1、 1 湖北省长阳县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 第 卷 选择题部分 （共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数 z 满足 (1 ) 3i z i? ? ?，则在复平面内， z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2、 命题 “ 02, 00 ? xRx ” 的否定是 ( ) A不存在 02, 00 ? xRx B 02, 00 ? xRx C 02, ? xRx D 02, ? xRx 3、 已知圆 M与直线3 4 0xy?及3 4 10 0? ? ?都相切，圆心在
2、直线4yx? ?上，则圆 M的方程为（ ） A、? ? ? ?223 1 1? ? ? ?B? ? ? ?3 1 1? ? ? ?C?D?4、 已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a A 4 B 3 C 2 D 1 5、 直线 3yx? 与曲线 2yx? 围成图形的面积为 A 272 B 9 C 92 D 274 6、 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题： “ 今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ” 其意思为： “ 已知直角三角形 两直角边长分别为 8步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？ ” 现若向此三角形内投豆子，则
3、落在其内切圆内的概率是（ ） 7、 某校在模块考试中约有 1000人参加考试，其数学考试成绩 服从 N(90， 2? )，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110分之间的人数约为总人数的 ，则此次数学考试成绩不低于 110分的学生人数约为 ( ) A.200 B.300 C.400 D.600 2 8、 一个算法的 程序框图如图所示，该程序输出的结果为 5536 ，则空白处应填入的条件是 A. ?9?i B. ?6?i C. ?9?i D. ?8?i 9、 从某高中随机 选 取 5名高 二 男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体
4、重 y(kg) 63 66 70 72 74 由 表可得回归直线方程 axy ?56.0? ? ,据此模型 估计 身高为 cm172 的男生体重大约为 A、 70.09 kg B、 70.12 kg C、 70.55 kg D、 71.05 kg 2210 9xy m、 直 线 y=k(x-1) 与 椭 圆 + = 1 恒 有 公 共 点 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 98A ?、 ( ,+ ) 98 ?B、 ,9) (9,+ ) 98 ?C、 ( ,9) (9,+ ) 98 ?D、 ,+ ) 11、 将 5 名学 生分到 A,B,C 三个宿舍，每个宿舍至少 1 人至多 2 人，其中学生
5、甲不到 A 宿舍的不同分法有 A、 18种 B、 36种 C、 48种 D、 60 种 2 1112 | | | |A B C D、 过 抛 物 线 y = 4 x 的 交 点 F 作 两 条 互 相 垂 直 的 弦 AB,CD ， 则 + 的 值 为 A、 1 B、 2 C、 14 D、 12 第 卷 非选 择题部分 （共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，把答案填在相应题号后的横线上。 13、 直线1?kxy与曲线baxxy ? 3相切于点 A（ 1， 3），则 2a+b的值为 3 14、 用 1、 2、 3、 4、 5这五 个数组成没有重复数字的 五 位数，其中 4、
6、 5均排在 3 的 同侧，这样的 五位数共有 _ 个（用数字作答） 15、 已知1F，2是椭圆和双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且1223FPF ?，椭圆 的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则221231ee? 16、 点 P 是曲线 2 ln 0x y x? ? ? 上的任一点，则点 P 到直线 2?xy 的最小距离为 三、解答题：本大题共 6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21 7 ( ) 3 c o s 2442xx?、 已 知 函 数 f(x)=2sin（ 1 ） 求 f(x) 的 最 小 正 周 期 及 单 调 区 间（ 2 ） 当 x , 时 ， 求 f
7、(x) 的 最 大 值 和 最 小 值18 在数列 ?na 中，已知 )(l o g32,41,41 *4111 Nnabaaa nnnn ? ? （）求证：求数列 ?nb 的通项公式； （）设数列 ?nc 满足 nnn bac ? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nS 19.(12分 )如图， PDCE为矩形， ABCD为梯形，平面 PDCE 平面 ABCD， BAD ADC 90 ， AB AD 12CD a， PD 2a. (1)若 M为 PA中点，求证： AC 平面 MDE； (2)求平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角的大小 20、 中国汉字听写大会全国巡回赛共有近千名学生参加汉
8、字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示 （）求频率分布直方图中 a 的值 ,试估计学生参加汉字听写考试的平均成绩； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80 分以上（含 804 分）的概率； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3名同学，这 3名同学中考试成绩在 80分以上（含 80分）的人数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率） 21、 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为63 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 l与椭圆 C交于 A，
