1、第 1 页（共 23 页） 2020 年湖南省娄底市中考数学试卷年湖南省娄底市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1 （3 分） （2020娄底）2020 的倒数是（） A2020 B2020 C D 1 2020 - 1 2020 2 （3 分） （2020娄底）下列运算正确
2、的是（） Aa2a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （2a）38a3 Da2+a2a4 3 （3 分） （2020娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128，那么2 的度数为（） A62 B56 C28 D72 4 （3 分） （2020娄底）一组数据 7，8，10，12，13 的平均数和中位数分别是（） A7、10 B9、9 C10、10 D12、11 5 （3 分） （2020娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（） A B C D 6 （3 分） （2020娄底）2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1695.9 亿元，比上年增长
3、8.3%其中 1695.9 亿元用科学记数法表示为（） A16.9591010元 B1695.9108元 第 2 页（共 23 页） C1.69591010元 D1.69591011元 7 （3 分） （2020娄底）正多边形的一个外角为 60，则这个多边形的边数为（） A5 B6 C7 D8 8 （3 分） （2020娄底） 如图， 撬钉子的工具是一个杠杆， 动力臂 L1Lcos， 阻力臂 L2lcos， 如果动力 F 的用力方向始终保持竖直向下， 当阻力不变时， 则杠杆向下运动时的动力变化情况是 （） A越来越小 B不变 C越来越大 D无法确定 9 （3 分） （2020娄底）如图，平行于
4、 y 轴的直线分别交 y与 y的图象（部分）于点 A、B，点 C 是 y 轴上的动点，则ABC 的面积为（） = 1 = 2 Ak1k2 B （k1k2） Ck2k1 D （k2k1） 1 2 1 2 10 （3 分） （2020娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（） A135 B153 C170 D189 11 （3 分） （2020娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（） Ayx2+x+2 By1 Cyx Dy|x|1 = + + 1 12 （3 分） （2020娄底）二次函数 y（xa） （xb）2（ab）与 x 轴
5、的两个交点的横坐标分别为 m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（） 第 3 页（共 23 页） Amanb Bambn Cmabn Damnb 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18 分）分） 13 （3 分） （2020娄底）一元二次方程 x22x+c0 有两个相等的实数根，则 c 14 （3 分） （2020娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球 3 个，白色球 2 个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 15 （3 分） （2020娄底）若（ac） ，则 = = 1 2 = 16 （3 分） （20
6、20娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为 m（米） ，某车在标有 R300 处的弯道上从点 A 行驶了 100 米到达点 B，则线段 AB 米 17 （3 分） （2020娄底）如图，四边形 ABDC 中，ABAC3，BDCD2，则将它以 AD 为轴旋转 180后所得分别以 AB、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 18 （3 分） （2020娄底）由 4 个直角边长分别为 a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 c2等于小正方形的面积（ab）2与 4 个直角三角形的面积 2ab 的和证明了勾股 定理 a2+b2c2，还可以用来证明结论：若 a0
7、、b0 且 a2+b2为定值，则当 a b 时，ab 取得最大值 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 6 分，分，共共 12 分）分） 第 4 页（共 23 页） 19 （6 分） （2020娄底）计算：|1|3tan30+（3.14）0+（ ）1 3 1 2 20 （6 分） （2020娄底）先化简（），然后从3，0，1，3 中选一个合适的数代入求值 + 3 2 3 2 9 四解答题（四解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 8 分，分，共共 16 分）分） 21 （8 分） （2020娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡
8、议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间 t（h） ： A0 t0.5，B0.5t1，C1t1.5，Dt1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图： （1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a （2）补全条形统计图 （3）扇形图中“0t0.5”部分的圆心角是 度 22 （8 分） （2020娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工，2020 年 2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度” 该桥的引桥两端 各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥
