1、 1 湖南省邵阳市邵东县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 复数 z=2ii?（i为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限 2. 用反证法证明命题 “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60” 时， 假 设正确的是 ( ) A假设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60 C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个大于 60 3. 通过随机询问 110 名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列
2、联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由? ? ? ? ? ?dbcadcba bcadnK ? ? 22得，? ? 8.750605060 20203040110 22 ? ?K2()PK k?0 050 0 010 0 001 k3 841 6 635 10 828 参照附表，得到的正 确结论是 （ ） A.在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为 “ 爱好运动与性别有关 ” B.在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认为 “ 爱好运动与性别有关 ” C.在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为 “ 爱好运动与性别
3、无关 ” D有99%以上的把握认为 “ 爱好运动与性别无关 ” 4. ( ) ( ) , ( ) 2 ( 1 ) l n , ( 1 )f x f x f x x f x f? ? ? ? ?已 知 函 数 的 导 函 数 为 且 满 足 则( ) A.e?B.1 C. 1? D.e5. 20 (3 sin )x x dx? ?=（ ） A. 2 14?B. 12?C. 23 18?D. 23 18? ?6已知函数 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是 ( ) A ( 1,2) B ( ， 3)(6 ， ) 2 C ( 3,6) D ( ， 1)(2
4、 ， ) 7. 在 R 上可导的函数()fx的图象如图示，()fx?为函数 的导数，则关于 x的不等式 ( ) 0x f x?的解集为 （ ） A)1,0()1,( ?B),1()0,1( ? ?C)2,()1,2( ?D),2()2,( ? ?8.(1 2 ) nx 的 展 开 式 中 ， 各 项 系 数 的 和 是（ ） A.-1 B.1 C. )nD. 2n9. 从 1， 2， 3， 4， 5中任取 2个不同的数，事件 A?“取到的 2个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2个数均为偶数”，则( | )P A等于（ ） A. 18B. 1C. 25D. 110. 已知一个射手每次击中目标
5、的概率为35p，他在四次 射击中命中两次的概率为（ ） A. 36625B. 216625C. 96625D. 2462511. 从 5位男实习教师和 4位女实习教师中选出 3位教师派到 3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这 3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A 210 B 420 C 630 D 840 12. .设 ABC三边长为 a，b，c； ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则cba Sr ? 2，类比这个结论可知，四面体 S-ABC的四个面的面积分别为4321 , SSSS，四面体 S-ABC的体积为V， 内切球半径为 r，则 =（ ） A、4321 S
6、SSV ?B、43212 SSV ?C、43213VD、43214S二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中横线上 ) 13. (1 ) 2 , , | |i x y i x y x y i? ? ? ? ?设 其 中 是 实 数 ， 则3 14.二项式2 101()xx?的展 开式中的常数项是 _ 15 用 0到 9这 10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数。 16. 已知随机变量 X服从二项分布? ?10,0.6B，随机变量82X?，则D?。 三、解答题 （本大题共 8小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.(本小题满
7、分 10分 )如图，求直线32 ? xy与抛物线2xy所围成的图形的面积 . 18. (本小题满分 12 分 )某种产品的广告费支出 x（单位：百万元） 与销售额 y(单位：百万元 )之间有如下的对应数据： （ 1）画出散点图； （ 2）求 y关于 x的线性回归方程。 （ 3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？ 参考公式 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221()niiiniix y nx ybx n x?，a y bx? 19. (本小题满分 12 分 )甲、乙、丙三人参加了一家公 司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 .乙、丙则约定：两人面
8、试都合格就一同签约，否则两人都不签约 .设甲、乙、丙面试合格的概率分别是12， ，23，且面试是否合格互不影响 .求： （ 1）至少有 1人面试合格的概率； x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 4 （ 2）签约人数?的分布列和数学期望 . 20. (本小题满分 12分 ) 1 2 3 41 1 1 1, , , , , , , , , ,1 4 4 7 7 10 ( 3 2) ( 3 1 ) nS S S S Snn? ? ? ? ?已 知 数 列 计 算 根 据 计 算 结 果 ， 猜 想的表达式，并用数学归纳法进行证明。 21. (本小题满分 12分 ) 设1x?与2
