1、 - 1 - 福建省师大附中 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理（实验班） 一、选择题（每小题 5分，共 65分；在给出的 A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知圆的参数方程 2cos2sinxy ? ?（ ? 为参数） ,以坐标原点为极点， x 轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 3 c o s 4 s in 9 0? ? ? ? ? ?，则直线与圆的位置关系是（ ） A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但直线不过圆心 2.已知 )(xf 的导函数 ()fx? 的图象如右图所示，那么函数 )(xf 的图象最有可能的是 ( ) 3 从一楼到二楼的楼梯共
2、有 n级台阶，每步只能跨上 1级或 2级， 走完这 n级台阶共有 ()fn种走法，则下面的猜想正确的是 （ ） A. ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3f n f n f n n? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ?2 1 2f n f n n? ? ? C. ? ? ? ? ? ?2 1 1 2f n f n n? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3f n f n f n n? ? ? ? 4 已知 ,15441544,833833,322322 ? ? Rtatata ,88， 则 ?ta （ ） A、 70 B、 68 C、 69 D、 71 5.
3、 若以直角坐标系的原点为极点， x轴的非负半轴 为极轴建立 极坐标系， 则线段 y 1 x(0 x1) 的极坐标方程为 ( ) A cos sin ， 0 2? B 1cos +sin ? ? ， 0 4? C 1cos +sin ? ? ， 0 2? D cos sin ， 0 4? 6 已知函数 ? ?y f x? 的图象在区间 ? ?,ab 上是连续不断的，如果存在 ? ?0 ,x ab? ，使得y x O 1 2 -2 A y x O 1 2 -2 B y x O 1 2 -2 C y x O 1 2 -2 D y x O 1 2 -1 ()fx? - 2 - ? ? ? ? 00 b
4、 xa f x dxf x eba? ? 成立，则称 0x 为函数 ?fx在 ? ?,ab 上的 “ 好点 ” ，那么函数? ? 2 2f x x x?在 ? ?1,1? 上的 “ 好点 ” 的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.直线 l过抛物线 C： x2 4y的焦点且与 y轴垂直，则 l与 C所围成的图形的面积等于 ( ) A 43 B 2 C 83 D 1623 8 已知当 ? ?1,x? ? 时，关于 x 的方程 ? ?ln 2 1x x k xk? ?有唯一实数解， 则 k 值所在的范围是（ ） A. ? ?3,4 B. ? ?4,5 C. ? ?5,6 D.
5、? ?6,7 9.若 210( ) + 2 ( )df x x f x x? ? ，则 10 ( )df x x? ( ) A 1 B 13 C 13? D 1 10. 已知函数 f（ x）是定义在 R上的可导函数，其导函数记为 f（ x），若对于任意实数 x， 有 f（ x） f（ x），且 y=f(x)-1为奇函数，则不等式 f（ x） ex的解集为（ ） A（， 0） B（ 0， +） C（ ， e4） D（ e4， +） 11 已知函数 )(xg 满足 )1()( xgxg ? ，当 3,1?x 时， xxg ln)( ? ，若函数 mxxgxf ? )()(在区间 3,31 上有三个
6、不同零点，则实数 m的取值范围 是（ ） A )1,33ln e B )3,33ln e C )1,3ln e D )3,0( e 12.如图的倒三角形数阵满足：（ 1）第 1行的 n个数分别是： 1,3,5，?， 2n-1；（ 2）从第 2行起，各行中的每一个数都 等于它肩上的两数之和；（ 3）数阵共有 n行（如：第 3行的 第 4个数为 36） .问：当 n=2018时，第 34 行的第 17 个数是（ ） A. 2018233 33? B. 392 C. 34233? D. 382 13 方程 ? ? ? ? ? ?22 2 22 e 1 2 4 0 ( )xxx x t x x e t