9、 B两点，坐标原点 O到直线 l的距离为 32 ，求 AOB 面积的最大值 22、 已知函数 ? ? xxxg ln2 ?， ? ? xxmmxxf ln2 ?， mR? （ 1） 求 函数 ()gx的 极值点 ； （ 2） 若 ( ) ( )f x g x? 在 ? ?1,? 上为单调函数，求 m 的取值范围； （ 3） 设 2() ehx x? ，若在 ? ?1,e 上至少存在一个 0x ，使得 0 0 0( ) ( ) ( )f x g x h x?成立，求 m 的取值范围 5 高二数学试卷（理科）参考答案 一、 选择题 1-5 ADCDC 6-10 CAABB 11-12 DC 二、
10、填空题 13、 1 14、 80 15、 4 16、 2 三、解答题 17、 解：（ ） f（ x） =1-cos（ +2x） - cos2x =1+sin2x- cos2x =1+2sin（ 2x- ） 最小正周期 T= 由 +2k2x - +2k ， k Z 得 +kx +k ， k Z 单调递减区间为 +k ， +k k Z （ 2） x ， ， 2x - ， 即 21+2sin （ 2x- ） 3 ， f（ x） max=3， f（ x） min=2 18、 解：（ 1） ,数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， （ 2分） , （ 4分） 公差 d=3,数列 是首项 ，公差 的等差数
11、列 （ 5分） （ 2） ， （ n ） ， 于是 两式 -相减得 = （ 12分） 6 19、 (1)证明：连接 PC，交 DE于点 N，连接 MN. M， N分别是 PA， PC的中点， MN|12AC.又 MN?面 MDE， AC?面 MDE， AC 平面 MDE. (2)以点 D 为坐标原点， DA， DC， DP 所在射线为 x， y， z 轴 ，建立如 图 所示空间直角坐标系，则 D(0， 0， 0)， C(0， 2a， 0)， B(a， a， 0)， P(0， 0 ，2a)， PB (a， a， 2a)， PC (0， 2a， 2a) CD 面 PAD， DC (0， 2a， 0
12、)是平面 PAD的一个法向量 设平面 PBC的一个法向量 n (x， y， z)， 则?n PB 0，n PC 0即 ?ax ay 2az 0，2ay 2az 0.令 z 2，则 n (1， 1， 2) cos n， DC n DC| |n | |DC 12. 故平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角为 3. 20、 解：（） aaaaaa 2076322 ? , 11020 ? , 005.0?a , ? 2分 估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 5.76951.0853.07535.06515.0551.0 ? ? 4分 （）设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A 4
13、.01001.01003.0)( ?AP 答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4 ? 6分 （）由（ 2） 知，从参加考试的同学中随机抽取 1名同学的成绩在 80分以上的概率为 52 ， X 可能的取值是 0， 1， 2， 3 12527)53()52()0( 3003 ? CXP 12554)53()52()1( 2113 ? CXP 12536)53()52()2( 1223 ? CXP 1258)53()52()3( 0333 ? CXP 7 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 12527 12554 12536 1258 ? ? 11 分 所以 2 7 5
14、4 3 6 8 6( ) 0 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 （或 2 (3, )5XB ，所以 26( ) 3 55E X np? ? ? ?） 21、 解： (1)设椭圆的半焦距为 c，依题意?ca63 ，a 3，得 c 2， b2 a2 c2 1， 所求椭圆方程为 x23 y2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)当 AB与 x轴垂直时， |AB| 3. 当 AB与 x轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m. 由已知 |m|1 k2 32 ，得 m2 34(k2 1) 把 y
15、 kx m代入椭圆方程，整理得 (3k2 1)x2 6kmx 3m2 3 0. 直线 l 与椭圆 C交于 A， B两点， 36k2m2 12(3k2 1)(m2 1) 12(3k2 1 m2) 36k2 12 9(k2 1) 27k2 3 0即 k R. x 1 x2 6km3k2 1， x1x2 3（ m2 1）3k2 1 . | AB|2 (1 k2)(x1 x2)2 (1 k2)? ?36k2m2（ 3k2 1） 212（ m2 1）3k2 1 12（ 1 k2）（ 3k2 1 m2）（ 3k2 1） 2 3（ 1 k2）（ 9k2 1）（ 3k2 1） 2 312k29k4 6k2 1
16、 3 129k2 1k2 63 1223 6 4(k0) 当且仅当 9k2 1k2，即 k 33 时等号成立当 k 0时， |AB| 3. 综上所述： |AB|max 2. 当 |AB|最大时， AOB的面积取得最大值 S 12| AB|max 32 32 . 8 22、 解： (1)因为222 1 2() xgx x x x? ? ? ? ?.由222 1 2( ) 0xgx x x x? ? ? ? ? ?得 0 2x? ，所以 0 2x? 为函数 ()gx的极小值点 ? 2分 （ 2） ( ) ( ) 2 lnmf x g x m x xx? ? ? ?， 222 ( ) ( ) m x x mf x g x x? ? ?. 因为 ( ) ( )f x g x? 在 ? ?1,? 上为单调函
