1、 - 1 - 福州市八县（市）协作校 2016-2017学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷 【完卷时间： 120分钟；满分： 150分】 一、选择题（每题 5分， 12 题共 60分） 1.已知复数 z 满足 11 iz i? ? (i 为虚数单位 )， 则 |z 等于（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 2 2.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线” .已知直线 /b 平面 ? ，直线 a? 平面 ? ，则直线 /b 直线 a ” 你认为这个 推理（ ） A结论正确 B大前提错误 C小前提错误 D推理形式错误 3.若定义在 R
2、上的函数 ()y f x? 在 2x? 处的切线方程是 1yx? ? ，则 f(2)+f (2)=（ ） A 2? B 1? C 0 D 1 4 函数 21( ) ln2f x x x?的单调递 减 区间为 ( ) A ( ,1)? B (1， ) C (0， 1) D （ 0， ） 5 若 64p a a? ? ? ?， 53q a a? ? ? ?0a?（ ） ， 则 p 、 q 的大小关系是 （ ） A pq? B.pq? C. pq? D.由 a 的取值确定 6 下列计算 错误 的是（ ） A. sin 0xdx? ?B. 1 20 1 4x dx ?C. 1021dx?D. 1122
3、102x dx x dx? ?7 已知函数 32( ) ( 6 ) 3f x x a x a x? ? ? ? ?有两个 极值 点 ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ? ?3,6? B.? ?, 3 (6, )? ? ? ? C.? ?3,6? D.? ? ? ?, 3 6,? ? ? ? 8 利用数学归纳法证明 1n 1n 1 1n 2 ? 12n1(n N*，且 n2) 时，第二步由 k 到 k 1时不等式左端的变化是 ( ) A增加了 12k 1这一项 B增加了 12k 1和 12k 2两项 C增加了 12k 1和 12k 2两项，同时减少了 1k这一项 D以上都不对 9.已知函数
4、 ( )( )y f x x R?的图像如右图所示， 则不等式 1 ( ) 0x f x?（ ） 的解集为（ ） A ? ? 1,0 ( ,1)2? B 1 ,1 (2 )2? ? ，- 2 - C 1, (1 2)2?，D ? ?, 1 (3 )? ? ?， 10.下面给出了四个类比推理： ab， 为实数，若 220,ab?则 0ab?； 类比推出 : 12,zz为复数，若 22120zz?， 则 120zz?. 若数列 na 是等差数列，121nnb a a an? ? ? ?（ ），则数列 nb 也是等差数列 ； 类比 推出： 若数列 nc 是各项都为正数的等比数列 ， 12nnnd c
5、 c c? ， 则数列 nd 也是等比数列 . 若 , , ,abc R? 则 ( ) ( )ab c a bc? ； 类比 推出： 若 abc, 为三个向量，则 (a b c a b c? ? ? ?( ) = ). 若圆的半径为 a ,则圆的面积为 2a? ； 类比 推出： 若椭圆的长半轴长为 a ,短半轴长为 b ,则椭圆的面积为 ab? . 上述四个推理中，结论正确的是（ ） A B C D. 11.设 ?fx是定义在 R 上的奇函数，且 ? ?20f ? ，当 0x? 时，有 ? ? ? ?2 0xf x f xx? ? ?恒成立， 则不等式 ? ? 0xf x ? 的解集是（ ）
6、A. ? ? ? ?2,0 2,? ? B. ? ? ? ?2,0 0,2? C. ? ? ? ?, 2 0,2? ? D. ? ? ? ?, 2 2,? ? ? 12 已知函数 ()gx满足 1( ) ( )g x g x? ，当 x?1,3时， ( ) lng x x? .若函数 ( ) ( )f x g x mx? 在区间 1 ,33 上 有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 （ ） A ln3 1,3e?B 3ln3, )e C 1ln3, )e D 10e（ ， ） 二、填空题（每空 4分，共 20 分） 13.复数 z 满足： (2 i) 3 iz ? ? ? (i 为虚数单
7、位 ) ，则 复数 z 的 共轭复数 z = . 14.由曲线 2 2y x x?与直线 yx? 围成的平面图形的面积为 . 15.观察下列数表： 1 765432112345612 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12y =e xO- 3 - 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ? ? ? 设 2017是该表第 m 行的第 n 个数， 则 m? _， n? _. 16.某同学在研究函数 xye? 在 0x? 处的切线问题中，偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当 xR? 时， 1xex? ，仿照该同学的研究过程，请你研究函数
8、lnyx?的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式： . 三、解答题（ 6题 ,其中第 17题 10分 ,18-22每题 12 分 ,共 70分） 17 （本小题满分 10分） 已知 ,Rm? 复数 2(2 i) (1 i)z m m? ? ? ?(1 2i)? （其中 i 为虚数单位） . （）当实数 m 取何值时，复数 z 是纯虚数 ； （）若 复数 z 在复平面上对应的点 位于第 四 象限 ，求实数 m 的取值范围 . 18 (本小题满分 12分） 已知 函数 223 3)( abxaxxxf ? 。 （ ） 若函数 ()y f x? 在 1?x 时有极值 0， 求 常数 a,b
