1、 1 贵州省凯里市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 本试卷分第 I 卷（选择题 ）和第 II 卷（非选择题）两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 第 卷 (选择题，共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 21ii ? A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 2定义 |A B x x A? ? ?且 xB? 已知 ? ? ? ?1, 2 , 1, 3, 4AB?，则 AB? A ?1 B ?2 C ? ?3,4 D ? ?1,2,3,4 3若 1tan 2? ，则
2、 2cos sin 2? A 45 B 65 C 85 D 2 4若函数 2( ) 2 lnf x x x? 在 0xx? 处的切线与直线 3 2 0xy? ? ? 垂直，则 0x? A 12? 或 2 B 12 C 1 D 2 5 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 11, 2AB BC C C? ? ?，则异面直线 AC 与 1BA 所成角的余弦值为 A 306 B 23 C 63 D 66 6 在区间 ? ?0,2 内随机取出两个数 ,xy，则 1, ,xy 能作为三角形三条边的概率为 A 18 B 38 C 58 D 78 7 在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊
3、、己、庚、辛、壬、癸被称为 “ 十天干 ” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午 、未、申、酉、戌、亥叫作 “ 十二地支 ” 古人用天干地支来表示年、月、日、时，十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅 ? 一直到癸亥，共得到 60 个组合，称为六十甲子 如果 2016 年是丙申年，那么 1958年是 A 乙未年 B 丁酉年 C 戊戌年 D 己亥年 8 某同学根据 “ 更相减损术 ” 设计出程序框图 （图 1） 若输入 a 的值为 98 ， b 的值为 63 ，则 执行该程序框图输出的结果为 2 A 0 B 7 C 14 D 21 9 某几何体的三视图如图 2 ，则该几何体的体积为 A 16 B
4、 14 C 13 D 12 10 已知 椭圆 221xyab?( 0ab? )的 右焦点为 F ，上顶点为 A ，若直线 AF 与圆:O 222316axy? 相切，则该椭圆的离心率为 A 34B 12 C 32D 12 或 3211若1 2 122112 l o g , ( ) l o g , ( ) l o g22a b ca b c? ? ?，则 A abc? B bac? C a c b? D c a b? 12数列 ?na 满足 ? ?1 1 nnna a n? ? ? ? ?，则 ?na 的前 100项的和 100S A 等于 2400 B 等于 2500 C 等于 4900 D
5、与首项 1a 有关 第 卷 (非选择题，共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13 设向 量 ? ? ? ?1, , 2 , 2xx? ? ? ?ab ，若 /ab，则 x? 14 等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 1 2 33 , 2 ,S S S 成等 差 数列，则等比数列 ?na 的公比为 15 设当 x? 时，函数 ( ) 2 sin cosf x x x?取得最大值，则 sin? 图 1 图 2 俯视图左侧视图正视图1113 16 过抛物线 2:4C y x? 的焦点 F 作直线 l 交 C 于 ,AB两点，若 32AF? ，
6、则 BF? 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 在 ABC? 中（图 3 ）， 27, co s , 7 ,37A C B C? ? ?线段 AC 上点 D 满足 2AD DC? （ ）求 sin ABC? 及边 AC 的长；（ ） 求 sin CBD? 18（本小题满分 12 分） 20 名学生某次数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图 4 ： （ ） 求 a 的值，并估计这 20 名学生的平均成绩； （ ） 从成绩在 50,90) 的学生中任选 2 人，求恰好有 1人的成绩在 50,70) 中的概率 19（本小题满分 12 分） 如图 5 ，
7、四棱锥 P ABCD? ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 3ABC ?，且 PA? 平面 ABCD （ ） 证明： 平面 PAC? 平面 PBD ； （ ） 设点 E 是线段 AP 的中点，且 1AE? ，求点 E 到平面 PCD 的距离 20 (本小题满分 12 分 ) 数列 ?na 满足： 112 1, 1nna a a? ? ? ? （ ）证明： 数列 ? ?1na? 是等比数列，并求数列 ?na 的通项公式； 图 3 A CBD图 4 频率组距0 成绩 （ 分 ）7 a6 a3 a2 a50 70 90 110 130 150图 5 EA BD CP4 （ ）设 ? ?21 ,
8、*lo g 1nnb n Na?，求证： 1 2 2 3 1 1nnb b b b b b ? ? ? ? ? ? ? 21 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) lnf x x x? ， ? ?( ) 2 1g x m x m R? ? ? （ ）求函数 ()fx在 1x? 处的切线方程； （ ）若 1,xee?， ( ) ( )f x g x? 恒成立 ，求实数 m 的取值范围 22 (本小题满分 12 分 ) 已知双曲线 ? ?2222: 1 0 0xyC a bab? ? ? ?，的左 、 右焦点分别为 1F 、 2F ， 渐近线方程是：255yx? ，点 ? ?0,Ab，且
9、12AFF? 的面积为 6 （ ）求 双曲线 C 的标准方程； （ ）直线 :l y kx m? ?0, 0km?与 双曲线 C 交于不同的两点 ,PQ，若 AP AQ? ，求实数 m 的取值范围 5 凯里一中、都匀一中 2016 2017 学年度高二年级第二学期期中考试 文科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D C C B A D C B 【解析】 1 解： ? ?2222 2 1 11 1 1 1iii i i ii i i i ? ? ? ? ? ? ? ?选 A 2 解：选 B 3 解： 222 2 2c o
