1、 1 广东省广州市番禺区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|x 1， B=x|x（ x 2） 0，则 AB 等于（ ） A x|x 2 B x|1 x 2 C x|0 x 2 D x|0 x 1 2下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， + ）上单调递减的是（ ） A y= B y= xe? C y= x2+1 D y=lg|x| 3已知平面向量 =（ 1， 1）， =（ 2， 3）， =（ 2， k），若（ + ） ，则实数 k=( ) A 4
2、B 4 C 8 D 8 4 在同一个坐标系中画出函数 y=ax， y=sinax的部分图象，其中 a 0且 a1 ，则下列所给图象中可能正确的是 ( ) A BC D 5 “x 1” 是 “x 2+x 0” 的（ ） A充分而不必 要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （ ） A 1+2i B 1+2i C 1 2i D 1 2i 2 7已知某几何体的三视图（单位： cm）如图所示， 则该几何体的体积是（ ） A 108cm3 B 100cm3 C 92cm3 D 84cm3 8.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 ,其中有 1 个红球、 2个白球和 3个黑球
3、 .从袋中任取两球 ,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) A 15 B 25 C 35 D 45 9已知数列 an是等差数列，且 a1+a4+a7=2 ，则 tan（ a3+a5）的值为（ ） A B C D 10 O为坐标原点， F为抛物线 C： y2=4 x的焦点， P为 C上一点，若 |PF|=4 ， 则 POF 的面积为（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 11函数 y=21 x2 lnx的单调递减区间为 ( ) A（ 1， 1 B（ 0， 1 C 1， + ） D（ 0， + ） 12设 f（ x）与 g（ x）是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y=f（ x） g（
4、 x）在 x a，b上有两个不同的零点，则称 f（ x）和 g（ x）在 a， b上是 “ 关联函数 ” ， 区间 a， b称为 “ 关联区间 ” 若 f（ x） =x2 3x+4与 g（ x） =2x+m在 0， 3上是 “ 关联函数 ” ，则 m的取值范围为（ ） A（ ， 2 B 1， 0 C（ ， 2 D（ ， + ） 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） . 13.已知函数523 ? xxxy，该函数在区间 ? ?3,0 上的最大值是 3 14.已知圆 22 4 5 0x y x? ? ? ?,过点 ? ?1,2P 的最短弦所在的直线 l 的方程是 . 15.
5、在面积为 S的 ABC的内部任取一点 P，则 PBC的面积小于 2S 的概率为 . 16 某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程 ? ?y bx a?中的 ?b 为 10，据此模型预 报广告费用为 6 万元时销售额为 万元。 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（ 本小题共 12分 ）设向量 ? 2,0),s i n,( c o s),s i n,s i n3( ?xxxbxxa(1)若 ab? ，求 x的值； (2)设函数 ()f x a b? ,求 ()fx的最大值 . 18.（本题满分 12分） 某
6、高校在 2015 年的自主招生考 试成绩中随机抽取 100 名学生的笔 试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如右图所示 . （ 1）请先求出频率分布表中、位置相应的数据； （ 2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、 4、 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取2 名学生接受 A考官进行面试，求第 4组至少有一名学生被考官 A面试的概率？ 19 （本题满分 12分） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1 底面 ABC， AC=BC
7、=2， CC1=4， M是棱 CC1上一点 组号 分组 频数 频率 第 1组 ? ?165,160 5 0.050 第 2组 ? ?170,165 0.350 第 3组 ? ?175,170 30 第 4组 ? ?180,175 20 0.200 第 5组 180,185 10 0.100 合计 100 1.000 4 （ ）求证： BCAM ； （ ）若 M， N分别为 CC1， AB的中点，求证： CN 平面 AB1M 20. （本题满分 12分） 已知椭圆 1C 的方程为 14 22 ?yx，双曲线 2C 的左、右焦点分别是 1C 的左、右顶点，而 2C 的左、右顶点分别是 1C 的左、
