1、 1 广东省广州市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 150分，考试用时 120 分钟。 第一部分选择题 （共 60分） 一、 (每题 5分，共 60分 ) 1对于常数 m 、 n ， “ 0mn? ” 是 “ 方程 221mx ny?的曲线是椭圆 ” 的（ ） A 充 分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既 不充分也不必要条件 2设命题，则 p? 为（ ） A B C D 3设 0a? ， aR? ，则抛物线 24y ax? 的焦点坐标为（ ） A ? ?,0a B ? ?0,a C 1(0, )16a D随 a 符号
2、而定 4 下面说法正确的有 ( ) 综合法是直接证法、分析法是间接证法 ; 演绎推理得到的结论一定是正确的； 演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关； 反证法证明命题 “ 若整系数一元二次方程 有有理根，那么 ， 中至少有一个是偶数 ” 时，应假设 ， 至多有一个是偶数 A 个 B 个 C 个 D 个 5双 曲线 221kx y?的一个焦点是 ( 2,0) ，那么它的实轴长是 ( ) A 1 B 2 C 22 D 2 6 “ ? ? ?1 4 2 1 0aaa ? ? ? ?” 是 “ 定积分 60 cos 1a xdx? ? ” 的（ ） A充分不 必要条件 B必要不充分条件 C
3、 充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知点 P 为抛物线 221xy? 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是 )217,6( ，则2 PMPA? 的最小值是（ ） A 8 B 219 C 10 D 221 8用数学归纳法证明命题 “ 能被 整除 “要利用归纳假设证 时的情况，只需展开 ( ) A B C D 9 正方体 的棱长 为 ，点 在棱 上，点 是平面 上的动点，且点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 ，则点 的轨迹是 A 抛物线 B 双曲线 C 直线 D 椭圆 10如图，已知双曲线 =1（ a 0， b 0）上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点
4、 F为双曲线的右焦点，且满足 AFBF ，设 ABF= ，且 ， ，则双曲线离心率 e的取值范围为（ ） A ， 2+ B ， C ， D ， +1 11算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “ 困盖 ” 的术：置如其周，令相乘也 .又以高乘之，三十六成一 .该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 hLV 2361? .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3 .那么，近似公式hLV 2752? 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为（ ） A 722 B 825 C 50157 D 113355 12 已知定义在 R 上的函数
5、 ?fx的导函数为 ?fx? ，对 任意 xR? 满足 ? ? ? ? 0f x f x? ? ?，则下列结论正确的是（ ） A ? ? ? ?2 ln2 3 ln3ff? B ? ? ? ?2 ln2 3 ln3ff? C ? ? ? ?2 ln2 3 ln3ff? D ? ? ? ?2 ln2 3 ln3ff? 3 第二部分非选择题 （ 90分） 二、 填空题 (每题 5分，共 20分 ) 13直线 l 与抛物线 2 4yx? 交于 ,AB两点 ,O 为原点 ,如果 4OA OB? ? ,那么直线 l 恒经过定点 C的坐标为 _ 14设 ? ? ?, | 0 , 0 1A x y x e
6、y? ? ? ? ?（ e 为自然对数的底数），任取 ? ?,ab A? ，则满足 1ab? 的概率是 （结果用 e 表示） 15已知 2200139xy?，过点 ? ?00,P x y 作一直线与曲线 2200139xy?相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角 3? 或 23? ；类比此思想，已知 20 0 0 1x y x?，过点作一直线与函数 2 1xy x? 的图像相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为 _ 16 图中是应用分 形几何学做出的 一个分 形规律图 ， 按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “ 坐标 ” 来表示图乙各行中的
7、 白 圈 黑圈 的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示 黑圈的个数）比如第一行记为 ? ?0,1 ，第二行记为 ? ?1,2 ，第三行 记 为 ? ?4,5 ， 照此下去，第 n行 中 白 圈 与黑圈的 “ 坐标 ” 为 _ 三、解答题（共 6大题，共计 70 分） 17（本题 10分） 已知 ( )nfx 满足1 2( ) ( 0)1 xf x xx?， 11( ) ( )nnf x f f x? ? （ 1）求 23( ), ( )f x f x ，并猜想 ()nfx的表达式； 4 （ 2）用数学归纳 法证明对 ()nfx的猜想 . 18（本题 12分） 已知的三个内角 的对边分别为 （
