1、 1 福建省泉州市泉港区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题（每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1在复平面内，复数 (2 )ii? 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2在 nxx )3( ? 的展开式中，各项系数之和为 A ,各项二项式系数之和为 B ,且 72?BA,则展开式中常数项的值为 （ ） A、 6 B、 9 C、 12 D、 18 3 我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在 6,5,4,3,2,1 中选一个数，甲选的数记
2、为 a ，乙选的数记为 b ，若 1| ?ba ，则称甲乙两人“心有灵犀”，由此可得甲乙两人 “心有灵犀”的概率是（ ） A. 91 B. 92 C. 31 D. 94 4收集一只棉铃虫的产卵数 y与温度 x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合 y与 x之间的关系，算出了对应的相关指数 R2的值如下表： 则这组数据的回归方程的最佳选择应是 A. 7.4638.19? ? xy B. 84.327.0? ? xey C. 202367.0? 2 ? xy D. 1)78.0(? 2 ? xy 5已知随机变量服从正态分布 2(1, )N ? 若 4.0)10( ?P ，则 ?
3、)2(?P （ ） A 0.4 B 0.3 C 0.2 D 0.1 6 nx)31( ? （ 其中 n N且 n 6）的展开式中 5x 与 6x 的系数相等，则 n=（ ） A 7 B 8 C 9 D 11 7设随机变量 X 的概率分布列如右表，则 (| 3| 1)PX? ? ? （ ） A.712B.512C.14D.16拟合曲线 直 线 指数曲线 抛物线 二次曲线 回归方程 7.4638.19? ? xy 84.327.0? ? xey 202367.0? 2 ? xy 1)78.0(? 2 ? xy 相关指数 R2 0.746 0.996 0.902 0.002 X 1 2 3 4 P
4、31 m 41 61 2 8考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） A.175B. 275C.375D.4759反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于 60，反设 正确的是（ ） A.假设三内角都不大于 60 B.假设三内角都小于 60 C.假设三内角至多有一个大于 60 D.假设三内角至多有两个小于 60 10某单位拟安排 6 位员工在今年 5 月 28 日至 30 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1天 . 若 6位员工中的甲不值 28日，乙不值 30日
5、，则不同的安排方法共有 ( ) A.30种 B.36 种 C.42种 D.48种 11 将数字“ 123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ） A 72 B 120 C 192 D 240 12在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹 ），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 0 9， 0 9， 0 8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ） A 0 998 B 0 046 C 0 002 D 0 954 二、填空题（每小题 5分，共 20 分。答案请写在答题卡上） 13 复数 1i2ia? （ ,iaR? 为虚
6、数单位）为纯虚数 ,则复数 iza? 的模为 . 14在 ? ? ?52 1 1xx?的展开式中含 3x 项的系数是 _（用数字作答） 15 如图所示，在边长为 1的正方形 OABC 内任取一点 P ，用 A 表示事件“点P 恰好取自由曲线 yx? 与直线 1x? 及 x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内”，则 ( | )PBA =_ 16 有 6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测： 4号或 5号选手得第一名；学生乙猜测： 3号选手不可能得第一名；学生丙猜测： 1,2,6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测： 4,5,6号选手都不可能获得第一名。 比赛后发现没
7、有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有 1人猜对，则获得第一名的选手号数是 _ 三、解答题（ 6 大题，共 70 分。解答时应按要求写出证明过程或演算步骤） 17（本题 10分） .已知盒子中有 4个红球， 2个白球，从中一次抓三个球， 3 （ 1）求没有抓到白球的概率； （ 2）记抓到球中的红球数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 18（本题 12分）如图，四棱锥的底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 底面 ABCD ， DCPD? ， E 是 PC 的中点 (1)证明： PA 平面 BDE ； (2)求二面角 CDEB ? 的余弦值 19（本题 12分） 某单位共有 10 名员工，
8、他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元） 4 4.5 6 5 6.5 7.5 8 8.5 9 51 （ 1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； （ 2）从该单位中任取 2人，其中年薪收入高于 7万的人数记为 ? ，求 ? 的分布 列和期望； （ 3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 4万元，5.5万元， 6万元， 8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程 ? ?y bx a?中系数计算公式分别为： ? ? ? ? ?1217 1 .45? n iiiniix x y ybxx?