9、墩顶端 E 点距地面 5m，从 E 点处测得 D 点俯角为 30，斜面 ED 长为 4m，水平面 DC 长为 2m，斜面 BC 的坡度为 1：4，求处于同 一水平面上引桥底部 AB 的长 （结果精确到 0.1m，1.41，1.73） 2 3 第 5 页（共 23 页） 五解答题（五解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 9 分，分，共共 18 分）分） 23 （9 分） （2020娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品某校花 7200 元购进洗手液与 84 消毒液共 400 瓶，已知洗手液的价格是 25 元/瓶，84 消毒液的价格是 15 元/瓶 求：（1
10、）该校购进洗手液和 84 消毒液各多少瓶？ （2）若购买洗手液和 84 消毒液共 150 瓶，总费用不超过 2500 元，请问最多能购买洗手液多少瓶？ 24 （9 分） （2020娄底）如图，ABCD 中，BC2AB，ABAC，分别在边 BC、AD 上的点 E 与点 F 关于 AC 对称，连接 EF、AE、CF、DE （1）试判定四边形 AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AEDE 六、综合题（六、综合题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 10 分，分，共共 20 分）分） 25 （10 分） （2020娄底）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，BD 平分ABC 交
11、O 于点 D，过 D 作 BC 的垂线，垂足为 E （1）求证：DE 与O 相切； （2）若 AB5，BE4，求 BD 的长； 第 6 页（共 23 页） （3）请用线段 AB、BE 表示 CE 的长，并说明理由 26 （10 分） （2020娄底）如图，抛物线经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当3m0 时，试确定 m 的值，使得PAC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点 B 的点 D，满足 DA2DC26，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 23 页） 2020 年
12、湖南省娄底市中考数学试卷年湖南省娄底市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1 （3 分） （2020娄底）2020 的倒数是（） A2020 B2020 C D 1 2020 - 1 2020 【解答】解：2020 的倒数是， - 1 20
13、20 故选：D 2 （3 分） （2020娄底）下列运算正确的是（） Aa2a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （2a）38a3 Da2+a2a4 【解答】解：A、a2a3a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、 （a+b）2a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （2a）38a3，原计算正确，故此选项符合题意； D、a2+a22a2，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：C 3 （3 分） （2020娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128，那么2 的度数为（） A62 B56 C28 D72 【解答】解：如图，标注字母， 第 8 页（共 23 页） 由
14、题意可得：BAC90，DACBAC162， EFAD， 2DAC62， 故选：A 4 （3 分） （2020娄底）一组数据 7，8，10，12，13 的平均数和中位数分别是（） A7、10 B9、9 C10、10 D12、11 【解答】解：10，从小到大排列处在中间位置的一个数是 10，因此中位数是 10， x = 7 + 8 + 10 + 12 + 13 5 = 故选：C 5 （3 分） （2020娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（） A B C D 【解答】解：A、不是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故正确； C、不是中心对称图形故错误；
15、 D、不是中心对称图形故错误 故选：B 第 9 页（共 23 页） 6 （3 分） （2020娄底）2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1695.9 亿元，比上年增长 8.3%其中 1695.9 亿元用科学记数法表示为（） A16.9591010元 B1695.9108元 C1.69591010元 D1.69591011元 【解答】解：1695.9 亿元169590000000 元1.69591011元， 故选：D 7 （3 分） （2020娄底）正多边形的一个外角为 60，则这个多边形的边数为（） A5 B6 C7 D8 【解答】解：设所求正多边形边数为 n， 则 60n360， 解得
16、 n6 故正多边形的边数是 6 故选：B 8 （3 分） （2020娄底） 如图， 撬钉子的工具是一个杠杆， 动力臂 L1Lcos， 阻力臂 L2lcos， 如果动力 F 的用力方向始终保持竖直向下， 当阻力不变时， 则杠杆向下运动时的动力变化情况是 （） A越来越小 B不变 C越来越大 D无法确定 【解答】解：动力动力臂阻力阻力臂， 当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值0， 动力随着动力臂的增大而减小， 杠杆向下运动时 的度数越来越小，此时 cos 的值越来越大， 又动力臂 L1Lcos， 此时动力臂也越来越大， 此时的动力越来越小， 故选：A 9 （3 分） （2020娄底）如图
17、，平行于 y 轴的直线分别交 y与 y的图象（部分）于点 A、B，点 C 是 y 轴上的动点，则ABC 的面积为（） = 1 = 2 第 10 页（共 23 页） Ak1k2 B （k1k2） Ck2k1 D （k2k1） 1 2 1 2 【解答】解：由题意可知，AB，AB 边上的高为 x， = 1 2 SABC（）x（k1k2） ， = 1 2 1 2 = 1 2 故选：B 10 （3 分） （2020娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（） A135 B153 C170 D189 【解答】解：根据规律可得，2b18， b9， ab18， x2b2+a162
