1、 1 2016 2017 学年 度 第 二 学期期 中 考试高 二 年级 数 学理试题 第 I卷（选择题，共 60分） 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? ?3A x x?， ? ?2log 1B x x?，则 AB? A ? B ? ?03xx? C ? ?13xx?D ? ?23xx? 2 已知函数 ? ?2 sinyx? ?0? 在区间 0， 2 的图像如图： 那么 ? A 1 B 2 C 12 D 13 3 双曲线 22110 2xy?的焦距为 A 32 B 42 C 33 D 43 4 设等比数列
2、 na 的公比 2q? ，前 n 项和为nS ，则 42Sa? A. 2 B. 4 C. 152 D. 172 5某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于 10分钟的概率为 A 16 B 13 C 12 D 14 6 若 bacba ? ,R、 ，则下列不等式成立的是 A. ba 11? B. 22 ba ? C. 11 22 ? c bc aD. | cbca ? 7 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.54 B.60 C.66 D.72 8 已知 ABC是边长为 1的等边三角形，点 ED, 分别是边 BCAB, 的中点，连接 DE 并延长
3、到点 F ，使得 EFDE 2? ，则 AFBC 的值为 A 85? B 81 C 41 D 8119 阅读如下程序框图 ,如果输出5i?,那么在空白矩形框中应填入的语句为 5 4 2 3 正视图 侧视图 俯视图 2 A2*Si?B2* 1?C2* 2D2* 4?10 已知点 P（ x， y）在不等式 组?022,01,02yxyx 表示的平面区域上运动，则 z x y 的取值范围是 A 1， 2 B 2， 1 C 2， 1 D 1， 2 11 已知函数21 | |, 1() ( 1) , 1xxfx xx? ? ? ,函数 4( ) (1 )5g x f x? ? ?,则函数 ( ) ( )
4、y f x g x?的零点的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 12已知平面 ? 平面 ? ， l? ，点 A? ， Al? ，直线 AB l ，直线 AC l? ，直线mm? ， ，则下列四种位置关系中 ， 不一定 成立的是 A AB m B AC m? C AB ? D AC ? 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、非选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13 如果复数 2( )(1 )m i mi?是实数，则实数 m? . 14 在 614x x?的展开式中， 2x 的系数为 . 15在 OAB中， O为坐标原点， 2,0(),1,( s in),c o s,1(
5、 ? ?BA ，则 OAB面积的最小值 为 . 16平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 221 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的渐近线与抛物线22 : 2 ( 0)C x py p?交 于点 O， A， B，若 OAB的垂心为 2C 的焦点，则 1C 的离心率为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12分） 数列 na 的前 n 项和记为 nS , 112 , 2 ( * )nna a S n? ? ? ? N （）求 na 的通项公式； （ ） 求数列 nna 的前 n 项
6、和 nT 18（本小题满分 12分） 某校 随机 调查了 110名不 同性别的学生 每 天 在 校的消费 情 况 ， 规定： 50 元 以下为 正 常消费 ，大于或等于 50 元 为非 正 常统计后，得到如 下的 22? 列联表 ,已知 在 调查对象 中随机抽取 1人为非正 常的概率为 311 3 正 常 非 正 常 合计 男 30 女 10 合计 110 （ ） 请完成上面的列联表； （ ） 根据列联表的数据， 能否有 99%的把握认为 消费 情 况 与 性别 有关系 ？ 附临界值 表及参考公式： 2 0()PK k? 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 0k 2.70
7、6 3.841 5.024 6.635 10.828 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? 19 （本小题满分 12 分） 如图 ，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为平行四边形，60DAB? ? ? , 2AB AD? ,PD? 底面 ABCD . （） 证明： PA BD? ； （ ） 若 PD AD? ，求二面角 A PB C?的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知 22 49: ( 1) 4M x y? ? ?的 圆心为 M ， 22 1: ( 1) 4N
8、 x y?的圆心为 N ，一动圆与圆 M 内切，与圆 N 外切 . （ ） 求动圆 圆心 P 的轨迹方程； （ ） 过点 (1,0) 的直线 l 与曲线 P 交于 ,AB两点 . 若 2OA OB? , 求直线 l 的方程 . 21（本 小题满分 12分 ） 函数 21( ) ( ) xf x x a e ?,a?R （ ） 讨论 函数 ()fx的单调性 ； （ ） 当 ()fx有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x? 时，总有 112 1 1( ) ( ) ( 1 ) xx f x f x a e? ? ? ?（其中()fx? 为 ()fx的导函数），求实数 ? 的值 请考生在
9、第 22、 23题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分 23.（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 3 | | 4 |f x x x? ? ? ? （）求 ( ) 11fx? 的解集； 4 （） 设函数 ( ) ( 3)g x k x?，若 ( ) ( )f x g x? 对任意的 x?R 都成立，求实数 k 的取值范围 5 2016 2017学年 度 第 二 学期期 中 考试高 二 年级 数 学理 一、选择题： DBDCACBBAACD 二、非选择题： 13 -1 14 1516 .15 14 16 三、解答题： 17 1 1 1 1111111
10、2 2 2 2 2 2 ( 2 )2 4 ,2 , 1 ,2,( 2 ) ( 2 ) , 2 .n n n n n n n n nnnnn n n n n nnna S S S S S S S SSSnaS S n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 法 一 ：数 列 S + 2 是 以 2 为 首 项 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ,S + 2 = 2 S = 2 2 2 22nna? . 12121122, 2,2,2 4 ,2.nnnnnnnnnaS aaaSa a aa? ? ? ? ? ?解 法 二
11、 ： 由 已 知 可 知 两 式 相 减 得由 数 列 是 以 2 为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， （ ） 解法一： ? ?2 3 42 3 4 5 12 3 4 11 1 111 2 2 2 3 2 4 2 2 , 12 1 2 2 2 3 2 4 2 2 , ( 2)( 1 ) ( 2) , 1 2 2 2 2 2 22( 1 2 )2 2 2 2 ,12( 1 ) 2 2.nnnnnnnnn n nnnTnTnnnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得
12、 -解法二：设数列 nx 是等差数列，首项为 1x ，公差为 0d 且满足 11 1 1 0 1 0 1 000 0 1 1 01 ( 1 ) 2 ( ) 2 2 ( 1 )1,( 1 ) 0 ( 1 ) 21,n n nn n n n nnn a x a x a x n d x n d n x n d ndd n d x x x n d nx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即2 3 41 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 1 1111 1 1 11 2 2 2 3 2 4 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 .