8、 1）若，求证：； （ 2）若，且的面积，求角 . 19（本题 12分） 某体育场一角的看台共有 20 排，且 此看台的座位是这样排列的：第一排有 2 个座位，从第二排起每一排比前一排多 1个座位，记 na 表示第 n 排的座位数 （ 1）确定此看台共有多少个座位； （ 2）求数列 ? ?2nna? 的前 20 项和 20S ，求 2 20 2log log 20S ? 的值 20（本题 12分） 如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直，点 为 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：； （ 3）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ?若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由
9、 21（本题 12分） 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O ，离心率等于 32 ，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 45，直线 :l y kx m?与 y 轴交于点 P ，与椭圆 E 交于 、AB两个相异点，且 AP PB? . （ 1） 求椭圆 E 的方程； （ 2） 若 3AP PB? ，求 2m 的取值范围 . 22（本题 14分） 已知函数 ? ? ? ?Rmmxxxf ? ln . 5 （ 1）讨论 函数 ?xf 的单调区间 . （ 2 ）当 223?m 时，设 ? ? ? ? 22 xxfxg ? 的 两 个 极 值 点 1x , 2x ? ?21 x
10、x ? 恰为? ? bxcxxxh ? 2ln 的零点，求 ? ? ? ? 2 2121 xxhxxy 的最小值 . 6 数 学 答 案（理科） 一、选择题 (每题 5分，共 60分 ) 1、 B 2、 C 3、 C 4、 A 5、 D 6、 B 7、 B 8、 A 9、 A 10、 B 11、 B 12、 A 二、 填空题 (每题 5分，共 20分 ) 13、 (2,0)C 14、 21e? 15、 4? 或 2?16、 三、解答题（共 6大题，共计 70 分） 17 （ 本题 10分） 1分 2分 -4分 - 5 分 -6分 7 -8分 -9分 -10分 18 （ 本题 12分） （ 1）
11、证明：在 中，由 C=2B 得： cosA=cos ( -1分 -5分 （ 2）因为 又 所以 -7 分 因为 由正弦定理得：即 - 9分 所以得 -11 分 得 = 所以 -12分 19 （ 本题 12分） - 2分 8 - 4分 - 5分 - 7分 - 10分 - 11分 - 12分 20 （ 本题 12分） 证明： （ 1） 四边形 为正方形， 是 的中点，点 为 的中点，连接 为 的中位线， ， 9 - 3 分 （ 2） 正方形 中， 由已知可得 ， ， ， - 6分 （ 3） 由题意可得 平面 ，以点 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设
12、 ， - 7分 ， 设平面 的法向量为 ， 则 得 取 ， 是平面 的一个法向量， -9分 而平面 的一个法向量为 - 10分 要使二面角 的大小为 而 ， 解得 - 11 分 当 时，二面角 的大小为 - 12分 21 （ 本题 12分） 解： (1)根据已知设椭圆 E 的方程为 ? ?22 10yx abab? ? ? ?， 焦距为 2c ， 由已知得 32ca? ， 22 2 23 ,24ac a b a c? ? ? ?. 以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 45， 224 2 5 4 5 , 2 , 1a b a a b? ? ? ? ? ?. 椭圆 E 的 方 程 为
13、22 14yx ?- 4分 (2) 根据已知得 ? ?0,Pm， 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x kx m B x kx m?， 由224 4 0y kx mxy? ? ? ?得 ? ?2 2 24 2 4 0k x m k x m? ? ? ? ?， 由已知得 ? ? ? ?2 2 2 24 4 4 4 0m k k m? ? ? ? ? ?， 10 即 2240km? ? ? .且 21 2 1 22224,44k m mx x x xkk? ? ?. - 7分 由 3AP PB? 得 123xx? ， 即 123xx? . ? ?21 2 1 23 4 0x x x x
14、? ? ?, ? ? ? ?2222224412 044mkmkk?， 即 2 2 2 2 40m k m k? ? ? ? . 当 2 1m? 时 ， 2 2 2 2 40m k m k? ? ? ?不成立 . 2224 1mk m? ?, -10分 2240km? ? ? , 2 224 401m mm? ? ? ?,即 ? ?2224 01mmm? ? . 214m?- - 12分 22 （ 本题 12分） 解：（ 1） ?函数 ? ? mxxxf ? ln ， ? ? xmxmxxf ? 11 ， 0?x ； - 1分 当 0?m 时，由 01 ?mx 解得 mx 1? ，即当 mx 10 ? 时， ? ? 0 ?xf ， ?xf 单调