18、+8170， 故选：C 11 （3 分） （2020娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（） Ayx2+x+2 By1 Cyx Dy|x|1 = + + 1 【解答】解：当 y0 时， 第 11 页（共 23 页） 方程 x2+x+20 无实数根，因此选项 A 不符合题意； 方程10 无实数根，因此选项 B 不符合题意； x + 方程 x0 无实数根，因此选项 C 不符合题意； + 1 = 方程|x|10 的解为 x1，因此选项 D 符合题意， 故选：D 12 （3 分） （2020娄底）二次函数 y（xa） （xb）2（ab）与 x 轴的两个交点的横坐标分
19、别为 m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（） Amanb Bambn Cmabn Damnb 【解答】解：二次函数 y（xa） （xb）与 x 轴交点的横坐标为 a、b，将其图象往下平移 2 个单位长度可得出二次函数 y（xa） （xb）2 的图象，如图所示 观察图象，可知：mabn 故选：C 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18 分）分） 13 （3 分） （2020娄底）一元二次方程 x22x+c0 有两个相等的实数根，则 c1 【解答】解：一元二次方程 x22x+c0 有两个相等的实数根， b24ac（2）24c0， 解得
20、 c1 故答案为 1 14 （3 分） （2020娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球 3 个，白色球 2 个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 2 5 【解答】解：袋子中共有 5 个小球，其中白色小球有 2 个， 从中任意摸出一球，有 5 种等可能结果，其中摸到白色小球的有 2 种可能， 从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ， 2 5 第 12 页（共 23 页） 故答案为： 2 5 15 （3 分） （2020娄底）若（ac） ，则 = = 1 2 = 1 2 【解答】解：（ac） ， = = 1 2 = 1 2 故答案为： 1 2 16 （3 分） （2
21、020娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为 m（米） ，某车在标有 R300 处的弯道上从点 A 行驶了 100 米到达点 B，则线段 AB300米 【解答】解：100， = 180 = 300 180 n60， 又 AOBO， AOB 是等边三角形， ABAOBO300（米） ， 故答案为：300 17 （3 分） （2020娄底）如图，四边形 ABDC 中，ABAC3，BDCD2，则将它以 AD 为轴旋转 180后所得分别以 AB、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为 l， 上面圆
22、锥的侧面积为： lAB， 1 2 下面圆锥的侧面积为： lBD， 1 2 ABAC3，BDCD2， S上：S下3：2， 故答案为：3：2 18 （3 分） （2020娄底）由 4 个直角边长分别为 a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 c2等于小正方形的面积（ab）2与 4 个直角三角形的面积 2ab 的和证明了勾股 定理 a2+b2c2，还可以用来证明结论：若 a0、b0 且 a2+b2为定值，则当 ab 时，ab 取得最大值 【解答】解：如图，作斜边 c 上高 h， （ab）20， a2+b22ab0， 第 14 页（共 23 页） 又a2+b2c2，a2+b
23、2为定值， ab， 2 2 ab 最大值为， 2 2 a，b 为直角边的直角三角形面积abch， = 1 2 = 1 2 ch， 2 2 = h， = 2 等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， 当 ab 时，h， = 2 故答案为： 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 6 分，分，共共 12 分）分） 19 （6 分） （2020娄底）计算：|1|3tan30+（3.14）0+（ ）1 3 1 2 【解答】解：原式131+2 = 3 3 3 + 11+2 = 3 - 3+ 2 20 （6 分） （2020娄底）先化简（），然后从3，0，1，3 中选一个合适
24、的数代入求值 + 3 2 3 2 9 【解答】解：原式 ( 3) ( + 3)( 3) 2( + 3) ( + 3)( 3) ( + 3)( 3) = ( 3) 2( + 3) ( + 3)( 3) ( + 3)( 3) （m3）2（m+3） m32m6 m9， 当 m3，0，3 时，原式没有意义，舍去； 第 15 页（共 23 页） 当 m1 时，原式1910 四解答题（四解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 8 分，分，共共 16 分）分） 21 （8 分） （2020娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们
25、的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间 t（h） ： A0 t0.5，B0.5t1，C1t1.5，Dt1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图： （1）本次调查参加义务劳动的学生共100人，a40 （2）补全条形统计图 （3）扇形图中“0t0.5”部分的圆心角是18度 【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 3535%100（人） ， 100a%40， a40， 故答案为：100，40； 第 16 页（共 23 页） （2）如图所示：； （3）120%35%100%5%， - 40 100 扇形图中“0t0.5”部分的圆心角是 3605%18， 故答案为：18 22 （8 分
26、） （2020娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工，2020 年 2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度” 该桥的引桥两端 各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端 E 点距地面 5m，从 E 点处测得 D 点俯角为 30，斜面 ED 长为 4m，水平面 DC 长为 2m，斜面 BC 的坡度为 1：4，求处于同 一水平面上引桥底部 AB 的长 （结果精确到 0.1m，1.41，1.73） 2 3 第 17 页（共 23 页） 【解答】解：作 DFAE 于 F，DGAB 于 G，CHAB
