1、 - 1 - 2016-2017 学年度高二第二学期期中考试 数学（理科）试题 试卷满分： 150分考试时间： 120分钟 第 I卷（选择题，共 60分） 一选择题：本大题共 12题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知 iz 311 ? ， iz ?32 ，其中 i 是虚数单位，则21zz 的虚部为（ ） A 1? B 54 C i? D i54 ? ? ayaxxxya ，则为所围成封闭图形的面积与直线若曲线设 20,11,1.2 A 2 B e C e2 D 2e ? ? ? ?列说法正确是的图像如图所示，则下的导函数函数 xfyxfy
2、 ? )(.3 ? ?上单调递增在函数 0,)(. ? xfyA? ?5,3)(. 的递减区间为函数 xfyB ? 处取极大值在函数 0)(. ? xxfyC 处取极小值在函数 5)(. ? xxfyD 4.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设否定“自然数 a， b， c中恰有一个偶数”时正确的反设为（ ） A.自然数 a， b， c都是奇数 B.自然数 a， b， c都是偶数 C.自然数 a， b， c中至少有两个偶数 D.自然数 a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 5.某节晚自习课堂上，小明向值班老师报告说：有同学在看知音漫客，四名可疑同学被请- 2 - 到数学组
3、办公室，四人陈述如下： 甲：我们四人都没有看； 乙：我们四人中有人看； 丙：乙和丁至少有一人没看； 丁：我没有看 . 若四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话，则以下论断一定成立的是（） A.甲和丁说的是真话 B. 甲和丙说的是真话 C.乙和丙说的是真话 D.乙和丁说的是真话 ? ?，下列各式正确的是已知 1,1.6 ? yx 1.2. 22 ? yxByxyxA yxxyDyxC ? 1.1. 7 . ? ?的最短距离为上的点到直线曲线 032ln2 ? yxxy A 5 B 2 C 52 D 2 8.已知函数 ? ? 342131 23 ? xmxxxf 在区间 ?2,1 上是增函数，则
4、实数 m 的取值范围为（ ） A. 42 ?m B. 42 ?m C. 4?m D. 4?m 9.关于 x 的方程 03 23 ? axx 有三个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ） ? ? ? ?1,0.,1. BA ? ? ? ?0,.0,4. ? DC 10.已知正整数 m 的 3次幂有如下分解规律： 113? ； 5323 ? ； 119733 ? ；1917151343 ? ；?若 )(3 ?Nmm 的分解中最小的数为 91，则 m 的值为（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的解集为 则不等式满足上的函数定义在 xx exfef
5、xfxfxfR ? 2016,20170,1.11- 3 - ? ? ? ? ? ? ,0.,00,. BA ? ? ? ? ? ? ?0,.,30,. ? DC ? 12. ? ? ? ?的取值范围为恒成立，则实数时，不等式当 axxaxx 0341,2 23 ? ， A. ? ?3-4- ， B.? ?2-5- ， C. ? ?3-6- ， D. ? ?2-6- ， 第卷 （ 非选择题，共 90分 ） 二选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。 13 已知复数 ? ? iziz 21 ?满足 （ i 为虚数单位），则 _z ? 14函数 ? ? 2
6、23 abxaxxxf ? 函数在 1?x 处有极小值 10，则 ba? 的值为 _ 15. 已知整数对的序列如下：（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1），（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3， 1），（ 1， 4），（ 2， 3）（ 3， 2），（ 4， 1），（ 1， 5），（ 2， 4）?则第 68个数对是 _ ? ? ? ? ? ? ? ? ? _,1,1,2032)(.16212132的取值范围为则实数使得都存在，若对于任意的已知函数axfxfxxaaxxxf?三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70分，把答案填在答题卡的相应位置 ,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
7、。 17 (本题满分 10分 ) 已知 ? ? ? ? ? ，复数 immmmzRm 3221, 2 ? ( 为虚数单位i ),当 m 为何值时， （ 1） 为实数z （ 2） 为纯虚数z （ 3） 四象限对应的点位于复平面第z 18（本题满分 12分） 设函数 ? ? xxxf ln421 2 ? ? ? ? ?的单调区间求函数 xf.1 ? ? ? ? ? ?上的最值，在区间求函数 exf 1.2 19 (本题满分 12分 ) - 4 - （ 1） cbaaccbbaRcba lglglg2lg2lg2lg, ? ? 求证：已知 （ 2） 21,1,2, 中至少有一个小于求证：且已知 b
8、aa bbaRba ? ? 20（本题满分 12分） 已知数列 ?na 满足 ? ? 11 ? nn naan ，且 11?a （ 1）求数列 ?na 的通项公式 （ 2）当 2n? 时，比较 11111221与nnnn aaaa?的大小 ,并用数学归纳法证明。 21（本题满分 12分） 设函数 ? ? sin co sxf x xe a x x? （ aR? ，其中 e 是自然对数的底数） . （ 1）当 0a? 时，求 ?fx的极值； （ 2）若对于任意的 0,2x ?， ? ? 0fx? 恒成立，求 a 的取值范围； （ 3）是否存在实数 a ，使得函数 ?fx在区间 0,2?上有两个零
9、点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 22（本题满分 12分） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 明。的大小关系，并给出证与试判断使得存在正实数且若对于任意的且其中证明：处的切线方程在求函数若已知函数0211201202121212112122122,0,30,lnln221,01221ln2xfxxfxxxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxfaRaxaaxxxf? ?- 5 - - 6 - 2016-2017学年度高二第二学期期中考试 数学（理科）试题答案 一选择题 (5分每题 ) 1.B 2 D 3 D 4
10、D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 C 10 B 11 B 12.D 二选择题： 13. 2 14.-7 15.（ 2， 11） 16. ? 23,43三 .解答题： 17 解 ： （ 1） m=-3或 1； （ 2） 2?m （ 3） 2-3- ?m 18 解：（ 1）定义域为（ 0， +）? ? ? ? ? ? ? 20,0,20,4 ? xxfxxfxxxf 得令，得令 所以 f（ x）的单调减区间为（ 0， 2） ,单调增区间为（ 2， +） (2)由（ 1）， f（ x）在减，在增， ? ? ? ? 2ln422m in ? fxf 又 f（ 1） = ， 因 为 所以 ? ?
