1、 1 2016-2017 学年下学期高二年级期中考试数学试卷（ 理 科） 试卷分为两卷，卷（ I） 100 分，卷（ II） 50 分，共计 150分，考试时间 120分钟 卷（ I） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 . 1. 复数i?12= A. 2 + 2 i B. 22 + 22 i C. 1-i D. 1+i 2. 下列求导正确的是 A. （ 3x2-2） =3x B. （ log2x） =2ln1?xC. （ cosx） =sinx D. （xln1） =x 3. 曲线 y=x ex在 x=1处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1 4.
2、?421dxx等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数 f（ x） =3+x lnx的单调递增区间为 A. （ 0， e1 ） B. （ e， +） C. （ e1 ， +） D. （ e1 ， e 6. 在复平面内，复数 ii?12 （ i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 7. 函数 f（ x） =216xx?在区间 0， 3的最大值为 A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 8. 已知 f（ x） =1+（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 3+ +（ 1+x） n，
3、则 f 0） = A. n B. n-1 C. 2 )1( ?nn D. 21 n（ n+1） 9. 函数 f（ x） =x3+ax2+（ a+6） x+1有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是 A. （ -1， 2） B. （ -3， 6） C. （ -， -3）（ 6， +） D. （ -， -1）（ 2， +） 10. 方程 x2=xsinx+cosx的实数解个数是 2 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 11. 复数（ 2+i） i的模为 _. 12. 由曲线 y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为 _. 13. 若
4、曲线 y=x3+x-2上的在点 P0处的切线平行于直线 y=4x-1，则 P0坐标为 _. 14. 如下图，由函数 f（ x） =x2-x 的图象与 x 轴、直线 x=2 围成的阴影部分的面积为_. 15. 已知 Sn= 11?n + 21?n + + n21 ， n N*，利用数学归纳法证明不等式 Sn2413 的过程中，从 n=k到 n=k+l（ k N*）时，不等式的左边 Sk+1=Sk+_. 16. 对于函数 y=f（ x）， x D，若对于任意 x1 D，存在唯一的 x2 D，使得 )( 21 xxf =M，则称函数 f（ x）在 D上的几何平均数为 M. 那么函数 f（ x） =x
5、3-x2+1，在 x 1， 2上的几何平均数 M=_. f(x)=x2-x 三、解答题：本大题共 2小题，共 20 分 . 17. 设函数 f（ x） =lnx-x2+x. （ I）求 f（ x）的单调区间； （ II）求 f（ x）在区间 21 ， e上的最大值 . 18. 已知函数 f（ x） =1 12 2 2? ?x aax，其中 a R. （ I）当 a=1时，求曲线 y=f（ x）在原点处的切线方程； （ II）求 f（ x）的极值 . 卷（ II） 3 一、选择题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分 1. 若 f（ x） =-21 x2+bln（ x+2）在（ -1，
6、+）上是减函数，则实数 b的取值范围是 A. -1， +） B. （ -1， +） C. （ -， -1 D. （ - ,-1） 2. 观察（x1） =-21x，（ x3） =3x2，（ sinx） =cosx，由归纳推理可得：若函数 f（ x）在其定义域上满足 f（ -x） =-f（ x），记 g（ x）为 f（ x）的导函数，则 g（ -x） = A. -f（ x） B. f（ x） C. g（ x） D. -g（ x） 3. 若 i为虚数单位，设复数 z满足 | z |=1，则 |z-1+i|的最大值为 A. 2 -1 B. 2- 2 C. 2 +1 D. 2+ 2 二、填空题：本大题共
