1、 1 广东省佛山市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 全 卷 总分 150 分 ， 共 4 页 ； 考试时 间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号写在答题卡上。 2 所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 .） 1、已知 Raaiiz ? ,1)2( ， i 为虚数单位，若 z 为纯虚数，则 ?a （ ） A.
2、-2 B. 21? C. 21 D. 2 2、二项式 52 )1( xx ? 的展开式中 x 的系数为（ ） A.5 B.10 C.20 D.40 3、 已知 ba, 都是实数，且 0,0 ? ba ，则“ ba? ”是“ ln lna a b b? ? ? ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、 5 男生， 2 个女生排成一排，若女生不能排在两端但又必须相邻，则不同的排法有 （ ） A 480 B 960 C 720 D 1440 5、某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加
3、.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻 .那么不同的发言顺序种数为（ ） A.360 B.520 C.600 D.720 6、观察下列各式： 222255?， 333310 10?， 444417 17?，?若99mmnn? ，则 nm?( ) A.43 B 57 C 73 D 91 7、在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 1S ，外接圆面积为 2S ，则4121 ?SS，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体 BCDA? 的内切球体积为 1V ，外接球体积为 2V ，则21VV （ ） A 41 B 81 C 161 D 271 2 8、曲线 xy 2?
4、与直线 1?xy 及 4?x 所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln2 B. 2ln2? C. 2ln4? D. 2ln24? 9、设函数 23)( axxxf ? ，若曲线 )(xfy? 在点 )(,( 00 xfxP 处的切线方程为 0?yx ，则点 P 的坐标为（ ） A. )0,0( B. )1,1(? C. )1,1(? D. )1,1(? 或 )1,1(? 10、已知 101099221010)12( xaxaxaxaax ? ?，则 1092 aaa ? 的值为（ ） A.20 B.0 C.1 D.-20 11、如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 90ACB
5、? ? ? ， 122AC AA BC? ? ?.若二面角 11B DC C?的大小为 60? ，则 AD 的 长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 22 12 已知 aR? ，若 xexaxxf )()( ? 在区间 ? ?0,1 上有且只有一个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A. 0a? B. 0a? C. 1a? D. 0a? 二 、 填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、曲线 xy 2ln? 到直线 012 ?yx 距离的最小值为 14、 nx)3( ? 展开式中各项系数和为 64，则展开式中第 4 项系数为 15、 如图，已知正三棱柱 11
6、1 CBAABC? 的各条棱长都相等， M 是侧棱 1CC 的中点，则异面直线 1AB 和 BM 所成角大小是 16、定义在 ),0( ? 上的函数 )(xf 满足：对任意正数 ba, ，若 1)()( ? bfaf ，则 1?ba ，称 )(xf 是 ),0( ? 上的“级函数” .下列函数中“级函数”的序号是 3)( xxf ? xexf ?)( xxxf ln)( ? 三、 解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17、（本小题满分 10 分）已知复数 z 满足 : 1 3 ,z i z? ? ? 第 11题图 第 15 题图 3 （ 1）求
7、 z 并求其在复平面上对应的点的坐标； （ 2）求 22(1 ) (3 4 )2iiz?的共轭复数 . 18、 （本小题满分 12 分） 设 函数 12)( 23 ? bxaxxxf ， 若 其导函数 )(xfy ? 的图象关于直线 21?x 对称，且 1?x 是 )(xf 的一个极值点 . （ 1） 求实 数 ba, 的值； （ 2）若方程 0)( ?kxf 有 3 个实数根，求实数 k 的取值范围 . 19、（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为平行四边形， 24AB AD?， 23BD? ， PD? 底面 ABCD （ 1）证明：平面 PBC? 平
8、面 PBD ； （ 2）若二面角 P BC D?的大小为 6? ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值 20、 （本小题满分 12 分） 已知函数 )(ln)( Raxaxxf ? （ 1）讨论函数 )(xf 的单调性； （ 2）若不等式 0)( ?xf 恒成立，求 a 的取值范围 . 21、（本小题满分 12 分） 设正项数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 ? ?2*122nn nS a n N? ? ?. （ 1）计算 1 2 3,a a a 的值，并猜想 ?na 的通项公式； 第 19题图 4 （ 2）用数学归纳法证明 ?na 的通项公式； （ 3）证明不等式： )(11
9、(21 *1 Nnnani i ?22、 （本小题满分 12 分）已知函数 )(2)( Raaxexf x ? （ 1）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2）若 1?a ， k 为整数，且当 0?x 时， 01)()( ? xxfkx 恒成立，求 k 的最大值 2016 2017 学年度下学期 期中考试 理 科数学试题 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B C C D D D A A B 二、填空题 13、55214、 -540 15、 090 16、 三、解答题 17、解：（ 1）设 ( , )z x yi x y R? ?
