1、 1 吉林省汪清县第六中学 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 一、单项选择（每小题 5分 ，共 60分 ） 1、 若复数 z 满足 ? ?1 1 2i z i? ? ? ，则复数 z 的虚部为 ( ) A. 32 B. 32? C. 32i D. 32i? 2、 下列求导运算正确的是（ ） A. 1(2 )= 2xxx ? B. 2211( ) 2xxxx? ? ?C. (3 ) 3xxee? D. ? ? 2cos sin()cos cosx x x xx x?3、 已知二次函数 ?xf 的图象如图 1所示 , 则其导函数 ?xf 的图象大致形状是（ ） 4、设?2,121,
2、0)( 2xxxxxf ，则 ?20 )( dxxf的值为（ ） A 43 B 54 C 65 D 67 5、 函数 ? ? 3f x ax x?在 ? ?,? 内是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 0a? B. 1a? C. 2a? D. 13a? 6、 函数 f(x) x3 3x+1在闭区间 -3， 0上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1， 1 B. 3， -17 C. 1， 17 D. 9， 19 7、 函数 ,93)( 23 ? xaxxxf 已知 3)( ?xxf 在 时取得极值 ,则 a = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8、 完成一项工作，有两种方法，有
3、 5 个人只会用第一种方法，另外有 4 个人只会用第二种方法，从这 9 个人中选 1 人完成这项工作，一共有多少种选法？ A. 20 B. 9 C. 5 D. 4 9、 火车上有 10名乘客，沿途有 5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） 2 A. 510 种 B. 105 种 C. 50 种 D. 以上都不对 10、今年，我校迎来了安徽师范大学数学系 5名实习教师，若将这 5名实习教师分配到高一年级的 3个班实习，每班至少 1名，最多 2名，则不同的分配方案有（ ） A 180种 B 120种 C 90种 D 60 种 11、已知函数 ? ? 431 2 3 ,2f x x x m x R?
4、? ? ?,若 ? ? 90fx? 恒成立 ,则实数 m 的取值范围是（ ） A 32m? B 32m? C 32m? D 32m? 12、 函数 ? ? 2lnf x x x? 的减区间为 （ ） A. ? ?0,e B. ,ee?C. , ee?D. 0, ee?评卷人 得分 二、填空题（每小题 5分 ，共 20 分 ） 13、已知曲线 3 lny x x? ，则其在点 (1,3) 处的切线方程是 _. 14、 已知函数 ?fx的导函数为 ?fx? ，且满足 ? ? ? ?3 1 2lnf x xf x? ，则 ?1f? ? _. 15、 3 239 x dx? =_. 16、 上午 4节
5、课，一个教师要上 3个班级的课，每个班 1节课，都安排在上午，若不能 3节连上，这个教师的课有 _种不同的排法 三、解答题（ 17 题 10 分 ,1822题每题 12 分，共 70 分 ） 17、 求下列函数的导数 （ 1） xxey? （ 2） xxy sin2? （ 3） lnxy x? （ 4） ? ? ?1222 ? xx 18、已知函数 3( ) 3 1f x x x? ? ? （ 1） 求 ()fx的单调区间和极值； 3 （ 2）求曲线在点 (0, (0)f 处的切线方程 19、某校高 2010级数学培优学习小组有男生 3人女生 2人，这 5人站成一排留影。 （ 1）求其中的甲乙
6、两人必须相邻的站法有多少种 ? （ 2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种 ? （ 3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ? 20、 学校组织 4名同学甲、乙、丙、丁去 3个工厂 A、 B、 C 进行社会实践活动 ,每个同学只能去一个工厂 . (1)问有多少种不同分配方 案？ (2)若每个工厂都有同学去 ,问有多少种不同分配方案？ (3)若同学甲、乙不能去工厂 A,且每个工厂都有同学去 ,问有多少种不同分配方案？ 21、 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查现在从 98件正品和 2 件次品共 100件产品中，任意抽出 3件检查 (1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有一
7、件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？ (4)恰好有一件是次品，再把抽出的 3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？ 22、已知函数 ? ? ln 1f x x kx? ? ?.(k0) （ 1）求函数 ?fx的的单调区间； （ 2）若 ? ? 0fx? 恒成立，试确定 实数 k 的取值范围 . 参考答案 一、单项选择 1、【答案】 B 【解析】 依题意 ? ? ? ? ? ?1 2 i 1 i1 2 i 1 3 i1 i 1 i 1 i 2z ? ? ? ? ? ? ?，故虚部为 32? . 2、【答案】 C 【解析】 由题意结合导函数的运算
8、法则和导数计算公式可得： ? ?2 2 ln2xx?， 2 2112xxxx? ? ? ， ? ?3 3xxee? ， ? ?2co s sinco s co sx x x xx x? . 本题选择 C选项 . 3、【答案】 D 【解析】 由当 f （ x） 0 时，函数 f（ x）单调递减，当 f （ x） 0 时，函数 f（ x）单调递增，则由导函数 y=f （ x）的图象可知： f（ x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A， C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧 ，排除 B， 故选 D 4、【答案】 C 因为?2,121,0)( 2xxxxxf
