1、 1 2016 2017学年高二下期中考理科 B 数学 满分： 150分 考试时间： 120分钟 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。每小题 有且 只有一项是符合题目要求的） 1 为了解 1200名学生对学校 某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔 k 为 （ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 2.已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N ? ， (0 4) 0.8Px? ? ? ，则 ( 4)Px? 的值 等于（ ） A 0.5 B 0.4 C 0.2 D 0.1 3.执行右边的程序框图，输出的
2、 T的值是（ ） A 47 B 48 C 49 D 50 4.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立 的两个 事件是（ ） A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球 ”与“ 至少有一个红球” C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D“至少有一个黑球”与“都是红球” 5 三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为 21 、 31 、 41 ，则 这 三位同学能够将此题解答出的概率为（ ）。 A 0.25 B 0.5 C 0.6 D 0.75 6 袋中共有 6个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、 2个白球 和 3个黑球 从袋中任取两球，其中两球为 不
3、同色 概率等于 ( ) A. 1115B. 25C. 1130D. 4157. 投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试 己知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A 0.648 B 0.432 C 0.36 D 0.312 8.某射手有 4发子弹，射击一次命中目标的概率为 9.0 ，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，用 ? 表示用的子弹数，则 )4( ?P 等于（ ） A 0.0009 B 0.009 C 0.001 D 0.00012 9.已知点 P是边长为 4的正方形内任一点，则 P到四个顶点的距离均 大于 2
4、的概率 是 （ ） A.34? B. 14 C. 44? D. 18 10 笼内关有 6只果蝇，不慎混入 2只苍蝇，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只 一只 飞出去，直到 2只苍蝇都飞出笼子时，笼内还有 3只果蝇的概率等于（ ） 27256A 17B 514C 2764D 11 通过 随机 询问 110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?计算出 2K 2()PK k? 0
5、050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 并参照附表，得到的正确结论是（ ） A有 99%以上的 把握认为 “ 爱好该项运动与性别 无 关 ” B有 99%以上的把握认为 “ 爱好该项运动与性别 有 关 ” C在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” D在犯错误的概率不超过 0 1%的前提 下，认为 “ 爱好该项运动与性别无关 ” 12为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5户家庭， 得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程 ?y bx a? ，其中 0.76b? ，据此估计，该社区一户 收入 x
6、 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 3 0 .0 31000 .0 2 50 .0 1 50 .0 10 .0 0 5908070605040分数频率组距收入为 15万元家庭年支出为（ ） A 11.4万元 B 11.8万元 C 12.0万元 D 12.2万元 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.在 5(2 1)x? 的展开式中， 第四项的 系数为 . 14.高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙 相邻的概率为 . 15.已知 X 是离散型随机变量
7、， 2( 1) 3PX?， 1()3P X a?且 4()3EX? ，则 (2 1)DX? 等于 . 16.一盒中有 12个乒乓球，其中 9个新的， 3个旧的（至少使用过一次）， 从盒中任 取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其分布列为 )(XP ，则 )4( ?XP = . 三、解答题： （本 大题共 5小题，共 70 分） 17. （本题 12分） 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60 名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段 ? ?50,40 ，? ?60,50 ? ? ?100,90 后画出如下频率分布直方图 .观察图形的信息，回答下列问题：
8、（ 1）估计这次考试的众数 m与中位数 n（结果保留一位小数）； （ 2）估计这次考试的及格率和平均分 . （ 60分及以上为及格） 18. （本题 14分） 已知 a为实数， 函数 32( ) 4 4f x x ax x a? ? ? ?满足 0)1( ?f （ 1） 求 a的值 4 （ 2） 求 )(xf 的单调区间和极值 ； （ 3） 若方程 mxf ?)( 只有一个实数 根，求实数 m 的取值范围； 19. （本题 14 分） 2015 年 7 月 31 日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举
9、行了一次奥运会知识竞赛，随机抽取 20 名学生的成绩（满分为 100分）如下： 男生： 93 91 90 86 83 80 76 69 67 65 女生： 96 87 85 83 79 78 77 74 73 68 （ 1）根据两组数据作出男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值大小及分散程度； （ 2）从成绩 80 分以上（含 80分）的学生中抽取 4人，要求 4人中必须既有男生又有女生，用 X表示所选 4人中男生与女生人数的差，求 X的数学期望。 20. （本题 15分） 某程序每运行一次都随机 产生 一个五位的二进制数1 2 3 4 5A a a a a a?其中 A 的各位数字
