1、 1 2016 2017学年度第二学期期中考试 高二数学理科试卷 注：卷面分值 150分； 时间： 120分钟 一、选择题（本答题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分） 1. 已知复数 z=i（ 1+i）（ i为虚数单位），则复数 z 在复平面上所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知函数 y=f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是 x 2y+1=0，则 f（ 1） +2f（ 1）的值是（ ） A B 1 C D 2 3. 若复数 z满足（ 3 4i） z=|4+3i|，则 z 的虚部为（ ） A i54? B 54? C 54
2、D i54 4. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ( , )Bnp 且 ( ) 1 2, ( ) 4E X D X?，则 n 与 p 的值分 别为（ ） A 218,3 B 118,3 C 212,3 D 112,3 5. 已知函数 f（ x）的导函数 f （ x） =a（ x+b） 2+c（ a 0）的图象如图所示，则函数 f（ x）的图象可能是（ ） A B C2 D 6. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A 0.8 B 0.75 C 0.6 D
3、 0.45 7. 设 f（ x）是可导函数，且 =（ ） A B 1 C 0 D 2 8. 已知点 P（ 1， 3? ），则它的极坐标是（ ） A )3,2( ? B )34,2( ? C. )35,2( ? D )32,2( ? 9. 已知某离散型随机变量 X服从的分布列如图，则随机变量 X的方差 D(X)等于 ( ) X 0 1 P m 2m A 19 B 29 C 13 D 23 10. 若点 P是曲线 y=x2 lnx上任意一点，则点 P到直线 y=x 2的最小距离为（ ） A 1 B C D 11. 曲线 y=cosx（ 0 x 23? ）与 x轴以及直线 x= 23? 所围图形的面
4、积为（ ） A 4 B 2 C D 3 12. 设函数 f（ x）是定义在（ 0， + ）上的可导函数，其导函数为 )(xf? ，且有 2xf（ x） +x2 )(xf? 0，则不等式（ x 2014） 2f（ x 2014） 4f（ 2） 0的解集为（ ） A（ 2012， + ） B（ 0， 2012） C（ 0， 2016） D（ 2016， + ） 二、填空题（本答题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 ） 13. 已知某物体的运动方程是 ，则当 t=3s 时的瞬时速度是 _ 14. dxxex )2(01 ? = 。 3 15. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰 子，观察向上的点数，
5、记“红骰子向上的点数是 3的倍数”为 事件 A ，“两颗骰子的点数之和大于 8”为事件 B ，则 ( | )PB A ? . 16. 大衍数列，来源于中国古代著作乾坤谱中对易传 “ 大衍之数五十 ” 的推论其前 10 项为： 0、 2、 4、 8、 12、 18、 24、 32、 40、 50 通项公式： an= 如果把这个数列 an排成右侧形状，并记 A（ m， n）表示第 m行中 从左向右第 n个数，则 A（ 10，4）的值为 三、解答题（本大题共 6个小题， 17题 10分，其它每小题 12分，共 70分） 17、（本小题满分 10分） 以直角坐标系的原点 O 为极点 ， x 轴的正半轴
6、为极轴，且两坐标系取相等单位长度。已知直线l 经过点 )1,1(P ，倾斜角 6? . （）求直线 l 的参数方程。 （）若直线 l 与圆 2? 相 交于 ,AB两点，求点 P 到 A 、 B 两点的距离之积 . 18、（本小题满分 12分） （ 1） 已知 xxg ?)( ，求曲线 )(xg 在点（ 4， 2）处的切线方程； （ 2）已知函数 xxxf 3)( 3 ? ，过点 A（ 0， 16）作曲线 )(xfy? 的切线，求此切线方程 （ 3）求函数 xxxxf ln)( 2 ? 的极值。 19、（本小题满分 12分） 随着手机的发展， “ 微信 ” 越来越成为人们交流的一种方式某机构对
7、“ 使用微信交流 ” 的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及对 “ 使用微信交流 ” 赞成人数如表： 年龄（单位：岁） 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65） 65， 75） 4 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 3 10 12 7 2 1 （ ）若以 “ 年龄 45 岁为分界点 ” 由以上统计数据完成下面的 2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为 “ 使用微信交流 ” 的态 度与人的年龄有关： 年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （ ）若从年龄在 55， 65）， 65， 7
8、5）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查记选中的 4人中赞成 “ 使用微信交流 ” 的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 参考数据如下： P（ K2 k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参考公式： K2= ，（ n=a+b+c+d） 20、（本小题满分 12分） 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的方程为 x y+4=0，曲线 C的参数方程为 3 cossinxy ? ? （ 1）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，点 P的极坐标为 4,2?，判断点 P与直线 l 的位置关系
9、； （ 2）设点 Q是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 21、（本小题满分 12分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （）求进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）求进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 ? 的分布 列及期望。 22、（本小题满分 12分） 5 已知函数2() 1axf x ax?， g(x) aln x
10、x， (a? 0). （） 求函数 f (x)的单调区间； （） 证 明 ：当 a 0 时，对于任意 x1， x2 (0， e，总有 g(x1) 0时，当 x变化时， f ( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 ( 1， 1) 1 (1， ) f ( x) 0 0 f (x) 当 a0时， f (x)的单调递增区间为 ( 1， 1)，单调递减区间为 ( ， 1)， (1， ) ； 当 a0时， f (x)在区间 (0， 1)上单调递增， f (x) f (0) a； f (x)在区间 (1， e上单调递减，且 f (e)aee2 1 aa， 所以当 x(0 ， e时， f
11、 (x)a. ? 6分 因为 g(x) aln x x，所以 g( x)ax 1，令 g( x) 0，得 x a. 当 a e时， g( x)0 在区间 (0， e上恒成立， 所以函数 g(x)在区间 (0， e上单调递增，所以 g(x)max g(e) a e0， 得 0a， 所以函数 g(x)在区间 (0，a) 上 单 调 递 增 ， 在 区 间 (a ， e 上 单 调 递 减 所以 g( x)max g(a) aln a a. ? 9分 因为 a (aln a a) a(2 ln a)a(2 ln e) a0， 所以对任意 x1， x2 (0， e， 总有 g(x1)f (x2) ? 12分 综上所述，对于任意 x1， x2 (0， e，总有 g(x1)f (x2)