9、 ，那么 ? 20 )( dxxf=43 ，选 C 【解析】 5、【答案】 A 【解析】 因为 ? ? 2 3 1f x ax? ，令 ? ?0fx? 有 23 1 0ax ? ， 当 0x? 时恒成立；当0x? 时， 213a x? 恒成立，则 0a? ，又当 0a? 时也符合，所以 0a? ，选 A. 6、【答案】 B 【 解 析 】 因为 ? ? ? ? ?23 3 3 1 1f x x x x? ? ? ?， 所 以 可 得? ? ? ? ?23 3 3 1 1f x x x x? ? ? ?，令 ? ? ? ? ?3 1 1 0f x x x? ? ? ? 可得 , 1xx? ? ，
10、容易算得 ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 7 , 1 3 , 1 1 , 0 1f f f f? ? ? ? ? ? ? ?， 故最大值和最小值分别是 3, 17? ，应选答案 B。 点睛：解答本题的思路是先求函数的导数，求出其极值点，再求出极值点对应的函数值（包括区间端点），最后再确定这些函数值中的最大值和最小值，简化问题的求解过程，值得借鉴和思考。 7、【答案】 C 【解析】 由 ? ? 23 2 3f x x tx? ? ? ?，由于 ?fx在区间 ? ?1,4 上单调递减，则有 ? ? 0fx? ? 在? ?1,4 上恒成立，即 23 2 3 0x tx? ? ? ，也即 312
11、txx?在 ? ?1,4 上恒成立，因为312yxx?在 ? ?1,4 上单调递增，所以 3 1 5142 4 8t ? ? ?，故选 C 考点：利用导数研究函数的极值与最值；函数的恒成立问题 8、【答案】 B 【解析】 由题意得，根据加法原理可得，从这 9个人中选 1人完成这项工作，共有 5 4 9?种方法，故选 B. 9、【答案】 B 【解析】 每个乘客都有 5 种不同下车方法 ,相互独立 ,故乘客下车的可能方式有105 5 5 5? ? ? ? ,选 B. 10、【答案】 A 【解析】 根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3种情况讨论： 、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙
12、相邻 的位置有 4个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的 3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 33 6A? 种安排方法，则此时有 4 2 6 48? ? ? 种编排方法； 、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2 种情况，将剩下的 3 个节目全排列，安排在其他三个位置，有 33 6A? 种安排方法，则此时有 3 2 6 36? ? ? 种编排方法； 、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的 3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 33 6A? 种安排方法，则此时有 3 2 6
13、 36? ? ? 种编排方法；则符合题意要求的编排方法有 36 36 48 120? ? ? 种；故选 A 点睛 ： 本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素 ； 根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案 11、【答案】 A 【解析】 因为函数 ? ? 431 2 3 ,2f x x x m x R? ? ? ?，所以 ? ? 3226f x x? ?，令 ? ? 0fx? ?得 0x? 或 3x? ，经检验知 3x? 是函数的
14、一个最小值点，所以函数的最小值为27(3) 3 2fm?，不等式 ? ? 90fx? 恒成立，即 ? ? 9fx? 恒成立，所以 27392m? ? ，解得 32m? ，故选 A. 【考点】函数的恒成立；利用导数求区间上函数的最值 . 12、【答案】 D 【解析】 函数 ?fx的定义域为 ? ?0,? ， 其导函数： ? ? ? ?2 1 2 l n 2 l n 2 l n 1f x x x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ? ?0fx? 则： 2ln 1 0x? ，求解对数不等式可得： 0 ex e? ， 即函数 ? ? 2f x x lnx? 的减区间为 0,
15、 ee?. 本题选择 D选项 . 二、填空题 13、【答案】 2 1 0xy? ? ? 【解析】 由题意得，xy 13 ?，那么切线的斜率 2 1 ? ?xyk ，由点斜式可得切线方程为 2 1 0xy? ? ? . 考点： 1.导数的几何意义； 2.点斜式求直线方程 . 14、【答案】 -1 【解析】 ? ? ? ? 231f x f x?,则 ? ? ? ?1 3 1 2ff?,解得 ? ?11f? ? ,故填 -1. 15、【答案】 92? 【解析】 被积分函数可以看成， 12 的圆，以 ? ?0,0 为圆心， 3为半径的圆， 故原式等于 21 1 9* * * 92 2 2r? ? ?
16、 ， 故答案为 92? 点睛：函数积分可以求原函数，找函数奇偶性，这个题目是根据几何 意义 16、【答案】 12 【解析】 三、解答题 17、【答案】（ 1） 极大值为 ( 1) 3f ?，极小值为 (1) 1f ? （ 2） 3 1 0xy? ? ? 试题分析：（）由求导公式和法则求出 f（ x），求出方程 f（ x） =0的根，根据二次函数的图象求出 f（ x） 0、 f（ x） 0的解集，由导数与函数单调性关系求出 f（ x）的单调区间和极值；（）由导数的几何意义求出 f（ 0）：切线的斜率，由解析式求出 f（ 0）的值，根据点斜式求出曲线在点（ 0， f（ 0）处的切线方程，再化为一般式方程 试题解析： （ 1） 3( ) 3 1f x x x? ? ?， /2( ) 3 3 3 ( 1 )( 1 )f x x x x? ? ? ? ? ?， / ( ) 0 1 1f x x x? ? ? ?设 ， 可 得 ， 或 当 /( ) 0fx? ，即 11xx? ?， 或 时； 当 /( ) 0fx? ，即 11x? ? ? 时 当 x 变 化时， /()fx， ()fx的变化情况如下表： 当 2x? 时， ()fx有极大值，并且极大值为 ( 1