11、2ln42min ? xf, ? ?21max ? xf? ? ?cbacacbbaabccacbbacbaabccacbbaaccabccbabbaRcbalglglg2lg2lg2lglg222lg,22202,02,02,1.19? ?数，得上式两边同时取常用对等号成立当且仅当证明： ?- 7 - ? ? ?21,b12,2211,21,21,0,021,2121,1.2中至少有一个小于矛盾，所以假设不成立与已知，则都不小于证明：假设baabababababaabbabaabbaab?20 （ 1） nan? ? ? 111112.2221? ?nnnn aaaan ?时，：当 下面用数
12、学归法证明： 当 n=2时，由上可得，结论成立 11111221k? ?kkk aaaakn ?时，结论成立，即假设当 ? ? ? ? ? ?22212112111321111111211111111111111111122222222?kkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaknkkkkkkkkkkkkkkk?时，不等式左边则当? ? 01 1,012222? ?kkkkkkk ，得再由 ? ? 1111121321k? kkk aaaa? 111112221? ?nnnn aaaan ?时，当 - 8 - 21.解：（ 1）当 0a? 时， ? ? ? ? ? ?,1xxf x xe
13、f x e x? ? ? 令 ? ? 0fx? ? ，得 1x? 列表如下： x ? ?,1? -1 ? ?1,? ? ?fx - 0 + ?fx 极小值 所以函数 ?fx的极小值为 ? ? 11f e? ? ，无极大值； (2) 当 0a? 时，由于对于任意 0,2x ?，有 sin cos 0xx? 所以 ? ? 0fx? 恒成立，当 0a? 时，符合题意； 当 01a?时，因为 ? ? ? ? ? ?0= 1 c o s 2 0 1 c o s 0 1 0xf x e x a x e a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以函数 ?fx在 0,2?上为增函数，所以 ? ? ? ?0
14、0f x f?，即当 01a?，符合题意； 当 1a? 时， ? ? 0 1 0fa? ? ?， 4 1044fe? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以存在 0,4? ?，使得 ? ? 0f ? ? ，且在 ? ?0,? 内， ? ? 0fx? 所以 ?fx在 ? ?0,? 上为减函数，所以 ? ? ? ?00f x f? 即当 1a? 时，不符合题意 综上所述， a 的 取值范围是 ? ?,1? ; 3) 不存在实数 a ，使得函数 ?fx在区间 0,2?上有两个零点，由（ 2）知，当 1a? 时， ?fx在 0,2?上是增函数，且 ? ?00f ? ，故函数 ?fx在区间 0,
15、2?上无零点 - 9 - 当 1a? 时， ? ? ? ? = 1 co s 2xf x e x a x? 令 ? ? ? ?1 co s 2xg x e x a x? ? ?， ? ? ? ? 2 2 sin 2xg x e x a x? ? ? 当 0,2x ?时，恒有 ? ? 0gx? ，所以 ?gx在 0,2?上是增函数 由 ? ? 20 1 0 , 1 022g a g e a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故 ?gx在 0,2?上存在唯一的零点 0x ，即方程 ? ? 0fx? 在 0,2?上存在唯一解 0x 且当 ? ?00,xx? 时， ? ? 0
16、fx? ，当0, 2xx?， ? ? 0fx? 即函数 ?fx在 ? ?00,x 上单调递减，在0,2x ?上单调递增， 当 ? ?00,xx? 时， ? ? ? ?00f x f?，即 ?fx在 ? ?00,x 无零点； 当0, 2xx?时， ? ? ? ? 20 0 , 022f x f f e? ? ?所以 ?fx在0,2x ?上有唯一零点， 所以，当 1a? 时， ?fx在 0,2?上有一个零点 综上所述，不存在实数 a ，使得函数 ?fx在区间 0,2?上有两个零点 . 22.解： ? ? 024.1 ? yx ? ? ? ? ?12121221121221112ln2lnln,02
17、xxxxxxxxxxxxxx 则不妨设- 10 - ? ? ? ?1,112ln112ln,12121212 ? ? ttttxxxxxxtxx 则令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 011,1,1 12ln 2 ? ttttgtttttg 则令 ? ? ? ? ? ? ? ? ,011 ? gtgtg 上递增，在 ? ?212121211212lnln202lnlnxxxxxxxxxxxx? ? ? ?021 2.3 xfxxf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1212121212 221lnln2 xxaxxxxaxxxfxf ?证明： ? ? ? ? ? ? ? ?axxaxx xxxf ? 221lnln2 1212 120由题意得 ? ? ? ?axxaxxxxf ? ? 22142 122121? ? ? ? ? ?212121210 2lnln22 xxxx xxxxfxf , 210
