1、 - 1 - 福建省长乐高级中学 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 命题内容： 选修 2-2 、 选修 2-3第一章 班级 姓名 座号 成绩 说明： 1、本试卷分第 I、 II 两卷，考试时间： 120分钟 满分： 150分 2、 卷 的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上； 卷 的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题 （ 本题包括 12小题，每小题 5分，每小题只有一个答案符合题意 ） 1如果复数 212aii? 的实部和虚部互为相 反数，那么实数 a 等于 ( ) A 2 B 2 C 23 D 23 2已知 bn为等比数列， b5 2，则 b
2、1b2b3 b9 29若 an为等差数列， a5 2，则 an的类似结论为 ( ) A a1a2a3 a9 29 B a1 a2 a9 29 C a1a2 a9 29 D a1 a2 a9 29 3 已知 c 1， a c 1 c， b c c 1，则正确的结论是 ( ) A a b B a b C a b D a、 b大小不定 4. 在 100件产品中，有 98 件合格品， 2件次品，从这 100件产品中任意抽出 3件，抽出的 3件中至少有 1 件是次品的抽法有（ ）种 A. 1982219812 CCCC ? B. 3983100 CC ? C. 310029812 CCC ? D. 29
3、83100 CC ? 5 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?有有理根，那么 a b c， ， 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） 假设 a b c， ， 都是偶 数 假设 a b c， ， 都不是偶数 假设 a b c， ， 至多有一个是偶数 假设 a b c， ， 至多有两个是偶数 6.函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ，导函数 )(xf? 在 ),( ba 内的 图象如图所示，则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内极值点有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 已知 32( ) 2 6f x
4、x x m? ? ? ?（ m 为常数）在 ?2 2，上有最小值 3 ，那么 此函数在 2 2，上的最大值为 （ ） A 5 B 11 C 29 D 43 8、对于 R上可导的任意函数 f（ x），且 0)1( ?f ，若满足（ x 1） )(xf? 0，则必有 （ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） D. f（ 0） f（ 2） ? 2f（ 1） - 2 - 9. 设函数 ()fx是 R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线 ()y f x? 在 5x? 处的切线的斜率（ ） 15? 0 15 5 10. 给出以下命题： 若 ( ) 0ba f x dx?，则 f(x)0； 20 s
5、in 4xdx ? ?; f(x)的原函数为 F(x)，且 F(x)是以 T 为周期的函数，则0 ( ) ( )a a TTf x dx f x dx?；其中正确命题的个 数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11. 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( ) A.540 B.300 C.180 D.150 12. 已 知 函 数 的导函数为 ，且 ，如果,则实数 a的取值范围是 （ ） A. (0,1) B. C. D. 第 II卷（非选择题 共 90 分 ） 二、填空题 （ 本题包括 4小题，每小题 5分， 共计
6、20分） 13. 已知 3 -210 10C =Cxx ，则 x? _ 14若 i为虚数单位，图中复平面内点 Z表示复数 z， 则表示复数 z1 i的点是 _点。 15.设 a 0，若曲线 y x与直线 x a， y 0所围成封 闭图形的面积为 a2，则 a _. 16若函数 f(x) 4xx2 1在区间 (m,2m 1)上单调递增，则实数 m的 取值范围是 _ 三 、 解答 题 （ 10+12+12+12+12+12=70分） 17 (10分 )设复数 z=a+i（ i是虚数单位， aR ， a 0），且 |z|= （ 1）求复数 z； （ 2）在复平面内，若复数 1miz i? ? （ m
7、R ）对应的点在第四象限， 求实数 m 取值范围 (第 14 题图 ) - 3 - 18（ 12 分）用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的数 求：（ 1）可以组成多少个六位数？ （ 2）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？ （ 3）可以组成能被 3整除的三位数多少个 ? 19（ 12 分 ）已知二次函数 2( ) 3f x ax bx? ? ?在 1x? 处取得极值，且在 (0, 3)? 点处的切线与直线 20xy?平行 (1）求 ()fx的解析式； (2）求函数 ( ) ( ) 4g x xf x x?的单调递增区间及极值。 20、 （ 12分） 是否存在常数 b
