1、 1 湖北省襄阳市四校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题 理 第卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、命题“ 1ln),0( 000 ? xxx ”的否定是（ ） A、 1ln),0( 000 ? xxx B、 1ln),0( ? xxx C、 1ln),0( ? xxx D、 1ln),0( 000 ? xxx 2、若两个不同平面 ? 、 ? 的法向量分别为 )2,2,2(),1,2,1( ? vu ，则（ ） A、 ? 、 ? 相交但不垂直 B、 ? ? C、 ? ? D、以上均不正
2、确 3、双曲线 )(122 Rmmyx ? 的右焦点坐标为 ? ?0,2 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A、 xy 3? B、 xy 33? C、 xy 31? D、 xy 3? 4、已知向量 nm, 分别是直线 l 和平面 ? 的方向向量和法向量，若 m 与 n 夹角的余弦等于 21 ，则 l 与 ? 所成的角为（ ） A、 ?60 B、 ?30 C、 ?120 D、 ?150 5、下列命题中正确的是（ ） A、“ 1?x ”是“ 022 ?xx ”的必要不充分条件 B、“ P且 Q”为假，则 P假且 Q假 C、命题“ 0322 ? axax 恒成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是
3、30 ?a D、命题“若 0232 ? xx ，则 2?x ”的否命题为“若 0232 ? xx ，则 2?x ” 6、已知椭圆 1416 22 ?yx 以及椭圆内一点 )1,2(P ，则以 P为中点的弦所在直线斜率为（ ） A、 21 B、 21- C、 2 D、 2? 7、已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、 AC， M、 N分别是 OA、 CB的中点，点 G在线段 MN上，且使 MG=3GN，用向量 OCOBOA , 表示向量 OG，则（ ） 2 A、 OCOBOAOG 838183 ? B、 OCOBOAOG 838387 ? C、 OCOBOAOG 3232 ? D、 OCO
4、BOAOG 838381 ? 8、过椭圆的右焦点 2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 BA, 两点， 1F 为椭圆的左焦点， 若 ABF1? 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A、 3 B、 33 C、 32? D、 12? 9、 21,FF 分别是双曲线 )0(1222 ? bbyx 的左、右焦点，过 2F 的直线 l 与双曲线的左右 两支分别交于 A,B 两点，若 1ABF? 是等边三角形， 则该双曲线的虚轴长为（ ） A、 62 B、 22 C、 6 D、 24 10、在三棱柱 111 CBAABC ? 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， 6,2 1 ? AAAB 。若 FE,分别是棱 1
5、1,CCBB 上的点，且111 31, CCFCEBBE ?，则异面直线 EA1 与 AF 所 成角的余弦值为（ ） A、 1365? B、 1365 C、 102? D、 102 11、已知抛物线 xyC 4: 2 ? 的焦点是 F，过点 F的直线与抛物线C 相交于 P、 Q两点，且点 Q在第一象限，若 FQPF?2 ，则直线 PQ的斜率是（ ） A、 42 B、 1 C、 2 D、 22 12、已知椭圆 123: 221 ? yxC的左、右焦点分别为 21,FF ，直线 1l 过点 1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线 2l 垂直于直线 1l 于点 P ，线段 2PF 的垂直平分线与 2l 的
6、交点的轨迹为曲线2C ，若点 Q 是 2C 上任意的一点，定点 ? ?34，A ， ? ?01，B ，则 QBQA? 的最小值为（ ） A、 6 B、 23 C、 4 D、 5 第卷 3 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题纸上） 13、 抛物线 241yx? 的焦点坐标为 。 14、已知集合 ? ?31 ? xxA ， ? ?22 ? mxxB ，若 Bx? 是 Ax? 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 。 15、在平行六面体 DCBAABCD ? 中， 5?AB ， 3?AD ， 7?AA ， ? ADAABABAD 60，则 DB? 的长为 。
7、 16、已知直线 l 与抛物线 ? ?022 ? ppxy 交于 BA, 两点， O 为坐标原点，且OBOA? , ABOD? 于点 D ，点 D 的坐标为 ? ?2,1 ，则 ?p 。 三、解答题（本大 题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17、（本小题满分 10分） 命题 p ：方程 111 22 ? mymx 表示焦点在 x 轴上的双曲线。 命题 q ：直线 mxy ? 与抛物线 xy 42? 有公共点。 若“ qp? ”为真，求实数 m 的取值范围。 18、（本小题满分 12分）已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点坐标为 ? ?1,0 ，其离
8、心率为 36 ?1 求椭圆的标准方程； ?2 椭圆上一点 P满足 ? 6021PFF ,其中 21 FF， 为椭圆的左右焦点， 求 21PFF? 的面积。 19、（本小题满分 12分）如图，在棱长为 2的正方体 CBAOOABC ? 中 ， FE, 分别是棱 BCAB, 上的动点。 （ 1）当 BFAE? 时，求证 FA? EC? ； （ 2）若 FE, 分别为 BCAB, 的中点，求直线 BO? 与 平面 EFB? 所成角的正弦值。 4 20、（本小题满分 12分） 在圆 922 ?yx 上任取一点 P ，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD ， D为垂足，当 P 为圆与 y 轴交点时， P