10、中， 1 1a? ， 且 ( 2,3,4,5)kak? 为 0和 1的概率分别 是 14 和 34 记 1 2 3 4 5a a a a a? ? ? ? ? ?，当程序运行一次时 , （ 1）求 ? 的分布列； （ 2）求 ? 的数学期望和 方差 5 21. （本题 15分）( ) ( 3 ) 2 2 l n ( )f x a x a x a R? ? ? ? ? ?已 知 函 数 （ 1）若3a?，试讨论 函数()fx的单调 性 ； （ 2）若函数f x x?在1(0, )2上恒成立，求实数a的取值范围 6 高二下 3 月份月考理科 B 数学答案 一、选择题 1-5： A D B D D
11、6-10： A A C C B 11-12： B B 二、填空题 13、 40? 14、 14 15、 89 16、 22027 三、解答题 17.解： (1)众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为 m 75分； 前三个小矩形面积为 0 . 0 1 1 0 0 . 0 1 5 1 0 0 . 0 1 5 1 0 0 . 4? ? ? ? ? ?， 中位 数要平分直方图的面积， 0 .5 0 .47 0 7 3 .30 .0 3n ? ? ? (2)依题意， 60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 ( 0 . 0 1 5 0 . 0 3 0 . 0 2 5 0 . 0 0 5 )
12、 1 0 0 . 7 5? ? ? ? ? 所以，抽样学生成绩的合格率是 75 % 利用组中值估算抽样学生的平均分 1 2 3 4 5 64 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 5 0 . 1 5 5 0 . 1 5 6 5 0 . 1 5 7 5 0 . 3 8 5 0 . 2 5 9 5 0 . 0 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 71 估计这次考试的平均分是 71 分 18. 解： (1)由原式得 ,44)( 23 axaxxxf ? .423)( 2 ? axxxf 由 0)1( ?f 得 21?
13、a , (2) 3 2 21( ) 4 2 , ( ) 3 42f x x x x f x x x? ? ? ? ? ? ?. 由 ( ) 0fx? ? 得 34?x 或 x=-1 , x ( , 1)? 1? 4( 1, )3? 43 4( , )3? )(xf? 0 0 )(xf 递增 极大 递减 极小 递增 44( ) ( , 1 ) ( , ) ( 1 , )33fx? ? ? ? ? ? ?函 数 的 单 调 增 区 间 ， 减 区 间 9 4 5 0( ) ( 1 ) ( )2 3 2 7f x f f? ? ? ?函 数 的 极 大 值 ， 极 小 值 (3) 方程 mxf ?)
14、( 只有一个实数根 7 函数 ()y f x? 的图像与 my? 的图像只有一个交点 故实数 m 的取值范围为 50 927 2mm? ? ?或 . 19.解： (1)茎叶图如图所示 . 男生的平均成绩为 1 ( 3 9 0 3 8 0 7 0 3 6 0 1 3 3 6 6 5 7 9 ) 8 010x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 女生的平均成绩为 1 ( 9 0 3 8 0 5 7 0 6 0 6 7 5 3 9 8 7 4 3 8 ) 8 010y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以男、女生的平均成绩一样 .
15、由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中 . (2)成绩在 80分 以上（包括 80分）的学生共有 10人，其中男生 6人，女生 4人， X的所有可能取值为 2， 0， 2， 13641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 4 12( 2 ) 97CCPX C C C C C C? ? ? ?， 22641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 4 45( 0 ) 97CCPX C C C C C C? ? ?， 31641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 4 40( 2 ) 97CCPX C C C C C C? ? ?， 所以 1 2 4 5 4 0 5 6( )
16、2 0 29 7 9 7 9 7 9 7EX ? ? ? ? ? ? ? ?. 20. 解： (1)? 的取值可以是 1， 2， 3， 4， 5， 044 11( 1) ( )4 2 5 6PC? ? ? ?， 134 3 1 1 2( 2 ) ( )( )4 4 2 5 6PC? ? ? ?， 2224 3 1 5 4( 3 ) ( ) ( )4 4 2 5 6PC? ? ? ?， 334 3 1 1 0 8( 4 ) ( ) ( )4 4 2 5 6PC? ? ? ?， 444 3 8 1( 5 ) ( )4 2 5 6PC? ? ? ?， ? 的分布列是 ? 1 2 3 4 5 P 12
17、56 12256 54256 108256 81256 (2) 1 1 2 5 4 1 0 8 8 11 2 3 4 5 42 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 21 1 2 5 4 1 0 8 8 1 31 4 2 4 3 4 4 4 5 42 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 4D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21解：（ ）2( ) 3 ) ( 0)f x a xx? ? ? ? ?（， 当3a?时，由( ) 0,fx? ?得2 ,3x a?8 由( ) 0,fx? ?得20,3x a?()的 单调 递增区间是2( , )3 a ?， 单调 递减区间是2(0, )3 a?. 当a?时，( )?在(0, )?上恒成立， 此时 的 单调 递增区间是 ， 综上，当3时， 的 单调 递增区间是( , )； 当a?时，()fx的 单调 递增区间是2 , )a ?， 单调 递减区间是2, )3?. （） 由题意得( 2 )( 1) 2 ln 0a x