7、 R? ? ? ? ? ? ?g的不等实根的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或 5 二、 填空题（每小题 5分，共 25分） 1 3 5 7 9 11 ? 4 8 12 16 20 ? 12 20 28 36 ? ? ? ? . - 3 - 14. ? dxxx )19( 333 2_. 15. 已知函数 mexxxf x ? )22()( 2 有三个不同的零点，则 m的取值范 围为 . 16. 射线 3? （ 0? ）与曲线 ? sin2:1 ?C 的异于极点的交点为 A， 与曲线 2C : ?22 cos1 2?的交点为 B， 则 |AB|= 17. 太极图是由黑白两个
8、鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种相互转化， 相对统一的和谐美，定义：能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 O 的一个 “ 太极函数 ” ，则下列有关说法中： 对于圆 22:1O x y?的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； 函数 ? ? sin 1f x x?是圆 ? ?22: 1 1O x y? ? ?的一个太极函数； 存在圆 O ，使得 ? ? 11xxefx e ? ?是圆 O 的一个太极函数； 直线 ? ? ? ?1 2 1 1 0m x m y? ? ? ? ?所 对 应 的 函 数 一 定 是 圆? ? ? ? ? ?2 22: 2
9、1 0O x y R R? ? ? ? ?的太极函数； 若函数 ? ? ? ?3f x kx kx k R? ? ?是圆 22:1O x y?的太极函数，则 ? ?2,2 .k? 所有正确的是 _ 18. 已 知 函 数 )0(ln)( ? axaxxf ，若 )(1,21(,2121 xxxx ?，|11|)()(| 2121 xxxfxf ? ， 则正数 a 的取值范围为 . 三、解答题（要求写出过程，共 60分） 19. (本小题满分 12分 ) 已知过点 ? ?0, 1P ? 的直线 l 的参数方程为12312xtyt? ? ? ?（ t 为参数），在以坐标原点 O 为极 点， x 轴
10、正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C 的方程为 ? ?22 s i n c o s 0 0aa? ? ? ? ?. - 4 - （） 求曲线 C 的直角坐标方程； （） 若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M ， N ，且 PM ， MN ， PN 成等比数列，求 a 的值 . 20. (本小题满分 12分 ) 为了提高经济效益，某食品厂进行杏仁的深加工，每公斤杏仁的成本 20元，并且每公斤杏仁的加工费为 t 元（ t 为常数，且 25t? ，设该食品厂每公斤杏仁的出厂 价为 x 元（ 25 40x? ），销售量 q ，且 ( 0, )xkq k k Re? ? ?（ e 为自然对数的底）。根
11、据市场 调查，当每 公斤杏仁的出厂价为 30元时，日销售量为 100公斤 . （）求该工厂的每日利润 y 元与每公斤杏仁的出厂价 x 元的函数关 系式； （）若 5?t ，当每公斤杏仁的出厂价 x 为多少元时，该工厂的利润 y 最大，并求最大值 21.(本小题满分 12分 ) 已知数列 ?na 的前 n 项和 11 22nnnSa? ? ? ?，（ n 为正整数） . （） 求 1 2 3 4, , ,a a a a ，并猜想数列 ?na 的通项公式 (不必证明 )； （） 试比较 nS 与 ? ?1231 nn? 的大小，并予以证明 . 22. (本小题满分 12分 ) 已知 函数 1ln)