10、s 2 s i n c o s 1 2 t a n 8c o s s i n 2 c o s s i n 1 t a n 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ?选 C 4 解：直线 3 2 0xy? ? ? 的斜率 13k? ， 2( ) 2 3f x x x? ? ? ?，解得 12x? （舍去）或 2 ，选 D 5 解：如图 , 异面直线 AC 与 1BA 所成角等于 11BAC? ， 在 11BAC? 中， 1 1 1 13 , 2 , 3B A A C B C? ? ?， 112 62co s 63B A C? ? ?， 选 D 6 解：由题， 111xyyxxy?，作出可行域如下，
11、 154322S ? ? ? ?阴 ，故5 522 2 8p? ，选 C 7 解： 2016 年是丙申年， 2017 年是 丁酉年， 2018 年是戊戌年， 1958 年和 2018 相差 60 年，也是戊戌年选 C 8 解： 该程序框图的功能是输出 a 与 b 的最 大公约数，选 B 9 解：根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下： 2211OxyD 1 C 1B 1A 1A BCD6 DC BA11136A B C D B C DVS? ? ? ?，选 A 10 解：直线 AF 的方程为 1xycb?，即 0bx cy bc? ? ? ， 圆心 O 到直线 AF 的距离2234
12、bc bcdaabc? ? ? ， 两边平方整理的， ? ?2 2 2 416 3a c c a?， 于是 ? ?2216 1 3ee?，解得 2 14e? 或 2 34e? 选 D 11 解：在同一直角坐标系中作函数21 212 , ( ) , l o g , l o g2xxy y y x y x? ? ? ?的图像如下： c bay =l og 12xy =l og 2 xy =(12)xy =2x11yxO根据图像， a c b? ，选 C 12 解：由题 2 1 3 2 4 3 5 4 6 51 , 2 , 3 , 4 , 5a a a a a a a a a a? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? ?， 766,aa? 877,aa? ? ， 所以 数列 ?na 的项是： 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 , 3 , , 4 , 1 , 7 , ,a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 发现 ? ?4 3 4 2 4 1 4n n n na a a a? ? ? ? ?是一个首项为 4 ，公差为 8 的等差数列， 7 于是 ? ?100 2 5 2 5 12 5 4 8 2 5 0 0 .2S ? ? ? ? ?选 B 另， ? ? ? ?414 2 4 1 4 11 4 1 4 1 ;nn n na a n a n? ? ? ?
14、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?424 3 4 2 4 1 4 11 4 2 4 1 4 2 8 3 ;nn n n na a n a n n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?434 4 4 3 4 1 4 11 4 3 8 3 4 3 4 ;nn n n na a n a n n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 4 3 4 2 4 1 4n n n na a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 1 4 1 4 1 4 14 1
15、 8 3 4n n n na a n a n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 84n? 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 题号 13 14 15 16 答案 2? 3 255 3【解析】 13 解： 由 /ab得， ? ?1 2 2xx? ? ? ? ?，解得 2x? 14 解：由 1 2 33 ,2 ,S S S 成等 差 数列得， 2 1 343S S S? 即 ? ? ? ?21 1 1 1 1 143a a q a a a q a q? ? ? ? ?，解得 3q? 15 解： ? ?021( ) 5 s i n c o s
16、5 s i n55f x x x x ? ? ? ? ? ?， （其中0 0 021c o s , s i n ,55? ? ?是锐角） ，由题 ? ?0sin 1x ? 法一： ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 0 0s i n s i n s i n c o s c o s s i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 510 555? ? ? ? ? 法二：0 2,2 k k Z? ? ? ? ? ?， 00s i n s i n 2 c o s2 k? ? ? ? ? ? ?255?. 8 16 解：可证： 1 1 2 1AF BF p? ?
17、 ?，将 32AF? 代入上式得： 3BF? 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解：（ ）因为 27cos 7C? ， ? ?0,C?， 所以 2 21s in 1 c o s 7CC? ? ?， ? ?s i n s i n s i n c o s c o s s i nA B C A C A C A C? ? ? ? ? 3 2 7 1 2 1 3 2 12 7 2 7 1 4? ? ? ? ?， ? （ 3 分） 由 sin sinAC BCABC A? ，得 s in 3s inBCA C A B CA? ? ? ? ? （ 5 分） （ ）结合 3AC? ，
18、2AD DC? 知， 1DC? 在 BCD? 中，根据余弦定理 2 2 2 2 c o s 4B D D C B C D C B C C? ? ? ? ? ?， 于是 2BD? ? （ 8 分） 由 ,sin sinDC BDCBD C? 得 s in 2 1s in 14D C CC B D BD? ? ? ? （ 10 分） 18 解：（ ） ? ?2 3 7 6 2 2 0 2 0 2 0 1a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?，得 1400a? ， 2 2 0 6 0 3 2 0 8 0 7 2 0 1 0 0 6 2 0 1 2 0 2 2 0 1 4 0x a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41200 103a?（分） ? （ 6 分） （ ）由（ ）可知， 50,70) 的学生有 2 人，记为： ,AB； ? （ 7 分） 70,90) 的学生有 3 人，记为： ,CDE ； 在 50,90) 的学生中任选 2 人，有： ?