27、于 H，如图所示： 则 DFGA，DCGH2，AFDGCH， 由题意得：EDF30， EFDE42，DFEF2， = 1 2 = 1 2 = 33 AE5， CHAFAEEF523， 斜面 BC 的坡度为 1：4， = BH4CH12， ABAG+GH+BH22+1221417.5（m） ， 3 +3 + 答：处于同一水平面上引桥底部 AB 的长约为 17.5m 五解答题（五解答题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 9 分，分，共共 18 分）分） 23 （9 分） （2020娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品某校花 7200 元购进洗手液与 84 消毒
28、液共 400 瓶，已知洗手液的价格是 25 元/瓶，84 消毒液的价格是 15 元/瓶 求：（1）该校购进洗手液和 84 消毒液各多少瓶？ （2）若购买洗手液和 84 消毒液共 150 瓶，总费用不超过 2500 元，请问最多能购买洗手液多少瓶？ 【解答】解：（1）设该校购进洗手液 x 瓶，该校购进 84 消毒液 y 瓶， 依题意有， x + y = 400 25 + 15 = 7200 解得 x = 120 = 280 故该校购进洗手液 120 瓶，该校购进 84 消毒液 280 瓶； （2）设能购买洗手液 a 瓶，则能购买洗手液（150a）瓶， 第 18 页（共 23 页） 依题意有 25
29、a+15（150a）2500， 解得 a25 故最多能购买洗手液 25 瓶 24 （9 分） （2020娄底）如图，ABCD 中，BC2AB，ABAC，分别在边 BC、AD 上的点 E 与点 F 关于 AC 对称，连接 EF、AE、CF、DE （1）试判定四边形 AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AEDE 【解答】 （1）解：四边形 AECF 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， OAFOCE， 点 E 与点 F 关于 AC 对称， AEAF，CECF，OEOF， 在AOF 和COE 中， OAF = OCF = = AOFCOE（AAS） ， AFCE，
30、 AEAFCECF， 四边形 AECF 是菱形； （2）证明：BC2AB，ABAC， ACB30， B60， 第 19 页（共 23 页） AECE， EACACB30， BAE903060B， ABE 是等边三角形， AEABBE，AEB60， AEC120， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， DCE180B120， 又CEAE， CEBEBCABCD， = 1 2 CEDCDE30， AED1203090， AEDE 六、综合题（六、综合题（本大题共本大题共 2 小题，小题，每小题每小题 10 分，分，共共 20 分）分） 25 （10 分） （2020娄底）如图，点
31、 C 在以 AB 为直径的O 上，BD 平分ABC 交O 于点 D，过 D 作 BC 的垂线，垂足为 E （1）求证：DE 与O 相切； （2）若 AB5，BE4，求 BD 的长； （3）请用线段 AB、BE 表示 CE 的长，并说明理由 第 20 页（共 23 页） 【解答】 （1）证明：连接 OD， ODOB， ODBOBD， BD 平分ABC， OBDCBD， ODBCBD， ODBE， BEDE， ODDE， DE 与O 相切； （2）解：AB 是O 的直径， ADB90， BEDE， ADBBED90， BD 平分ABC， OBDCBD， ABDDBE， ， = 第 21 页（共 2
32、3 页） ， 5 = 4 BD2； 5 （3）解：CEABBE，过 D 作 DHAB 于 H， BD 平分ABC，DEBE， DHDE， 在 RtBED 与 RtBHD 中， DE = DH = RtBEDRtBHD（HL） ， BHBE， DCEA，DGADEC90， ADHCDE（AAS） ， AHCE， ABAH+BH， ABBE+CE， CEABBE 26 （10 分） （2020娄底）如图，抛物线经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当3m0 时，试确定 m 的值，使得PAC 的面积最大； （3）抛物线
33、上是否存在不同于点 B 的点 D，满足 DA2DC26，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 第 22 页（共 23 页） 【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x1） ， 把 C（0，3）代入，可得 a1 抛物线的解析式为 yx22x+3 （2）设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 将 A（3，0） ，C（0，3）代入得到， 0 = - 3k + b 3 = 解得， k = 1 = 3 直线 AC 的解析式为 yx+3 当3m0 时，点 P（m，n）在直线 AC 的上方，过点 P 作 x 轴的垂线交 AC 于 Q则 P（m，m22m+3） ，Q（
34、m，m+3） ， PQm22m+3（m+3） m23m， （m）2， + 3 2 + 9 4 3m0， 当 m时，PQ 的值最大， =- 3 2 此时 SPACPQAOPQ最大， = 1 2 = 3 2 m =- 3 2 （3）由 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3） ，可得 AB4，OB1，OC3， 第 23 页（共 23 页） BC210，CAO45， BA2BC26， 连接 BC，过点 B 作 AC 的垂线交抛物线于 D，交 AC 于 H 则AHB90，DBACAO45， DA2DC2HA2HC2AB2BC26， CAODBA， BD，AC 关于 AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴 x1 对称， 点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴 x1 对称， C（0，3） ， 点 D 的坐标为（2，3） 方法二 ： 设 D 点的坐标为（n，n22n+3） ，然后用两点间的距离公式表示 DA 和 DC，最后会得到关于 n 的一元二次方程，最后解的 n1 和2，由题意可知，1 不符合舍弃最后得到 n2，所以 D 的坐标就是（2，3）