10、 ?，则 22 1 3 ( ) (1 ) ( 3 )x y i x y i x y i? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 22 103x y xy? ? ? ? ?，解得 4 433x ziy ? ? ? ? ? ? 4 分 其在复平面上对应的点的坐标为 (4,3)? .? 5 分 5 （ 2） 22(1 ) ( 3 4 ) 2 ( 9 2 4 1 6 ) 2 4 74 3 3 42 2 ( 4 3 ) 4 3i i i i iz i iz i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .9 分 ? 22(1 ) (3 4 )2iiz?的共轭复数是 i43? ? 10
11、 分 18、解： (1)因 12)( 23 ? bxaxxxf ，故 baxxxf ? 26)( 2 ， 1 分 因为导函数 )(xfy ? 的图象关于直线 21?x 对称，且 1?x 是 )(xf 的一个极值点 . ?02621122baa 4 分 解得? ? 123ba,经检验符合题意 5 分 (2) 由 (1)知 11232)( 23 ? xxxxf ， 令 01266)( 2 ? xxxf ， 解得 1,2 21 ? xx ， 7 分 x )2,( ? -2 )1,2(? 1 ),1(? )(xf? + 0 - 0 + )(xf 单调递增 21 单调递减 -6 单调递增 从而函 数 )
12、(xf 在 21 ?x 处 取得极大值 为 21，在 12 ?x 处取得极小值 为 6， 10 分 因为方程 0)( ?kxf 有 3 个实数根，即函数 )(xfy? 图象与 ky? 的图象有 3 个交点， 216 ? k ，即 实 数 k 的取值范围是 )21,6(? . 12 分 19、 证明：（ 1） 2 2 2CD BC BD?， BC BD? ， ? 2 分 又 PD? 底面 ABCD ， BC? 底面 ABCD ， PD BC? 又 PD BD D?， BC? 平面 PBD . 而 BC? 平面 PBC ，平面 PBC? 平面 PBD .? 4 分 （ 2）由（ 1）所证， BC?
13、 平面 PBD ，所以 PBD? 即为二面角 P BC D?的平面角，即 6PBD? 5 分 而 23BD? ，所以 2PD? .? 6 分 因为底面 ABCD 为平行四边形， DA DB? ，分别以,DA DB DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 ? ?2,0,0A ， ? ?0,2 3,0B ， ? ?2,2 3,0C ? ， ? ?0,0,2P ， 所以 ? ?2,0,2AP ? ， ? ?2,0,0BC ? ， ? ?0, 2 3,2BP ? ， ? 8 分 设平面 PBC 的法向量为 ? ?,n abc? ，则 0 0nBCnBP?，即 202 3 2 0a
14、bc? ? ?， 6 令 1b? ，则 ? ?0,1, 3n? ? 10 分 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 3 6s in42 2 2A P nA P n? ? ? ? 12 分 20、 解：（ 1） ? ?1a x afx xx? ? ?， ? 1 分 当 0a? 时， 0x? ， ? ?0fx?恒成立， ? ?fx? 在定义域 ? ?0,? 上单调递增 ? 3 分 当 0a? 时， 令 ? ?0fx? ，得 xa? ， 0x? ， ? ?0fx?得 xa? ； ? ?0fx? 得0 xa? ? ?fx? 在 ? ?0,a 上单调递减，在 ? ?,a? 上单调递增 ? 5 分
15、（ 2）当 0?a 时， 0)( ?xf 恒成立 ? 6 分 当 0?a 时，当 0?x 时， ?)(xf ， 0)( ?xf 不成立 ? 8 分 当 0?a 时，由（ 1）可知 aaaafxf ln)()( m in ? ，由 0ln)( ? aaaaf 得 0ln1 ? a ， ? ?ea ,0? ? 11 分 综上所述， a 的取值范围是 ? ?e,0 .? 12 分 21、 解： （ 1）当 1n? 时， 21 1 11122a S a? ? ?，得 1 1a ? ； 21 2 2 21 12a a S a? ? ? ?，得 2 2a ? 21 2 3 3 31322a a a S a
16、? ? ? ? ?，得 3 3a? ? 2 分 猜想 nan? ? 3 分 （ 2）证明：（）当 1n? 时，显然成立 （）假设当 nk? 时， kak? ? 4 分 则当 1nk?时， 221 1 11 1 12 2 2 2k k k k kkka S S a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 1 12 2 2 2k kkak? ? ? ? ? ? 5分 整理得： 22112 1 0kka a k? ? ? ?，即 ? ? ? ?111 1 0kka k a k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 结合 0na? ，解得 1 1kak? ? 7 分 于是对于一切的
17、自然数 *nN? ，都有 nan? .? 8 分 7 （ 3）由（ 2）可知 nan? ,（）当 1n? 时，不等式显然成立 （）假设当 nk? 时， )11(21.211 ? kk? 9 分 则当 1nk?时，11)11(2111.31211 ? kkkk分11.01 912481241 32)2)(1(211)1(2)2)(1(211122211)11(2)12(222? ? ?kkkkkkkkkkkkkkkkkkk?)12(211)11(2 ? kkk , )12(2111.211 ? kkk 1? kn 时，不等式也成立 , *N? n ,原不等式成立 ? .12 分 注：利用放缩法 )1(2121 nnnnn ? 也可以得到结论 22、解：（ 1） aexf x ? )( ， ? 1 分 当 0?a