9、的值； （ ） 若函数 ( ) ( ) sing x f x x? 2在点 (0, (0)g 处的切线 平行于 x轴， 求 实数 b的值。 19（本小题满分 12分） 设函数 () xxf x e e? （ 1）证明： ( ) 2fx? ； （ 2）若对任意 0, )x? ? 都有 21( 2 2)f x x e e? ? ? ?，求 x 的取值范围 . 20. (本小题满分 12分 ) 已知数列 ?na 的前 n 项和 *1 ( )nnS na n? ? ? N - 4 - （ 1）计算 1a ， 2a ， 3a ， 4a ； （ 2）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 21
10、(本小题满分 12分 ) 为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设，试验区某旅游部 门开发了一种旅游纪念产品，每件产品的成本是 12 元，销售价是 16 元，月平均销售 a 件。后该旅游部门通过改进工艺，在保证产品成本不变的基础上，产品的质量和技术含金量提高，于是准备将产品的售价提高。经市场分析，如果产品的销售价提高的百分率为 ()xx?01，那么月平均销售量减少的百分率为 x2 。记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y （元） . （ 1）写出 y 与 x 的函数关系式； （ 2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 . 22 (本小题满分
11、12分 ) 已知函数 ? ? 2( 1)xf x e x ax? ? ?（ aR? ， e =2.718?）， （ I） 当 0a? 时，求函数 ()fx的单调区间； （ II）当 1a? 时，不等式 21( ) ( 1)f x k x e? ? ?对任意 1, )x? ? 恒成立， 求实数 k 的最大值 . - 5 - 福州市八县（市）协作校 2016-2017 学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷 答案及评分标准 一、选择题 （每题 5分， 12 题共 60分） 1-5 BBACA 6-10 CBCBD 11-12 BA 二、填空题 （ 每空 4分，共 20分） 13. 1i? ； 1
12、4. 92 ； 15. m? 10， n? 498； 16. lnxxe?1 ； 三、解答题 （ 6题 ,其中第 17题 10分 ,18-22每题 12 分 ,共 70分） 17 （本小题满分 10分） 解答 : 2 2 2( 2 ) (1 ) (1 2 ) ( 2 1 ) ( 2 )z i m m i i m m m m i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 （）当复数 z 是纯虚数时， 有 mmmm? ? ? ? ? ? ?222 1 020 ? 4分 m? ?12 ? 6分 （）当 复数 z 在复平面上对应的点 位于第 四 象限 时， mmmm? ? ? ? ? ?
13、 ?222 1 020 ? 8分 mmm? ? ? ? ? ? ?11221或 m? ? ?12 2 ? 10 分 18 (本小题满分 12分） 解答： ( )f x x ax b? ? ?236 ? 1分 - 6 - （ ） 依题意得 ( )()f a bf a b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 3 6 01 1 3 0解得 a? 13或 ab? 29? 5分 当 ab? 13时， ( ) ( )f x x x x? ? ? ? ? ?223 6 3 3 1 0， 这时函数 ()fx无极值，与已知矛盾，故舍去； ? 6分 当 ab? 29时， ( ) ( ) ( )
14、f x x x x x? ? ? ? ? ?23 1 2 9 3 1 3， 此时，当 x? ? ?31时， ( )fx?0 ；当 x?1 时， ( )fx?0 故 ()fx在 x?1 处有极值，符合题意 . ? 7分 ? ,ab?29 ? 8分 （ ） ( ) ( ) cosg x f x x?22 ? 9分 由已知得 ( ) ( ) c o sg f b? ? ? ? ?0 0 2 0 2 0 ? 11 分 所以 b?2 ? 12 分 19（本小题满分 12分） 解答： （ 1） ( ) x x x xf x e e e e? ? ? ?22（当且仅当 xxee? 即 x0 时取“ =”）
15、? 4分 ? ( ) 2fx? ? 5分 （ 2）由（ 1）可知，对任意 xR? ，均有 ( ) 2 0fx? 所以 函数 ()y f x? 在 ( , )? 上单调递增 ? 6分 从而 2 1 2( 2 2 ) ( 2 2 ) (1 )f x x e e f x x f? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 xx? ? ? ?2 2 2 1 x? ? ?13 ? 11 分 故 当对任意 0, )x? ? 都有 21( 2 2)f x x e e? ? ? ?时， x 的取值范围是 ,)03 . ? 12分 20. (本小题满分 12分 ) 解答： （ 1）由已知得 当 n?1 时，有 S
16、a a a? ? ? ? ?1 1 1 1 11 2； - 7 - 当 n?2 时，有 S a a a a? ? ? ? ? ?2 2 1 2 2 11 6； 同理可得 ,aa?341112 20? 4分 （ 说明： 1a ， 2a ， 3a ， 4a 一个 1分） （ 2）猜想： ( *)()na n Nnn?1 1? 5分 证明： 当 n?1 时，由（ 1）得 a ?1 112 1 2，等式成立 ? 6分 假设当 ( *)n k k N?时，()na kk? ?1 1成立 ? 7分 则 当 nk?1 时，有 k k ka S S?11 ( ) ( )kkk a ka? ? ? ? ?11 1 1 ()kkka k a ? ? ? 11 ? 9分 kkkaak?1 2()kk k k? ?121( )( ) kk? ? ? ?11 1 1? 10 分 即 当 nk?1 时，等式也成立 ? 11 分 综合可知 ()na nn? ?1 1对一切 *nN? 都成立 ? 12分 21 (本小题满分 12分 ) 解答： （ 1）依题意得 ( ) ( ) ( ) ( )y x a x a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 21 6 1 1 2 1 4 4 4 1 0 1 ? 4分 （没写定义域扣 1 分，
