1、 1 第第 3 讲讲 圆的切线、切点弦结论圆的切线、切点弦结论 知识与方法知识与方法 1 求过圆()()222:Cxaybr+=上一点()00,P x y的圆 C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点 P 且垂直于 x 轴的直线是否和圆 C 相切，若是，如图 1 所示，所求切线为0 xx=，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为 k，如图 2 所示，由PC 切线，求出 k，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆 C 上点 P 处的切线的方程为()()()()200 xaxaybybr+=.2 求过圆()()222:Cxaybr+=外一点()00,P x y的圆
2、C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点 P 且垂直于 x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图 3 所示，其中一条切线为0 xx=（2）设切线的斜率为 k，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离dr=，解出k，求得切线方程.3.过圆()()222:Cxaybr+=外一点()00,P x y作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和B，如图 4 所示，则切点弦AB所在直线的方程为()()()()200 xaxaybybr+=典型例题典型例题【例 l】圆()22:14Cxy+=在点()0,3P处的切线方程为_.【解析】显然点 P 在圆 C 上，故所求切线的方程为()()01134xy+=，化简得：3
3、30 xy+=.【答案】330 xy+=变式 1 圆22:230C xyx+=在点()2,3P处的切线方程为_.2 【解析】易验证点 P 在圆 C 上，故所求切线的方程为2232302xxy+=，化简得：350 xy=【反思】过圆 C 上的点()00,P x y作圆 C 的切线，则切线的方程可以在圆 C 的一般式方程中将2x换成0 x x，将2y换成0y y，将 x 换成02xx+，将 y 换成02yy+得到.【答案】350 xy=变式 2 已知圆()22:14Cxy+=，则：（1）圆 C 的过点()2,0P 的切线方程为_；（2）圆 C 的过点()3,1Q的切线方程为_【解析】（1）显然过点
4、 P 且斜率不存在的直线2x=与圆 C 不相切，故可设切线的方程为()2yk x=+，即20kxyk+=，所以2221kkk+=+，解得：2 55k=，故圆 C 的过点 P 的切线方程为()2 525yx=+；（2）易得过点 Q 且斜率不存在的直线3x=与圆 C 相切，设另一条切线的方程为()13ym x=，即130mxym+=，所以21321mmm+=+，解得：34m=，所以该切线的方程为()3134yx=，化简得：34130 xy+=，综上所述，圆 C 的过点 Q 的切线方程为3x=或34130 xy+=.【答案】（1）()2 522yx=+；（2）3x=或34130 xy+=【例 2】已
5、知圆22:4O xy+=外一点()2,3P，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和B，则直线AB的方程为_【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为234xy+=，即2340 xy+=【答案】2340 xy+=变式 1 已知圆22:2410C xyxy+=外一点()2,1P，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则直线AB的方程为_.【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为212241022xyxy+=化简得：310 xy+=【反思】过圆 C 外的点()00,P x y作圆 C 的两条切线，3 则切点弦所在直线的方程，可在圆 C 的一般式方程中将2x换成0 x
6、x，将2y换成0y y，将 x 换成02xx+，将 y 换成02yy+得到.【答案】310 xy+=变式 2 已知圆22:4Q xy+=，P 为直线:4l yx=+上一点，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A 和 B，若四边形PAOB 的面积为 12，则直线AB的方程为_.【解析】如图，2224APPOAOPO=，所以四边形PAOB的面积212242SAPAOPO=，由题意，22412PO=，解得:2 10PO=，由题意，点 P 在直线:4l yx=+上，故可设(),4P m m+，则()224POmm=+，所以()2242 10mm+=，解得：6m=或 2，当6m=时，()6,2P
7、，此时直线AB的方程为624xy=，化简得：320 xy+=当2m=时，()2,6P，此时直线 AB 的方程为264xy+=，化简得：320 xy+=，所以直线AB的方程为320 xy+=或320 xy+=【答案】320 xy+=或320 xy+=变式 3 已知圆22:4O xy+=，P 为直线:260l xy+=上一点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，当四边形PACB的面积最小时，则直线AB的方程为_.【解析】如图，2224APPOAOPO=，所以四边形PACB的面积212242SAPAOPO=，所以当PO最小时，S 也最小，此时POl，易求得PO的方程为20 xy=
8、，联立20260 xyxy=+=解得：65x=，125y=，所以612,55P，4 故直线AB的方程为612455xy=，化简得：36100 xy+=.【答案】36100 xy+=变式 4 已知直线:4l yx=+与 x 轴交于点 T，过直线 l 上的动点 P 作圆22:4O xy+=的两条切线，切点分别为 A、B，设AB中点为 M，则TM的最小值为（）A.2 2 B.3 2 C.17 D.3【解析】如图，因为点 P 在直线:4l yx=+上，所以可设(),4P m m+，则切点弦AB所在直线的方程为()44mxmy+=即()440m xyy+=，所以直线AB过定点()1,1Q，又 M 为AB