8、a, ，使等式2)12)(12(53 231 1 2222 ? bn nannn n?对于一切 *Nn? 都成立？若存在，用数学归纳法证明之，若不存在，请说明理由。 21（ 12 分）某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x （单位：元， 0 x30 ）的平方成正比。已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件。 （ 1）将一个星期的商品销售利润 表示成 x 的函数； （ 2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 22. （ 12分） 已知函数 xaxxf 2)( ? ， xxxg ln
9、)( ? ，其中 0?a 。 - 4 - （ 1）若 1?x 是函数 )()()( xgxfxh ? 的极值点，求实数 a 的值。 （ 2）若对任意的 1x ， ? ?ex ,12? （ e 为自然对数的底数）都有 )()( 21 xgxf ? 成立，求实数 a 的取值范围。 参考答案 一、 DDAB BCDC BBDB 二、 13.1或 3 14.H 15.49 16. ( 1,0 三、 17.解：（ ） z=a+i ， |z|= ， |z|= = ， 即 a2=9，解得 a=3 ，又 a 0， a=3 ， z=3+i （ 2） z=3+i ，则 =3-i， + =3-i+ = + i， 又
10、 复数 + （ mR ）对应的点在第四象限， 得 5 m 1. 18. 解：（ 1）先考虑首位，其他任排： 60012055515 ? AA（个） 故 可以组成的六位数 600个 4 分 （ 2）由 0、 1、 2、 3、 4、 5可组成三位数： 先考虑首位，其他任排： 100455 ? 个； 其中不含偶数数字的三位数为 1、 3、 5任排，有： 633 ?A 个 所以 至少有一个偶数数字的三位数有 946100 ? 个 8 分 （ 3）能被 3整除的三位数，即各位数字之和被 3整除； 可以是包含 0的有 12， 15， 24， 45 9 分 不包含 0 的有 123， 135， 234， 3
11、45 10 分 所以 可以组成能被 3整除的三位数有： 40644444 332212 ? AAA 个 12 分 19.【解答】 (1)由 ,可得 . - 5 - 由题设可得 即 2 分 解得 , .所以 . 4 分 (2)由题意得 , 所以 .令 ,得 , . 8分 递增 4/27 递减 0 递增 10分 所以函数 的单调递增区间为 , .在 有极小值为 0。 在 有极大值 4/27。 1 2分 20、解：假设存在满足条件的 a、 b，则 当 n=1时， 1 a+1=3 b+2 当 n=2时， 1 4 4 a+ 2 2 a+ 1+ = =3 1 5 2 b + 2 b +1 ? =1=4ab
12、 证明： 当 n=1时，等式显然成立 假设当 n=k时，等式成立，即 2212+1 3 3 5?+ 22k k + k=(2 k -1 )(2 k + 1 ) 4 k + 2。 当 n=k+1时 2212+1 3 3 5?+ 22k ( k + 1 )+( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )= 2k+k+4k+ 2(k+1)(2k+1)( k+3)= 2k + 1 2 k + 5 k + 22 2 k + 1 2 k + 3（ ） （ ）（ ） （ ）= 2k + 1 k + 2 k + 1 + k + 1=2 2 k + 3 4 k +
13、 1 + 2（ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） - 6 - 由 知对任意 n?N* ，等式 都成立 21. 解：（ 1）记一星期多卖商品 2kx 件，又由条件可知 224 2k? 解得 6k? 。 2 分 若记商品在一个星期的获利为 ()fx，则 )6432)(930()( 2xxxf ? 。 所以 ? ?32( ) 6 1 2 6 4 3 2 9 0 7 2 , 0 , 3 0f x x x x x? ? ? ? ? ?。 6 分 （ 2）由（ 1）得 /2( ) 1 8 2 5 2 4 3 2 1 8 ( 2 ) ( 1 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
14、 令 0)( ?xf ，得 122 ? xx 或 。 8 分 所以 ()fx在（ 0， 2）递减，在（ 2， 12）递增，在（ 12， 30）递减。 10 分 所以 12x? 时 ()fx取极大值，又 ( 0 ) 9 0 7 2 , (1 2 ) 1 1 6 6 4ff?，所以定价 30-12=18（元）能使一个星期的商品销售利润最大。 12 分 22. . （ 2）对任意的 1x ， ? ?ex ,12? 都有 )()( 21 xgxf ? 成立 ? 对任意 1x ， ? ?ex ,12? 都有? ? ? ?m a xm i n )()( xgxf ? （ 6分） 当 ? ?ex ,1? 时， 011)( ? xxg xxxg ln)( ? 在 ? ?e,1 上是增函数 - 7 - ? ? 1)()( m a x ? eegxg （ 8分） 222 )(1)( x axaxxaxf ? 且 ? ?ex ,1? ， 0?a 当 10 ?a 且 ? ?ex ,1? 时， 0)( ?xf )(xf? 在 ? ?e,1 上是增函数 ? ? 2m in 1)1()( afxf ? 由 11 2 ? ea ，得 ea?
