1、 1 河南省郑州市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 （时间： 120分钟，满分： 150分） 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设 ? ?211 2 iiz ? ,则 z =（ ） A 3 B 1 C 2 D 2 2.用反证法 证明命题 “ 设 ba, 为实数 ,则方程 02 ? baxx 至少有一个实根 ” 时 ,要做的假设是（ ） A.方程 02 ? baxx 没有实根 B.方程 02 ? baxx 至多有一个实根 C.方程 02 ? baxx 至多有两个实根 D.方程 02 ? b
2、axx 恰好有两个实根 3 下列各式中值为 1 的是 ( ) A 10xdx?B ? ?10 1x dx?C 101dx?D 1 20x dx?4.已知曲线 y x22 3ln x的一条切线的斜率为 2,则切点的横坐标为 ( ) A 3 B 2 C 1 D.12 5.由曲线 f(x) x与 y 轴及直线 y m(m0)围成的图形的面积为 83,则 m的值为 ( ) A 2 B 3 C 1 D 8 6.函数 ?xfy? 在 R 上满足 ? ? ? ? 8822 2 ? xxxfxf ，则曲线 ?xfy? 在点? ?11 f， 处的切线方程为（ ） A. 12 ? xy B. xy? C. 23
3、? xy D 32 ? xy 7.分析法又称执果索因法 ,若用分析法证明： “ 设 abc,且 a b c 0,求证 b2 ac0 B. a c0 C. (a b)(a c)0 D. (a b)(a c)0 8.若函数 f(x) x bx(b R)的导函数在区间 (1,2)上有零点 ,则 f(x)在下列区间上单调递增的是 ( ) 2 A ( 2,0) B (0,1) C (1, ) D ( , 2) 9.若函数 f(x) 2x2 lnx在其定义域内的一个子区间 (k 1,k 1)内不是单调函数 ,则实数 k的取值范围是 ( ) A. 1, ) B. 1, 32) C. 1,2) D. 32,2
4、) 10.已知 a0, 函数 f(x) (x2 2ax)ex,若 f(x)在 1,1上是单调减函数 ,则 a的取值范围是 ( ) A 0a34 B.12a34 C a 34 D 0a12 11.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步 ,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进 3步 ,然后再后退 2 步的规律移动如果将机器人放在数轴的 原点 ,面向正的方向在数轴上移动（ 1步的距离为 1个单位长度）令 ()Pn 表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标 ,且记 (0) 0P ? ,则下列结论中错误的是（ ） A (3) 3P ? B (5) 1P ? C (2007) (2006)PP? D (200
5、3) (2006)PP? 12.函数 ? ? ? ?2 2 xf x x x e?（ e 为自然数的底数）的图象大致是（ ） . 二、 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.已知函数 ? ? ? ?1ln 1ff x x x? ? ?,则 ?1f? _ 14. ? dxxx )1(1(10 2. 15.已知曲线 ? ? lnf x x? 在点 ? ? ?00,x f x 处的切线经过点（ 0, 1） ,则 0x 的值为 _ 16.函数 ? ? 3 12 3f x x x? ? ?， ? ? 3xg x m?, 3 若对 ? ?1 1,5x? ? ? , ? ?2 0,2x
6、? , ? ? ? ?12f x g x? ,则实数 m 的最 小值是 三、 解答题（本小题共 70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本小题满分 12分）已知 i 是虚数单位 ,复数 1z 满足 ? ? ?1 2 1 1z i i? ? ? ? （ 1）求复数 1z ； （ 2）若复数 2z 的虚部为 2 ,且 21zz 是实数 ,求 2z 18.（本小题满分 12 分）设数列 an的前 n项和为 Sn,且对任意的自然数 n都有： (Sn 1)2 anSn. (1)求 S1,S2,S3； (2)猜想 Sn的表达式并证明 19.（本小题满分 12分）已知函数( ) ln
7、1 , .f x x ax a R? ? ? ?（ ）求( ) 1f x ?在处的切线方程； （ ）若不等式) 0fx?恒成立 ,求a的取值范围 20.（本小题满分 12 分） 若函数 ? ? ? ? xxexaxf x 1ln2 ? 在 ? ?20， 上存在两个极值点，求 a 的取值范围 。 21.（本小题满分 12 分）已知函数 () xf x e ax?, ( ) lng x ax x?,其中 0a? ,e 为自然对数的底数 （ ）求 )(xf 在 0,2x? 上的最小值； 4 （ ）试探究能否存在区间 M ,使 得 )(xf 和 ()gx在区间 M 上具有相同的单调性？若能存在 ,说明
8、区间 M 的特点 ,并指出 )(xf 和 ()gx在区间 M 上的单调性；若不能存在 ,请说明理由 请考生在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1 4 cos: 3 sinxtC yt? ? ? ?（ t 为参数），2 8 cos: 3sinxC y ? ?（ ? 为参数） （ 1）化 12,CC的方程为普通方程； （ 2）若 1C 上的点 P 对应的 参数为 2，tQ? 为 2C 上的动点，
9、求 PQ 中点 M 到直线 3 32: 2xtC yt? ? ?（ t 为参数）距离的最小值 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ? ? ? ?50512 ? aaxxxf （ 1）当 1?a 时，求不等式 ? ? 9?xf 的解集； （ 2）如果函数 ?xf 的最小值为 4，求实数 a 的值。 高二下期数学期中考试参考答案 一、 选择题： 5 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A A A C D B C D A 二、填空题： 13. 12 14. 142? 15.1 16.1417、 【解析】（ 1）1 1 221 izi
