M A N x a x a x
16、 x a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 21.解：（） 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 （）根据列联表中的数据，得到 22 1 1 0 (1 0 3 0 2 0 5 0 ) 7 .4 8 6 1 0 .8 2 86 0 5 0 3 0 8 0K ? ? ? ? ? ?，因此按 99.9% 的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 22.解：（）设 (,0)Fc ，由条件知 2 2 33c? ，得 3c? ，又 32ca? ， 所以 2a? ， 2 2 2 1b a c? ? ? ，故 E 的方程为 2 2
17、 14x y? （）依题意当 lx? 轴不合题意，故设直线 l ： 2y kx?，设 11( , )Px y ， 22( , 0)Qx y ， 将 2y kx?代入 2 2 14x y?，得 22(1 4 ) 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ?， 当 216(4 3) 0k? ? ? ?，即 2 34k ? 时， 21,2 28 2 4 314kkx k? ?， 8 从而 22212 24 1 4 3| | 1 | | 14kkP Q k x x k? ? ? ? ? ? ?， 又点 O 到直线 PQ 的距离22 1d k? ? ， 所以 OPQ? 的面积 221 4 4 3|2 1 4O P Q kS d P Q k? ? ? ? ?，设 243kt?，则 0t? ， 244 144O P QtS tt t? ? ? ? ?， 当且仅当 2t? ， 72k? 等号成立，且满足 0? ， 所以当 OPQ? 的面积最大时， l 的方程为 7 22yx?或 7 22yx? ?