12、( ? xaxxf ， 曲线 )(xfy? 在 )0,1( 处的切线经过点 )0,(e . （）证明： 0)( ?xf ； （）若当 ),1 ?x 时， )(1 xfxex ? 恒成立 ，求 ? 的取值范围 . 23. (本小题满分 12分 ) 已知函数 ? ? ? ?21l n 22f x x x k x k R? ? ? ?. （） 讨论 ?fx的单调性； （） 若 ?fx有两个极值点 12,xx，且 12xx? ，证明： ? ?2 32fx?. - 5 - 参考答案 一、 1.D 2.A 3.A 4.D 5. C 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B 11. A 12.C 13.B
13、二、 14. 29? ； 15.(0,6e-2)； 16.51023?； 17、 245 ； 18. ),23 ? 19 解： （） 22 s in c o s 0a ? ? ?， 222 s in c o s 0a ? ? ? ? ，即 ? ?2 20x ay a?. （） 将12312xtyt? ? ? ?代入 2 2x ay? ，得 2 4 3 8 0t at a? ? ?，得? ? 212124 3 4 8 0 ,4 3 ,8.aat t at t a? ? ? ? ? ? ? ?. 0a? ， 解 得 23a? . PM ， MN ， PN 成等比数列， 2M N PM PN? ，即
14、 21 2 1 2t t tt?， ? ?21 2 1 2 1 24t t t t t t? ? ? ，即 ? ?24 3 40 0aa?，解得 0a? 或 56a? . 23a? ， 56a? . 20、 解： 解：（）设由已知得 3030 1 0 0 , 1 0 0k kee ? ? ? 2分 ?日销量 30100xeq e? ? 3分 301 0 0 ( 2 0 ) ( 2 5 4 0 )xe x tyxe ? ? ? ? ? ? 6分 （）当 5?t 时，xe xey )25(10030 ? ? 7分 30100 (26 )xexy e ? 8分 0 26yx?由 得 ， 0y?由 得
15、 x 26 ? ? ? ?2 5 2 6 2 6y? 在 ， 上 单 调 递 增 ， 在 ， 40 上 单 调 递 减 . ? 10分 - 6 - 4m a x 100,26 eyx ? 时当 ? 11分 当每公斤杏仁的出厂价为 26元时，该工厂的利润最大，最大值为 4100e 元 ? 12分 21. 22.解： （ 1）曲线 )(xfy? 在 )0,1( 处的切线为 )1)(1( ? xfy ，即 )1)(1( ? xay 由题意得 )1)(1(0 ? ea ，解得 1?a 所以 1ln)( ? xxxf 从而 xxxxf 111)( ? 因为当 )1,0(?x 时， 0)( ?xf ，当
16、),1( ?x 时， 0)( ?xf . 所以 )(xf 在区间 )1,0( 上是减函数，区间 ),1(? 上是增函数， 从而 0)1()( ? fxf . - 7 - （ 2） 23、试题解析：（ 1） ? ? 21ln 22f x x x kx? ? ?， ? ?0,? ? 所以 ? ? 21 2 12 x k xf x x kxx? ? ? ? （ 1）当 0k?时， ? ?0fx?，所以 ?fx在 ? ?0,?上单调递增 （ 2）当 0k?时，令 ? ? 2 21t x x kx? ? ?， 当 24 4 0k? ? ?即 01k?时， ? ? 0tx?恒成立，即 ? ?0fx?恒成立
17、 所以 ?fx在 ? ?0,?上单调递增 当 24 4 0k? ? ?，即 1k?时， 2 2 1 0x kx? ? ?，两根 21,2 1x k k? ? ? 所以 ? ?20, 1x k k? ? ?， ? ?0fx? ? ?221 , 1x k k k k? ? ? ? ?， ? ?fx? ? ?2 1,x k k? ? ? ?, ? ?0fx? - 8 - 故当 ? ?,1k?时， ?fx在 ? ?0,?上单调递增 当 ? ?1,k? ?时， ?在 ? ?20, 1kk?和 ? ?2 1,kk? ? ?上单调递增 ?fx在 ? ?221 , 1k k k k? ? ? ?上单调 递减 . （ 2） ? ? 21ln 2 ( 0 )2f x x x kx x? ? ? ? ? ? 12f x x kx? ? ? 由（ 1）知 1k?时， ?fx ?0,?上单调递增，此时 ?fx无极值 当 1k?时， ? ? 21 2 12 x k xf x x kxx? ? ? ? 由 ? ?0fx?得 2 2 1 0x kx? ? ? 24 4 0k? ? ?，设两根 12,xx
