1、 - 1 - 甘肃省定西市通渭县第二中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.集合 | 2M x x? ? ， |1 2N x x? ? ?，则 MN? （ ） A | 2 2xx? ? ? B | 2xx? C | 2xx? D |1 2xx? 2.设复数 11 iz i? ? （ i 为虚数单位）， z 的共轭复数为 z ，则 z? （ ） A 1 B 0 C 2 D 12 3.函数 1( ) 2xfx x?零点的个数为（ ） A 0 B 1
2、 C 2 D 3 4.设向量 a 和 b 满足： 23ab? ， 2ab?，则 ab?（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 5.圆 22( 1) ( 1) 2xy? ? ? ?关于直线 3y kx?对称，则 k 的值是（ ） A 2 B 2? C 1 D 1? 6.双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的一条渐近线与直线 10xy? ? ? 平 行，则它的离心率为（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 7.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为（ ） A 64 2? B 64 4? C 64 3? D 64? - 2 - 8.在
3、正方形中随机投一点，则该点落在该正方形内切圆内的概率为（ ） A 2? B 3? C 4? D 8? 9.执行如图所示的程序框图，输出的 n 值为（ ） A 6 B 8 C 2 D 4 10.已知实数 x ， y 满足 30200xyxyxy? ? ?，若 22z x y?，则 z 的最小值为（ ） A 1 B 322 C 52 D 92 11.已知 3 3 3( , )22P ? 是函数 sin ( )( 0 )y A x? ? ? ? ?图象上的一个最低点， M ， N 是与 P相邻的两个最高点，若 60MPN?，则该函数最小正周期是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 12.已知定义在
4、 R 上的函数 ()fx的导函数为 ()fx，且 ( ) ( ) 1f x f x?，设 (2) 1af?， (3) 1b e f?，则 a ， b 的大小关系为（ ） A ab? B ab? C ab? D无法确定 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卡的相应位置 . 13.平面直角坐标系中，角 ? 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，始边过点 ( 5, 12)P? ，则 cos? - 3 - 14.下表是某工厂 14月份用水量（单位：百吨）： 月份 x 1 2 3 4 用水 量 y 5.5 4 3.5 3 由散点图可知，用水量 y 与
5、月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程0.4y x b? ? ，则 b? 15.已知函数 22lo g (3 ), 2() 2 , 2xxxfx x? ? ?，则 2(log 12) (1)ff? 16.一个正三棱锥的所有棱长均为 2 ，则它的外接球的表面积为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 *2 1( )nnS a n N? ? ?. （ 1）求 1a ， 2a ， 3a ； （ 2）求数列 na 的通项公式 . 18.如图，在四棱锥 P ABCD? 中，四边形 ABC
6、D 为正方形， PA? 平面 ABCD ， PA AB? ，M 是 PC 上一点 . （ 1）若 BM PC? ，求证： PC? 平面 MBD ； （ 2）若 M 为 PC 的中点，且 2AB? ，求三棱锥 M BCD? 的体积 . 19.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 50 岁以下 8000 4000 2000 50 岁以上（含 50 岁） 1000 2000 3000 （ 1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从持“不支持”态度的人- 4 - 中抽取了
7、30 人，求 n 的值； （ 2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一人年龄在 50 岁以下的概率 . （ 3）在接受调查的人中，有 10人给这项活动打出的分数如下： 9.4 ， 8.6 ， 9.2 ， 9.6 ， 8.7 ，9.3 ， 9.0 ， 8.2 ， 8.3 ， 9.7 ，把这 10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 概率 . 20.已知 ( 2,0)A? ， (2,0)B ，点 C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为 34? . （ 1）求动点
8、 C 的轨迹方程； （ 2）设直线 l 与（ 1）中轨迹相切于点 P ，与直线 4x? 相交于点 Q ，且 (1,0)F ，求证：90PFQ?. 21.已知函数 2( ) 2 ln ( , 0 )xf x x a R aa? ? ? ?. （ 1）讨论函数 ()fx的单调性； （ 2） 若函数 ()fx有最小值，记为 ()ga ，关于 a 的方程 2( ) 19g a a ma? ? ? ?有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围 . 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy
9、 中，曲线 C 的方程是： 22( 5) 10xy? ? ? ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求曲线 C 的极坐标方程； （ 2）设过原点的直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，且 2AB? ，求直线 l 的斜率 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 3 ( )f x x x x R? ? ? ?. （ 1）求 ()fx的最大值 m ； （ 2）设 ,abc R? ，且 2 3 4a b c m? ? ? ，求证： 1 1 1 32 3 4a b c? ? ?. - 5 - 参考答案 一、选择题 1-5: DABCB 6-10: CAC
10、BD 11、 12： DA 二、填空题 13. 513? 14. 5 15. 4 16. 3? 三、解答题 17.解：（ 1）当 1n? 时， 1121Sa?，得 1 1a? ； 当 2n? 时， 2221Sa?，即 1 2 221a a a? ? ?，得 2 2a? ； 当 3n? 时， 3321Sa?，即 1 2 3 321a a a a? ? ? ?，得 3 4a? . 综上 1 1a? ， 2 2a? ， 3 4a? . （ 2）当 1n? 时， 1 1a? ， 当 2n? 时， 21nnSa?， 1121nnSa?， 两式相减得 1122n n n n na S S a a? ? ?