9、? ? ? ? ， ?a y bx? ，其中 ,xy为样本均值 . 20（本题 12 分） 2016世界特色魅力城市 200 强新鲜出炉，包括泉州市在内的 28 个中国城市入选 。美丽的泉州风景和人文景观迎来众多宾客 。 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在泉州旅游节期间，随机抽取了 100人，得如下所示的列联表： 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 女性 10 合计 100 （ 1）若在 100这人中，按性别分层抽取一个容量为 20 的样本，女性应抽 11人，请将上面的列联表4 补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能
10、否在犯错误的概率不超过0.05 前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？ （ 2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取 3 人赠送精美纪念品，记这 3 人中赞成“自助游”人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 附 : ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b a d a c b d? ? ? ? ?21（本题 12分）已知函数 21( ) ln ( 0 ).2f x x a x a? ? ? （）若 2,a? 求 ()fx在 (1, (1)f 处的切线方程； （）求 ()fx在区间 1,e 上的最小值； （ ）若 ()fx在区间 (1,e) 上恰有
11、两个零点，求 a 的取值范围 22（本题 12 分）巳知椭圆 22: 1( 0 )xyM a bab? ? ? ?的长轴长为 42，且与椭圆 22124?xy 有相同的离心率 . ( )求椭圆 M 的方程； ( )是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A 、 B ， 且 OA OB? ？若存在，写出该圆的方程，并求 |AB 的取值范围，若不存在，说明理由 . 2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案 一、选择题（共 12题，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ? ?2P K k? 0.100 0.050 0.0
12、10 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 5 答案 A B D B D A B D B C B D 二、填空题（共 4题，共 20分） 13 5 14 -10 15 1416 3 三、解答题（共 6题，共 70分） 17【解析】 （ 1）没有抓到白球，即取到的全是红球，没有抓到白球的概率是 304236CC 1C5?；? 3分 （ 2） X的所有可能取值为 1， 2， 3? 4分 ? ? 124236CC 1P X 1 ,C5? ? ? ? 214236CCP X 2 C? = 35 ， ? ? 304236CC 1P X 3 C5? ? ?， ? 7分 X的分布
13、列为 ? 8分 X 1 2 3 P 15 35 15 8()5EX? 。 ? 10 分 18【解析】 (1)连接 AC交 BD于点 O，连接 OE； 在 CPA中， E， O分别是边 CP， CA的中点， OE PA， 而 OE?平面 BDE， PA?平面 BDE， PA平面 BDE. ? 4分 (2)如图建立空间直角坐标系，设 PD DC 2. 则 A(2,0,0)， P(0,0,2)， E(0,1,1)， B(2,2,0), DE (0,1,1)， DB (2,2,0)， ? 5分 设 n (x， y， z)是平面 BDE 的一个法向量， 则由 00n DEn DB? ? 得 02 2 0
14、yzxy? ， 取 y 1，得 n (1， 1,1)， 又 DA (2,0,0)是 平面 DEC的一个法向量 ? 9分 6 cos n， DA nDAn DA? 23332? .? 11分 故结合图形知二面角 B-DE-C的余弦值为 33 ? 12分 19【解析】 （ 1）平均值为 11万元，中位数为 7万元 . ? 2分 （ 2）年薪高于 7万的有 5人，低于或等于 7万的有 5 人； ? 取值为 0， 1， 2. ? ? 25210 20 9CP C? ? ? ?， ? ? 1155210 51 9CCP C? ? ? ?， ? ? 25210 22 9CP C? ? ? ?， ? 6 分
15、 ? 的分布列为 ? 1 1 2 P 29 59 29 数学期望为 2 5 20 1 2 19 9 9E ? ? ? ? ? ? ? ?.? 8分 （ 3）设 ? ?, 1,2,3,4iix y i ? 分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5, 6xy?， ? ? ? ? ?1217 1 .45? n iiiniix x y ybxx? ? ? ? ?6 1 .4 2 .5? 2 .5?a y b x? ? ? ? ? ?， 得线性回归方程： 1.4 2.5yx?.? 11分 可预测该员工第 5年的年薪收入为 9.5万元 . ? 12分 20【解析】 (1) 赞成“自助游” 不赞成“自助游”
16、合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 将 22? 列联表中的数据代入计算，得 2K 的观测值： ? ? 21 0 0 3 0 1 0 4 5 1 5 100 3 . 0 3 0 , 3 . 0 3 0 3 . 8 4 14 5 5 5 7 5 2 5 3 3K ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 7 ?在犯错误概率不超过 0.05 前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系 .? 6分 (2) X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 依题意 ? ? ? ?i 3 ii33 3 13 , , i ? , i 0 , 1 , 2 , 34 4 4X B P X C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， X 的分布列为： X 0 1 2 3 ? ?PX 164 964 2764 2764 ? ? 94E X np?. ? ? 12 分