9、中点，所以OMAB，故点 M 在以OQ为直径的圆上，从而点 M 的轨迹是以1 1,2 2G为圆心，22为半径的圆，显然点()4,0T 在该圆外，所以min22 22TMTG=.【反思】当动点 P 在与圆 C 相离的某一定直线上运动时，过点 P 作圆 C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了.【答案】A 强化训练强化训练 1.（）圆22:40C xyx+=在点()1,3P处的切线方程为（）A.320 xy+=B.340 xy+=5 C.340 xy+=D.320 xy+=【解析】显然点 P 在圆 C 上，故所求切线的方程为113402xxy+=，化简得
10、：320 xy+=.【答案】D 2.（）已知圆()22:11C xy+=，则：（1）圆 C 的过点()0,2P的切线方程为_；（2）圆 C 的过点()1,1Q的切线方程为_.【解析】（1）显然过点 P 且斜率不存在的直线0 x=与圆 C 不相切，故可设切线的方程为()()20yk x=，即20kxy=，所以21211k=+，解得：2 2k=，故圆 C 的过点 P的切线方程为2 22yx=；（2）易得过点 Q 且斜率不存在的直线1x=与圆 C 相切，设另一条切线的方程为()()11ym x=，即10mxym=，所以21111mm=+，解得：34m=，所以该切线的方程为()()3114yx=，化简
11、得：3410 xy+=，综上所述，圆 C 的过点 Q 的切线方程为1x=或3410 xy+=【答案】（1）2 22yx=；（2）1x=或3410 xy+=3.（）已知圆()22:12Cxy+=外一点()2,2P，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则直线AB的方程为_.【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为()()2 1122xy+=，化简得：230 xy+=.【答案】230 xy+=4.（）已知圆()()22:129Cxy+=外一点()4,2P，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则直线AB的方程为_.【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为()
12、()()()4 112229xy+=，化简得：45x=.【答案】45x=5.（）已知圆22:2440C xyxy+=外一点()4,1P，过点 P 作圆 C 的两条切线，6 切点分别为 A 和 B，则直线AB的方程为_.【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为414244022xyxy=，化简得：5320 xy+=.【答案】5320 xy+=6.（）已知圆22:2440C xyxy+=，P 为直线:20l xy+=上一点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，若四边形PACB的面积为 12，则直线AB的方程为_.【解析】如图，2229APPCACPC=，所以四边形PACB的面
13、积212392SAPACPC=，由题意，23912PC=，解得：5PC=，由题意，点 P 在直线20 xy+=上，故可设(),2P mm，则()()22122PCmm=+，所以()()221225mm+=，解得：4m=或 1，当4m=时()4,2P，此时直线 AB 的方程为4242244022xyxy+=，化简得：45x=，当1m=时，()1,3P，此时直线 AB 的方程为133244022xyxy+=，化简得：15y=，所以直线AB的方程为45x=或15y=.【答案】45x=或15y=7.（）已知圆22:2440C xyxy+=，P 为直线:20l xy+=上一点，过点 P 作 7 圆 C
14、的两条切线，切点分别为 A 和 B，当四边形PACB的面积最小时，则直线AB的方程为_.【解析】()()22222440129xyxyxy+=+=圆心()1,2C，半径3r=.如图，2229APPCACPC=，所以四边形PACB的面积212392SAPACPC=，所以当PC最小时，S 也最小，此时，PCl，故PC的方程为21yx=，即10 xy+=，联立1020 xyxy+=+=解得：32x=，12y=，即31,22P，所以直线AB的方程为()()311122922xy+=，化简得：5530 xy+=.【答案】5530 xy+=8.（）已知 P 为抛物线2:4C yx=上的动点，过 P 作圆(
15、)22:44Mxy+=的两条切线，切点分别为 A 和 B，则当四边形PAMB的面积最小时，直线AB的方程为_.【解析】如图，2224APPMAMPM=，所以四边形PAMB的面积212242SAPAMPM=，所以当PM最小时，S 也最小，由题意，()4,0M，可设()2,2P tt，则()()2222242244416212PMttttt=+=+=+，故当2t=时，PM取得最小值，此时()2,2 2P，所以直线AB的方程为()()2442 24xy=，化简得：220 xy=.8 【答案】220 xy+=或220 xy=9.（）已知圆22:2440C xyxy+=，P 为直线:20l xy+=上的
16、动点，过点P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，AB的中点为 Q，若点 T 的坐标为11 1,10 10，则TQ的最小值为_.【解析】()()22222440129xyxyxy+=+=圆心()1,2C，半径3r=，设(),2P mm，则切点弦AB所在直线的方程为()()()()112229mxmy+=，化简得：()140m xyxy+=，所以直线AB过定点4 1,5 5K，如图，显然CQKQ，所以点 Q 的轨迹是以CK为直径的圆，其圆心为1 11,10 10G，22419 212555CK=+=，因为22111111210101010GT=+=，所以min12210TQGTGK=.【答案】210