9、与 D 重合，动点 M 满足 MPDM 2? ； （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）抛物线 C? 的顶点在坐标原点，并以曲线 C 在 y 轴正半轴上的顶点为焦点，直线3?xy 与抛物线 C? 交于 A 、 B 两点，求线段 AB 的长。 21、（本小题满分 12 分）在四棱锥 ABCDP? 中， ?PC 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形 ， ADAB? ， AB CD ， 222 ? CDADAB ， E 是 PB 的中点。 （ 1）求证：平面 ?EAC 平面 PBC ； （ 2）若 2?PC ，求二面角 EACP ? 的余弦值。 22、（本小题满分 12分）动点 P
10、? ?yx, 满足 ? ? ? ? 3222 2222 ? yxyx （ 1）求动点 P的轨迹 C 的方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 BA, 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23 ，求 OAB? 面 积的最大值。 5 2016 2017学年 下 学期高 二 期中考试 数学参考答案 一、选择题 1-6 CBABCB 7-12 DBABDD 二、填 .1空题 13、 ? ?0,1 14、 ? ?,1 15、 63 16、 25 三、解答题 17、解： p 真，则，? ? ? 01 01mm，得 11 ? m ? 2 分 q 真，则方程组? ? xy mxy 42有解，消去
11、x 得 )(42 myy ? ，即 0442 ? myy 01616 ? m 得 1?m ? 4分 “ qp? ”为真，则 p 真或 q 真，所以 ? 6分 11 ? m 或 1?m ? 8分 即 1?m ? 10分 18、 （ 1）设椭圆的标准方程为 ? ?012222 ? babyax ， 椭圆的一个顶点为（ 0,1）则 b =1， ? 2分 ? 36?ac ? 32122 ?aa 解得 32?a ? 4分 椭圆的标准方程为 13 22 ?yx ? 6分 （ 2）设 mPFnPF ? 21 , ? 6021PFF ? 60co s24 222 mnnmc =? ? mnamnnm 343
12、22 ? ? 8分 得 34?mn ， ? 10分 3323342121 ? PFFS? 12分 19、（ 1）证明：以 C? 为 z 轴， CO 为 x 轴， CB 为 y 轴建立空间直角坐标系，如图所示设 ? ?0,0yF BFAE? CFBE? ? ? ?0,2,yE ? 2分 又 )2,2,2(A? )2,0,0(C? )2,2,2( ? yFA )2,2,( ? yEC ? 3分 曾都一中 枣阳一中 宜城一中 襄州一中 6 04422 ? yyECFA ? 4分 ECFA ? ECFA ? ? 5分 （ 2） ? ?0,2,1E ? ?0,1,0F ， ? ?2,2,0B? ? ?2
13、,0,1-?BE ? ?2,1,0?BF ? 6分 设平面 EFB? 的法向量为 ? ?zyxn ,? ，则 ?220202yzxzzyzx 取 2?x ，则 1?z ， 2?y ， ? ?1,2,2?n ? 8分 又 ? ?2,0,2O? ? ?0,2,0B ? ?2,2,2 ?BO ? 9分 设 BO? 与平面 EFB? 所成的角为 ? ，则 9 3536 244,c o ss in ? nBO? ? 11分 即直线 BO? 与平面 EFB? 所成角的正弦值为 935 ? 12 分 20、解（ 1）设 ),( yxM ，由 yPD? 轴于点 D ，可设 ),0(),( 0 yDyxP ?
14、1分 由 MPDM 2? 得 )0,(2)0,( 0 xxx ? ? )(2 0 xxx ? 即 xx 230 ? ? 3分 ?动点 P 在圆 922 ?yx 上 ? 9220 ?yx ? 4分 ? 949 22 ? yx ，即 194 22 ? yx ? 5分 ?动点 M 的轨迹 C 的方程为 149 22 ?xy ? 6分 （ 2）曲线 C 在 y 轴正半轴上的顶点为 ? ?3,0 ，由已知可设抛物线方程为 )0(22 ? ppyx ? 焦点坐标为 ? ?3,0 ， ? 32?p 即 6?p ?抛物线 C? 的方程为 yx 122 ? ? 8分 直线 3?xy 与抛物线 C 交于 BA,
15、两点， ),(),( 2211 yxByxA x y zC?z 7 方程联立： 091812)3(12 3 222 ? ? ? yyyyyx xy? 9 分 ?直线 3?xy 经过抛物线焦点 )3,0(F ? 2461821 ? pyyBFAFAB ? 12分 21、解：（ 1） 090,1 ? A D CDCAD? ? 2?AC ? 1分 作 ABCF? 与点 F ，则1,1 ? CDAFADCF 2?AB? ? 1?BF ? 2?BC ? 2分 ? 222 ABBCAC ? ? BCAC? ? 3分 ?PC? 平面 ABCD ? ACPC? ? 4分 CPCBC ? 且 ?BC 平面 PB
16、C ， ?PC 平面 PBC ? ?AC 平面 PBC ? 5分 ?AC? 平面 EAC ?平面 ?EAC 平面 PBC ? 6分 （ 2）由（ 1）可以 CB 为 x 轴， CA 为 y 轴， CP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 )0,2,0(A )2,0,0(P )002( ，B E? 是 PB 中点 ? )1,0,22(E )0,2,0(?CA )1,0,22(?CE 设平面 EAC 的法向量为 ),( zyxm? 则 ?02202zxy 取 2?x ，则 2,0 ? zy )2,0,2( ?m ? 8分 由（ 1）知平面 PAC 的法向量为 )0,0,2(?CB ? 9分 3626 22,c o s ?CBm? 11 分 ?二面角 EACP ? 的余弦值为 36 ? 12 分 另解： 可证 PCE? 为二面角 EACP ? 的平面角，求出 CECP,cos 便可 8 22、 解：（ 1）由已知得，点 P到点 ? ?021 ，?F 与 ? ?022 ，F 的距离之和等于 32 且 2232 ? ，所以动点 P的轨迹是以 21 FF，