11、 ?， 整理得 12 ( 2)nna a n?， 即数列 na 是首项为 1公比为 2 的等比数列， 12nna ? . 18.（ 1）证明：连接 AC ，由 PA? 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD 得 BD PA? ， 又 BD AC? ， PA AC A? ， BD? 平面 PAC ，得 PC BD? ， 又 PC BM? ， BD BC B? ， PC? 平面 MBD . - 6 - （ 2）解：由 M 为 PC 的中点得 1 1 12 2 3M B C D P B C D B C DV V S P A? ? ? ? ? ?1 1 1 22222 3 2 3? ? ? ? ?
12、? ?. 19.解 ：（ 1）参与调查的总人数为 8 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0? ? ? ? ? ?，其中从持“不支持”态度的人数 2000 3000 5000?中抽取了 30 人，所以302 0 0 0 0 1 2 05000n ? ? ?. （ 2）易得，抽取的 5 人中， 50 岁以下与 50 岁以上人数分别为 2 人（记为 1A ， 2A ）， 3 人（记为 1B ， 2B ， 3B ），从这 5 人中任意选取 2 人，基本事件为： 其中，至少有 1人年龄在 50 岁以下的事件有 7 个，所求概率为
13、710 . （ 3）总体的平均数为 1 (9 .4 8 .6 9 .2 9 .6 8 .710x ? ? ? ? ?9 .3 9 .0 8 .2 8 .3 9 .7 ) 9? ? ? ? ? ?， 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2 ， 8.3 ， 9.7 ，所以任取 1个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 310 . 20.解：（ 1）设 ( , )Cxy ，则依题意得 34AC BCkk? ?，又 ( 2,0)A? ， (2,0)B ，所以有 3 ( 0 )2 2 4yy yxx? ? ? ? ， 整理得 22 1( 0)43xy y? ? ?，即为所求
14、轨迹方程 . （ 2）法 1：设直线 l ： y kx m?，与 223 4 12xy?联立得 223 4( ) 12x kx m? ? ?，即 2 2 2(3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， 依题意 2 2 2(8 ) 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 0k m k m? ? ? ? ? ?，即 2234km?， 12 2834kmxx k?，得12 2434kmxx k?， 2243( , )3 4 3 4km mP kk?，而 2234km?，得 43( , )kP mm? ，又 (4,4 )Q k m? ， - 7 - 又 (1,0)F ，则
15、 43( 1 , ) ( 3 , 4 ) 0kF P F Q k mmm? ? ? ? ? ? ?.知 FP FQ? ， 即 90PFQ?. 法 2：设 00( , )Px y ，则曲线 C 在点 P 处切线 PQ ： 00143x x y y?，令 4x? ，得 0033(4, )xQ y? ，又 (1,0)F ， 000 033( 1 , ) ( 3 , ) 0xF P F Q x y y? ? ? ? ?.知 FP FQ? ， 即 90PFQ?. 21.解：（ 1） 22( ) xfx ax?， ( 0)x? ， 当 0a? 时， ( ) 0fx? ，知 ()fx在 (0, )? 上是递
16、减的； 当 0a? 时， 2 ( )( )( ) x a x afx ax? ，知 ()fx在 (0, )a 上是递减的，在 ( , )a? 上递增的 . （ 2）由（ 1）知， 0a? ， m in( ) ( ) 1 lnf x f a a? ? ?，即 ( ) 1 lng a a? ， 方程 2( ) 19g a a ma? ? ? ?，即 2ln ( 0 )9m a a aa? ? ? ?， 令 2( ) ln ( 0 )9F a a a aa? ? ? ?，则221 2 ( 3 1 ) ( 3 2 )( ) 1 99aaFa a a a? ? ? ?， 知 ()Fa 在 1(0, )3
17、 和 2( , )3? 是递增的， 12( , )33 是递减的， 11( ) ( ) ln 333F a F? ? ? ?极 大 ， 21( ) ( ) ln 2 ln 333F a F? ? ? ?极 小 ， 依题意得 11ln 2 ln 3 ln 333m? ? ? ? ? ?. 22.解：（ 1）曲线 C ： 22( 5) 10xy? ? ? ，即 22 10 15 0x y x? ? ? ?， 将 2 2 2xy?， cosx ? 代入得 曲线 C 的 极坐标方程为 2 10 cos 15 0? ? ? ? ?. （ 2）法 1：由圆的弦长公式 22rd?及 2 10r ? ，得圆心 (5,0)C 到直线 l 距离 3d? ， 如图，在 Rt OCD? 中，易得 3tan 4DOC?，可知 - 8 - 直线 l 的斜率为 34? . 法 2：设直线 l ： cossinxtyt? ?（ t 为参数），代入 22( 5) 10xy? ? ? 中得22( c o s 5 ) ( s in ) 1 0tt? ? ?， 整理得 2 10 cos 15 0tt ? ? ?， 由