13、nnn n n nnnnnTnx a x a x a x a x a x a x a x ax a x a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上面我们分析得到：此题是一道容易题，可是根据学生的得分情况来看却成为了一道难题，问题到底出现在什么地方？ 我想：问题应该在于学生遇到的等式 1 2 ( *)nna S n? ? ? ? N是一个既含有 nS 又含有 na 的等式，从而不知道利用 nS 与 na 的关系，实现转化，从而第一问就没能够正确进行解答 . 18（本小题满分 12分） 【解析】： （ I） ； 6 正 常
14、 非 正 常 合计 男 30 20 50 女 50 10 60 合计 80 30 110 ? 6 分 （） 假设 消费 情 况 与性 别 无关， 根据列联表中的数据，得到 21 1 0 (1 0 3 0 5 0 2 0 )k 7 . 4 8 7 6 . 6 3 56 0 5 0 8 0 3 0? ? ? ? ? ? ? 因此 按%99的可靠性要求，能认为 “ 消费 情 况 与 性 别有关系 ” ?12 分 19 （本小题满分 12分） 解： （ ）因为 6 0 , 2D A B A B A D? ? ? ?, 由余弦定理得 3BD AD? 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD? AD 又
15、PD? 底面 ABCD，可得 BD? PD 所以 BD? 平面 PAD. 故 PA? BD （）如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz ，则 ? ?1,0,0A , ? ?0 3,0B ， , ? ?1, 3,0C ? , ? ?0,0,1P 。 ( 1 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 1 ) , ( 1 , 0 , 0 )A B P B B C? ? ? ? ? ? 设平面 PAB的法向量为 n=（ x,y,z），则 即 3030xyyz? ? ?因此可取 n=( 3,1, 3) 设平面 PBC的法向量为 m，
16、则 00m PBm BC?7 可取 m=（ 0， -1， 3? ） 4 2 7c o s ,727mn ? ? ?故二面角 A-PB-C的余弦值为 277? 20 （本小题满分 12分） 已知 22 49: ( 1) 4M x y? ? ?的 圆心为 M ， 22 1: ( 1) 4N x y?的圆心为 N ，一动圆与圆 M 内切，与圆 N 外切 . （ ） 求动圆圆心 P 的轨迹方程； （ ） 过点 (1,0) 的直线 l 与曲线 P 交于 ,AB两点 . 若 2OA OB? , 求直线 l 的方程 . 试题分析 :第 （ ） 问考查了圆与圆的位置关系 ,轨迹方程的求法： （ ） 设 ( ,
17、 )Pxy ,动圆 P 的半径为 r ，则有22222 2 2 2227( 1 )2 ( 1 ) ( 1 ) 4 1 .1 43( 1 )2x y r xyx y x yx y r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?FEPM O NH解题分析 .当直线的斜率不存在时，易知 BE 不合题意，舍去； （ ） 设直线 （） 的方程为8 221 1 2 22 2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 4 2 4 2 4222+ = 1, ( , ) , ( , ) , 43( 3 4 ) 8 4 ( 3 ) 0 ,(
18、 1 ) ( 1 ) ( )4 ( 3 ) ( 1 ) 8 4 8 1 2 8 3 43 4 3 4 3xyy k x k A x y B x yy k x kk x k x kO A O B x x y y x x k x x x x k x x k x x kk k k k k k k kkkk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?联 立 方 程 组222225 1 224 3 45 1 2 6 8 , 2 .kkkk k k? ? ? ? ? ? ? ?本题得分率低的原因 是：学生不能正确利用圆与圆的位 置关系找到动圆圆心所应满足的条件；动圆的圆心在动，圆的半径也在变化，这样学生就产生了畏难情绪从而缺乏了解答此题的信心；即使有的学生能够解答第 （） 问，但第 （ ） 问运算量有比较大一些解题再次受挫，使得成绩好的学生也 不能够将此题完整的解答下去了 . 21（本 小题满分 12分 ）