10、i? ? ? ? 1 5z ? （ 2）设 ? ?2 2z a i a R? ? ? ,则 212 2 2 42 5 5z a i a a iiz ? ? ? ? ? ? , 4 0, 4aa? ? ? ? ? 2 42zi? 18、【解析】（ 1）由 ? ?2 2111,SS?得1 1;2S?由 ? ? ? ?22 2 1 21,S S S S? ? ?得2 2;3S?由 ? ? ? ?23 3 2 31,S S S S? ? ?得3 3.4?（ 2）猜想： .1n nS n? ?证明： 1当 1n? 时 ， 显然成立 ； 2假 设当 *( 1 )且n k k k N? ? ?时， 1k k
11、S k? ? 成立 。 则当 1nk?时 ， 由 ? ?21 1 11,k k kS a S? ? ? 得11 1 1 .222 1k kkS kSkk? ? ? ?从而 1nk?时 ， 猜想也成立 。 综合 1 2得结论成立 。 19. 【解析】（ ） 10 , ( )x f x ax? ? ?,(1) 1fa? ? ?,切点是(, 1)a?, 所以切线方程为( ) ( 1) ( 1)y a a x? ? ? ? ?,即( 1)a x? （ ）（法一）10 , ( ) axx f x x?, 1.当0a?时 , (0, )x? ?,( ) 0fx?,()单调递增 , 6 显然当1x?时 ,(
12、 ) 0fx?,( )?不恒成立 2.当 0?a 时 , )(),1,0( xfax ? 单调递增 , )(),1( xfax ? 单调递减 , 1,0)1l n ()1()()( m a x ? aaafxfxf 极大值 所以不等式 0)( ?xf 恒成立时 ,a 的取值范围 ? ?1- ，? （法二） 0?x? ， 所以不等式 0)( ?xf 恒成立 , 等价于 , 令 xxxh 1ln)( ? ,则 2 2 21 ln 1 ln( x ) xxh x x x? ? ? ?, 当 )1,0(?x 时 , )(xh 单调递减 ,当 ），（ ?1x 时 , )(xh 单调递增 1,1)1()(
13、)( m i n ? ahxhxh 极小值 所以不等式 0)( ?xf 恒成立时 ,a 的取值范围 ? ?1- ，? 20. 【解析】 解： 因 ，故问题转化为 在区间 有两个实数根，即 在区间 有两个实数根，也即 在区间 只有一个实数根，所以 ，令 ，由于 ，所以，即 ，又 时， ，故所求实数 的取值范围是21、 【解析】（ ） ?fx的定义域为 R，且 ? ? xf x e a? ?， 令 ? ? 0fx? ? ， 得 ? ?lnxa? 若 ? ?ln 0a?， 即 10a? ? ? 时 ? ? 0fx? ? ， ()fx在 0,2x? 上为 增 函数 , 7 若 ln( ) 2a? ,
14、即 2ae? 时 , ( ) 0fx? ? , ()fx 在 0,2x? 上为减函数 , ? ? ? ?m in 01f x f? ? 2m in( ) ( 2 ) 2f x f e a? ? ?； 若 0 ln( ) 2a? ? ? , 即 2 1ea? ? ? 时 , 由于 0, ln( )xa?时 , ( ) 0fx? ? ；(ln( ),2xa? 时 , ( ) 0fx? ? ,所以 m i n( ) ( l n ( ) ) l n ( )f x f a a a a? ? ? ? ? 综上可知 22m in21 , 1 0( ) 2 , l n ( ) , 1af x e a a ea
15、 a a e a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ?gx的定义域为 ?0， ，? 且 ? ? 11 = .axg x a xx? 0a? 时 ， ? ? ? ? 0,g x g x? ? ? 在 ?0， ? 上单调递减 。 令 ? ? 0,fx? 得 ? ?lnxa? （ 1） -1 0a?时 ， ? ?ln 0，a?在 ? ? ?ln ,a? ? 上 ? ? 0,fx? ? ?fx? 单调递增 ， 由于?gx在 ?0， ? 上单调递减 ，所以不能存在区间 M ，使得 ?fx和 ?gx在区间 M 上具有相同的单调性 ; （ 2）若 -1a? 时 ， ? ?ln 0，a?在 ?
16、? ?- ,ln a?上 ? ? 0,fx? ?fx单调递减 ； 在 ? ? ?ln ,a? ? 上 ? ? 0,fx? ? ?fx? 单调递增 。 由于 ?gx在 ?0， ? 上单调递减 ， 所以存在区间 ? ? ?0 ln ,，Ma?使得 ?fx和 ?gx在区间 M 上均为减函数。 综上，当 -1 0a?时 ，不能存在区间 M ，使得 ?fx和 ?gx在区间 M 上具有相同的单调性 ; 当 -1a? 时 ，存在区间 ? ? ?0 ln ,，Ma?使得 ?fx和 ?gx在区间 M 上均为减函数。 8 22【解析】 （ 1）由 4 cos3 sinxtyt? ? ?得 4=cos3=sin ，
17、xtyt? ?所以 ? ? ? ?221 : 4 3 1,C x y? ? ? ? 由 8cos3sinxy ? ?得cos8sin3xy? ? ?， 所以 222 : 1.64 9xyC ?（ 2）当 2t ?时， ( 4 , 4 ), (8 c o s , 3 s in )PQ ? ，故 3( 2 4 c o s , 2 s in )2M ? ? ?， 3C为直线 2 7 0xy? ? ?， M到 3C的距离 5 | 4 c o s 3 s i n 1 3 |5d ? ? ?= ? ?5 5 c o s 1 35 ?5 8 55 1355? ? ? （其中， 43cos , sin55?） 从且仅当 43co s , sin55? ? ?时， d取得最小值855 - 10分 23、 【解析】 （ 1） ? ? ? ? ，51, ? （ 2） 2?a