8、右焦点。 （）求双曲线 2C 的方程； （）若直线 2: ?kxyl 与双曲线 2C 恒有两个不同的交点 A和 B，且 2?OBOA （其中 O为原点），求实数 k的范围。 21.（ 本小题共 12分 ） 已知函数 xexf ?)( （ e 为自然对数的底）， )(ln()( axfxg ? （ a为常数） ， )(xg 是实数集 R上的奇函数 . 求证： )(1)( Rxxxf ? ； 讨论关于 x 的方程： )(2()()(ln 2 Rmmexxxgxg ? 的根的个数 . 请考生在（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22.（本小题满分 10分）选修
9、 4 4：坐标系与参数方程 . 已知圆 C 的极坐标方程为 =2? ，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平 面直角坐标系，若直线 2: ( t )2 2 2kx tl yt? ? ? ? ? ? 为 参 数与圆 C相切 . 求（ 1）圆 C的直角坐标方程； （ 2） 实数 k的值 . 23.(本题满分 10分 ) 选修 4 5： 不等式选讲 已知函数 Rmxmxxf ? |,6|)( （）当 m=5时，求不等式 12)( ?xf 的解集； （）若不等式 7)( ?xf 对任意实数 x恒成立，求 m的取值范围 5 高二 年级 数学（文科） 参考答案 1 B 2.C 3.D 4.D 5.A 6
10、.B 7.B 8.B 9 A 10 C 11.B 12 A 13. 20 14. 032 ? yx 15. 43 16 67 17.解：（ 1）由 babxa ? ,1,s in4 222 得 2,0x,1s in4 2 ? 但x 所以 6,21sin ? xx （ 2）21)62s i n (212c o s212s i n2 3s i nc o ss i n3)( 2 ? ?xxxxxxxf23)(3x,2,0xm a x ?xf时，故当因为?18. 19证明：（ ）因为三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1 平面 ABC， 6 所以 CC1BC 因为 AC=BC=2， ， 所以由勾股定
11、理的逆 定理知 BCAC 又因为 ACCC 1=C， 11111 CC,AC AA C CAA C C 面面 ? 所以 BC 平面 ACC1A1 因为 AM?平面 ACC1A1， 所以 BCAM （ ）过 N作 NPBB 1交 AB1于 P，连接 MP，则 NPC M 因为 M， N分别为 CC1， AB 中点， 所以 ， 因为 BB1=CC1， 所以 NP=CM 所以四边形 MCNP是平行四边形 所以 CNMP 因为 CN?平面 AB1M， MP?平面 AB1M， 所以 CN 平面 AB1 M 20. 解：（ 1）设双曲线 2C 的方程为 12222 ?byax 则 2 4 1 3a ? ?
12、 ? ， c=2 再由 2 2 2a b c?得 2 1b? 故 2C 的方程为 13 22 ?yx（ 2）将 2y kx? 代入 2C 的方程 ，得 22(1 3 ) 6 2 9 0k x kx? ? ? ? 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点得： 22221 3 0( 6 2 ) 3 6 ( 1 3 ) 3 6 ( 1 ) 0kk k k? ? ? ? ? ? ? 312?k 且 2 1k ? 7 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则1 2 1 2226 2 9,1 3 1 3kx x x xkk? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) (
13、2 )x x y y x x k x k x? ? ? ? ? ? 22 1 2 1 2 237( 1 ) 2 ( ) 2 31kk x x k x x k ? ? ? ? ? ? ? 又 2OA OB?，得 1 2 1 2 2x x y y? 2237231kk ?即 2239031kk?，解得： 21 3,3 k? 由、得： 21 13 k?, 故 k 的取值范围为 )1,33()33,1( ?21. 设 ln() xhx x? ，则由21 ln( ) 0xhx x?得， x=e， 又当 (0, )xe? 时， ( ) 0hx? ，当 ( , )xe? ? 时， ( ) 0hx? ， 1(
14、 ) ( )h x h e e?， ? 8分 设 2( ) 2l x x ex m? ? ?，则 2 2 2( ) 2l x e e m m e? ? ? ? ?， 当 2 1mee?时，原方程无解； 当 2 1mee?时，方程有且只有一根 xe? ； 8 当 2 1mee?时，方程有两根； ? 12 分 22.（ 1）由 222 yx ? 得： 422 ?yx ，所以圆 C 的直角坐标方程为 422 ?yx ? 6分 （ 2） 由 2: ( t )2 2 2kx tl yt? ? ? ? ? ? 为 参 数，得 03: ? ykxl ，且 与圆 C 相切，所以圆 心 到直线03: ? ykx
15、l 距离等于半径， 即 21 3002 ?kk ，解得 25?k ? 12 分 23.解：（）当 5m? 时， ( ) 12fx 即 5 6 12xx? ? ? ， 当 6x? 时，得 2 13x? ，即 132x ? ，所以 13 62 x? ? ； 当 65x? 时，得 1112 成立 ，所以 65x? ； 当 5x? 时，得 2 11x ，即 112x ，所以 115 2x? . 故不等式 ? ? 12fx 的解集为 13 11| 22xx? . （）因为 ? ? ? ? ? ?6 6 6f x x m x x m x m? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由题意得 67m? ，则 67m? 或 67m? ， 解得 1m 或 13m ? , 故 m 的取值范围是 ? ? ? ?, 13 1,? ? ?.
