1、 - 1 - 北京 101中学 2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 本试卷满分 120分，考试时间 100分钟 一、选择题共 8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 下列导数公式正确的是（ ） A. （ xn） =nxn B. （x1） =21xC. （ sinx） =-cosx D. （ ex） =ex 2. 下表是离散型随机变量 X的分布列，则常数 a的值为（ ） X 0 1 2 3 P a 61 31 41A. 41 B. 31C. 21 D. 613. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A=两次的点数均为偶数 ， B=两次的点数之和为
2、8，则 P（ B|A） =（ ） A. 181B. 121 C. 31D. 924. 若 ? ?a xx1 )1(dx=1-21 ln3，且 a1，则 a的值为（ ） A. -3 B. 1n3 C. 3 D. 3 5. 用数学归纳法证明“ l+2+3+? +n3= 2 36 nn ? ， n N*”，则当 n=k+1 时，应当在 n=k 时对应的等式左边加上（ ） A. k3+1 B. （ k3+1） +（ k3+2） +? +（ k+1） 3 C. （ k+1） 3 D. 2 )1()1( 36 ? kk 6. 函数 y=ex（ x2-3）的大致图象是（ ） A. B. - 2 - C. D
3、. 7. 已知： p3+q3=2，求证： p+q 2用反 证法证明时，可假设 p+q 2；设 a 为实数， f（ x） =x2+ax+a，求证： |f（ 1） |与 |f（ 2） |中至少有一个不大于 21 用反证法证明时可假设|f（ 1） |21 或 |f（ 2） |21 以下说法正确的是（ ） A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确 C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确 8. 若函数 y=f（ x）对任意 x（ -2? ， 2? ）满足 f（ x） cosx-f（ x） sinx0，则下列不等式成立的是（ ） A. 2 f（ -4? ） f（ -3? ） C. f
4、（ -4? ） 2 f（ -3? ） D. f（ -4? ） 0， c 0），且 y=f（ x）， y=g（ x）为区间（ 0， +? ）的“平行曲线”， g（ 1） =e， g（ x）在区间（ 2， 3）上的零点唯一，则 a的取值范围是 _. 三、解答题共 4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. 已知函数 f（ x） =（ 1-2x）（ x2-2） （ 1）求 f（ x）的单调区间和极值； （ 2）若直线 y=4x+b 是函数 y=f（ x）图象的一条切线，求 b的值 16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化某调查机构随机抽取 8名购物者进行采访， 4
5、 名男性购物者中有 3 名倾向于网购， 1 名倾向于选择实体店， 4 名女性购物者中有 2名倾向于选择网购， 2名倾向于选 择实体店 （ 1）若从 8名购物者中随机抽取 2名，其中男女各一名，求至少 1名倾向于选择实体店的概率： （ 2）若从这 8名购物者中随机抽取 3名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X的分布列和数学期望 17. 已知点 Pn（ an,bn）满足 an+1=an bn+l ， bn+l =241 nnab?（ n?N*）且点 P1的坐标为（ 1,-1） . （ 1）求过点 P1， P2的直线 l的方程； （ 2）试用数学归纳法证明：对于 n N*，点
6、Pn都在（ 1）中的直线 l上 18. 已知函数 f（ x） =-a2 lnx+x2-ax（ a R） （ 1）试讨论函数 f（ x）的单调性： （ 2）若函数 f（ x）在区间（ 1， e）中有两个零点，求 a的取值范围 - 4 - - 5 - 参考答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B 9 0 1094 11 15 12 e2-2 13 820 14（ 2ln2e ，3ln3e） 15（ 1）因为 f（ x） =-2（ x2-2） +（ 1-2x） 2x=-6x2+2x+4 令 f（ x） =0，得 3x2-x-2=0，解得 x=-32或 x=1 x （ -?
7、 ,-32） -32（ -32,1） 1 （ 1,+? ） f（ x） - 0 + 0 - g（ x） 极小值 极大值 所以 f（ x）的单调递增区间为（ -32， 1），单调递减区间为（ -? ， -32），（ 1， +? ）， 极小值为 f（ -32） =-2798，极大值为 f（ 1） =1 （ 2）因为 f（ x） =-6x2+2x+4， 直线 y=4x+b是 f（ x）的切线，设切点为（ x0， f（ x0）， 贝 f（ x0） =-6x20 +2x0+4=4， 解得 x0=0或 x0=31 当 x0=0 时， f（ x0） =-2，代入直线方程得 b=-2， 当 x0=31 时，
8、f（ x0） =-2717 ，代入直线方程得 b=-2753 所以 b=-2或 -2753 16. （ 1）设“随机抽取 2名， 其中男、女各一名，至少 1名倾向于选择实体店”为事件 A，则 A 表示“随机抽取 2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”， 则 P（ A） =1-P（ A ） =1-14141213CCCC=85 （ 2） X的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，且 P（ X=k） =38353CCCkk ? ， - 6 - 则 P（ X=0） =285383503 ?CCC， P（ X=1） = 2815382513 ?CCC， P（ X=2） =5615381523 ?C
9、CC， P（ X=3） =561380533 ?CCC. 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 28528155615561所以 E（ X） =0285+l2815+25615+3561=89 17. （ 1）由点 P1的坐标为（ 1， -1）知， a1=1， b1=-1， 所以 b2=3141 211 ? ab， a2=a1 b2=31， 所以点 P2的坐标为（31，31）， 所以直线 l的方程为 2x+y-1=0 （ 2）当 n=1时， 2a1+b1=2 1+（ -1） =1，命题成立 假设 n=k（ k 1， k N*）时命题成立，则 2ak+bk=1， 所以 2ak+1+bk+1
10、=2ak bk+1 +bn+l = )12(41 2 ? kkk aab= 121 2121 ? kkkk aaab， 所以当 n=k+1时，命题也成立 由知，对 n N*，都有 2an+bn=1， 即点 Pn都在直线 l上 18（ 1） f（ x）的定义域为（ 0， +? ） 由 f（ x） =-a2lnx+x2-ax（ a R） 可知 f（ x） = x axaxx aaxxaxxa )(2(22 222 ? ， 所以若 a0，则当 x（ 0， a）时， f（ x） 0，则函数 f（ x）单调递增； 若 a=0，则当 f（ x） =2x0在（ 0， +? ）内恒成立，函数 f（ x）单调递增； 若 a0，则函数 f（ x）单调递增 （ 2）若 a0， f（ x）在（ 0， a）单调递减，在（ a， +? ）单调递增 - 7 - 若 a0， f（ x）在（ 0， -2a ）单调递减，在（ -2a ， +? ）单调递增 由题意，若 f（ x）在区间（ 1， e）中有两个零点，则有?0)(,0)1(,0)(,1effafea或?,0)(,0)1(,0)2(,21effafea得 a无解或 a（ - 251? e， -2 43e ） . 综上， a（ - 251? e， -2 43e ）