7、 3小题，每小题 5分，共 15 分 . 4. 曲线 y=xn在 x=2 处的导数为 12，则正整数 n=_. 5. 设函数 y=-x2+l的切线 l与 x轴， y轴的交点分别为 A， B， O为坐标原点，则 OAB的面积的最小值为 _. 6. 对于函数 f（ x） =4x+x1 -5， f（ x） =|log2 x|-（ 21 ） x， f（ x） =cos（ x+2） -cosx，判断如下两个命题的真假： 命题甲： f（ x）在区间（ 1， 2）上是增函数； 命题乙： f（ x）在区间（ 0， +）上恰有两个零点 x1， x2，且 x1x20） . 若函数 h（ x）在（ 0， +）上恰有
8、 2个零点，求实数 a的取值范围 . 4 参考答案 卷（ I） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C D A D C C 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 11 5 12 121 13 （ 1， 0）或（ -1， -4） 14 1 15 22 112 1 ? kk 16 5 三、解答题：本大题共 2小题，共 20 分 . 17. （本小题满分 8分） 解：（ I）因为 f（ x） =lnx-x2+x其中 x0 所以 f （ x） =x1-2x+1=x xx )12)(1( ?所
9、以 f（ x）的增区间为（ 0， 1），减区间为（ 1， +） . （ II）由（ I） f（ x）在 21 ， 1单调递增，在 1， e上单调递减， f（ x） max=f（ 1） =0 f（ x） max=f（ 1） =a-1 18. （本小题满分 12 分） （ I）解：当 a=1 时， f（ x） =122?x x， f （ x） =-222 )1( )1)(1( ? ?x xx 2分 由 f （ 0） =2，得曲线 y=f（ x）在原点处的切线方程是 2x-y=0. 4分 （ II）解： f （ x） =-21 )1)( 2 ? ?x axax. 6分 当 a=0时， f （ x）
10、=122?x x. 所以 f（ x）在（ 0， +）单调递增，在（ -， 0）单调递减 . 7分 当 a 0， f （ x） =-2a 1 )1)(2 ?x axax . 当 a0时，令 f （ x） =0，得 x1=-a， x2=a1 ， f（ x）与 f （ x）的情况如下 : 5 x （ - ， x1） x1 （ x1,x2） x2 （ x2,+ ） f （ x） - 0 + 0 - f（ x） f（ x1） f（ x2） 故 f（ x）的单调减区间是（ - ， -a） ,（ a1 ,+ ）；单调增区间是（ -a， a1 ） . f（ x）有极小值 f（ -a） =-1，有极大值 f（
11、a1 ） =a2 10 分 当 a0时， f（ x）在（ - ， -a），（ a1 ， + ）单调递减；在（ -a,a1 ）单调递增 . a=0时， f（ x）在（ 0， + ）单调递增，在（ - ， 0）单调递减， f（ x）有极小值 f（ -a） =-1，有极大值 f（ a1 ） =a2； a1或 x0，可知 此时 x=1不是 f（ x）的极值点，故? ?33ba舍去 ? ? 114ba符合题意，故? ? 114ba. （ II）当 a=-1时， f（ x） =x3-x2+bx+l 若 f（ x） 0，得 01， F （ x）为减函数； 而 F （21e） =-2-21e+2=-21e0.
12、 则 F （ x）在（ 0， 1）上有且只有一个零点 x1， 且在（ 0， x1）上 F （ x） 0， F（ x）为增函数 . 所以 x1为极值点，此时 m=0. 又 F （ 3） =ln3-10， F （ 4） =21n2-20， F（ x）为增函数； 在（ x2， 4）上 F （ x） 0，依题意， h（ x） g （ x） 0，不满足条件； （ 2）当 x=e时， g（ e） =0， f（ e） =e3-3ae+e， 若 f（ e） =e3-3ae+e0 ，即 a 312?e ，则 e是 h（ x）的一个零点； 若 f（ e） =e3-3ae+e0，即 a3e2-3a，所以 当 ae
13、2时， f （ x） 0， f（ x）在（ e， + ）上单调递增 . 又 f（ e） =e3-3ae+e，所以 （ i）当 a 312?e 时， f（ e） 0 ， f（ x）在（ e， + ）上无零点； （ ii）当 312?e 0， 所以此时 f（ x）在（ e， + ）上恰有 一个零点； 8 当 ae2时，令 f （ x） =0，得 x= a . 由 f （ x） 0，得 x a ； 所以 f（ x）在（ e， a ）上单调递减，在（ a ， + ）上单调递增 . 因为 f（ e） =e3-3ae+e8a2-6a2+e=2a2+e0， 所以此时 f（ x）在（ e， + ）上恰有一个零点； 综上， a 312?e . 12 分