9、?是函数32( ) 2 , 0f x ax bx x a? ? ? ?的两个极值点 . （ 1） 试确定常数a和b的值； （ 2） 求 函数()fx的 单调区间； 22. (本小题满分 12分 )已知函数2( ) ln ,f x x ax x a R? ? ? ? （ 1）若1a?，求曲线()y f x?在点(, (1)f处的切线方程； （ 2）若函数()fx在 1,3上是减函数，求实数a的取值范围； （ 3）令2( ) ( )g x f x x?，是否存在实数 ，当(0, xe?（e是自然对数的底数）时，函数gx的最小值是3？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 邵东三中 2017年高二年
10、级期中考试 数 学 答 案（理科） 一、选择题 DBBCD BACBB BC 二填空题 13. 2214. 45 15. 648 16. 9.6 5 三、解答题 17. 解：132 2 ? ? ? xxy xy或3?x.4分 332)313()32( 3 13231 2 ? ? xxxdxxxS.10分 18. （ 1）图略 -3分 （ 2）552115 , 50 , 145 , 1380i i iiiy x x y? ? ? ?122211380- 5 5 50= = 6. 5145 - 5 5()niiiniix y n x ybx n? ? ?； ? 50 6.5 5 17.5a y b
11、x? ? ? ? ? ?于是所求的线性回归方程是6.5 17.5yx?-10 分 （ 3）当x?时，? 6.5 10 17.5 82.5 ( )y ? ? ? ? 百 万 元-12分 19. 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知A，B，C相互独立，且1( ) ( ) 2P A P B?，2()3PC?（ 1）至少有 人面试合格的概率是21 1 111 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )2 3 12P A B C P A P B P C? ? ? ? ? ? ?；-5分 （ 2）?的可能取值为0，1，2，3，( 0) ( ) ( ) ( )P P A B C P A
12、 B C P A B C? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C? ? ?2 2 21 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 3? ? ? ? ? ?( 1 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P AB C P A B C? ? ? ? ? ?6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C?2 2 21 2 1 1 1 1 1( ) ( ) (
13、)2 3 2 3 2 3 3? ? ? ? ? ? ?，21 2 1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 6P A BC P A P B C? ? ? ? ? ? ?， 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6P AB C P A B P C? ? ? ? ?， -9分 ?的分布列是 0123P1316?的期望1 1 1 1 70 1 2 33 3 6 6 6E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.-12分 20. 12341 1 1 1 2;1 4 4 4 4 7 72 1 3 3 1 4;7 7 10 10 10 10 13 13SS? ? ? ? ? ? ?
14、 ? ?猜想31n nS n? ?-5分 下面用数学归纳法证明这个猜想 （ 1）1 1 1 11 , =4 3 1 3 1 1 4nnS n? ? ? ? ? ?当 时 ， 左 边 = 右 边猜想成立 -8分 （ 2）假设当( * )n k k N? 时 猜 想 成 立 ， 即1 1 1 1+ + + + ,1 4 4 7 7 10 3 2 ( 3 1 ) 3 1kk k k? ? ? ? ? ?（ ）那么 1 1 1 1 1+ + + +1 4 4 7 7 10 3 2 ( 3 1 ) 3 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 1 k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）21 3 4
15、 1 ( 3 1 ) ( 1 )3 1 ( 3 1 ) ( 3 4) ( 3 1 ) ( 3 4) ( 3 1 ) ( 3 4)k k k k kk k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?13( 1) 1kk ? ?所以，当1nk? 时 猜 想 也 成 立 .根据（ 1）与（ 2），可知猜想对任何*nN?都成立 . -12 分 7 21、 解： （ 1） 2( ) 3 2 2f x ax bx? ? ? ?由题意可知：(1) 0, ( 2) 0ff? ? ?3 2 2 0 ,12 4 2 0a b a b? ? ? ? ?11,32ab?解 得? ? 6分 （
16、 2） 2( ) 2f x x x? ? ? ?( ) 0 2 1( ) 0 2 1f x x xf x? ? ? ? ? ? ? ? ?由 得 或由 得( ) ( , 2) , (1 , ) -fx ? ? ? ? ?的 增 区 间 为 ； 减 区 间 为 （ 2 ， 1 ） .? 12 分 22. 解： (1)当1a?时，2( ) lnf x x x x? ? ?1 分 所以1( ) 2 1f x x?，(1) 2, (1) 2? 又? ?2 分 所以曲线()y f x?在点(, (1)f处的切线方程为20xy?3 分 （ 2）因为函数在,上是减函数， 所以21 2 1( ) 2 0x a
17、xf x a xx? ? ? ? ? ?在 1,3上恒成立 ?4 分 令2( ) 2 1h x x ax? ? ?,有(1) 0(3) 0hh ? ?，得1173aa? ?6 分 故173a?7 分 （ 3）假设存在实数 a，使( ) ln ( (0, )g x ax x x e? ? ?有最小值 3， 11() axg x a xx? ? ? ?0a?时，( ) 0gx? ?，所以()在(,e上单调递减， m in( ) ( ) 1 3g x g e ae? ? ? ?， 4a e?（舍去） 当1 e?时，( ) 0?在(,e上恒成立， 所以()gx在0,e上单调递减，8 m in( ) ( ) 1 3g x g e ae? ? ? ?4a e?（舍去） ? ?10 分 当10 ea?时，令( ) 0gx? ?，得10 x a， 所以()在1(0, )a上单调递减，在( ,上单调 递增 所以m in 1( ) ( ) 1 ln 3x g aa? ? ? ?，2ae?，满足条件 ?11 分 综上，存在实数2?，使得x?(0,e时，()有最小值 3 ?12 分
