1、 - 1 - 吉林省长春市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 集合 ? ?2| 2 3 0 , | 2 ,A x x x B x x A B? ? ? ? ? ? （ A） 1,3? （ B） (2,3 （ C） 1, )? ? （ D） (2, )? （ 2） 已知复数 z 满足 (2 ) 1 2i z i? ? ? ，则 z? （ A） 2i? （ B） 45i? （ C） i （ D） 4355i? （ 3） 现要 完成下列 3 项抽样调查： 从 10
2、 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查 ； 科技报告厅 有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈 ； 东方中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本较为合理的抽样方法是 （ A） 简单随机抽样， 系统抽样， 分层抽样 （ B） 简单随机抽样， 分层抽样， 系统抽样 （ C） 系统抽样， 简单随机抽样， 分层抽样 （ D） 分层抽样， 系统抽样， 简单随机抽样 （ 4） 已知三棱锥 P ABC? 的
3、三条侧棱两两互相垂直，且 5, 7 ,AB BC? 2AC? ，则此三棱锥的外接球的体积为 （ A） 83? （ B） 823? （ C） 163? （ D） 323? （ 5） 已知等比数列 na 各项均为正数，公比为 q ，满足 1 2 8 4 6, 6 , 5nna a a a a a? ? ? ? ?，则 2q? （ A） 53 （ B） 49 （ C） 59 （ D） 23 - 2 - （ 6） 已知 ()fx是偶函数 ， 且在 0, )? 上是减函数 ， 若 (lg ) (1)f x f? ， 则 x 的取值范围是 （ A） 1( ,1)10 （ B） 1(0, ) (1, )10
4、 ? （ C） 1( ,10)10 （ D） (0,1) (10, )? （ 7） 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 14 （ D） 18 （ 8） 若 ,xy满足约束条件 20202 2 0xyxyxy?，则 2z x y?的最小值为 （ A） 83 （ B） 2 （ C） 43 （ D） 4? （ 9） 若直线 20xy? ? ? 被圆 22( ) 4x a y? ? ?所截得的弦长为 22， 则实数 a 为 （ A） 1? 或 3 （ B） 1或 3 （ C） 2? 或 6 （ D） 0 或 4 （ 10） 有 5 人排成一排照相，其中有男、
5、女医生各 1 人，男、女教师各 1 人，男运动员 1 人，若同职业的人互不相邻，且 女士相邻，则不同的站排方式共有 （ A） 28 （ B） 30 （ C） 48 （ D） 60 （ 11） 已知直线 l 过点 ? ?1,0A? 且与 圆 22: 2 0B x y x? ? ?相切于点 D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D ，其一条渐近线平行于 l ，则 E 的方程为 （ A） 223 122xy? （ B） 223 144xy? （ C） 223 122yx? （ D） 2 25 13y x? （ 12） 定义在 R 上的函数 ()y f x? ，满足 ln 2(2 ) (2 )2f
6、 x f x? ?恒成立，其中 ()fx? 是 ()fx- 3 - 的导数，则 （ A） (2) (0)2, 2(0) ( 2)ff?（ B） (2) (0)2, 2(0) ( 2)ff?（ C） (2) 2 (0) 4 ( 2)f f f? ? ? （ D） (2) 2 (0) 4 ( 2)f f f? ? ? 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第2223 题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题 ： 本题 共 4小题，每小题 5分 。 （ 13） 若 sin cos 2?，则 sin( )3?_. （ 14） 设向量 ? ?
7、 ? ?1, 3 , , 3a b m?，且 2ab? ，则实数 m? _. （ 15） 在多项式 2 10(1 )(1 )x x x? ? ? 的展开式中， 10x 项的系数是 _. （ 16） ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 若 2 cos 2b C c a?， 3a? ，且 AC 边上的中线长为 192 ， 则 c? _. 三、解答题 ： 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算 步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 甲 、 乙二人用 4 张扑克牌 （ 分别是红桃 2、 红桃 3、 红桃 4、 方片 4） 玩游戏 ， 他们将扑克牌洗匀后 ， 背面朝上放在桌面上
8、 ， 甲先抽 ， 乙后抽 ， 抽出的牌不放回 ， 各抽一张 （ ） 若甲抽到红桃 3， 则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？ （ ） 甲 、 乙约定：若甲抽到的牌的 牌面数字比乙大 ， 则甲胜 ， 反之 ， 则乙胜你认为此游戏是否公平 ， 说明你的理由 （ 18） （本小题满分 12 分） 在正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 112, 3AB A A?， D为 BC 的中点 . （ ）求 证： 1 /AB 平面 1ACD ； （ ）若 点 E 为 1AC 上的点，且满足 1AE mEC? - 4 - (m 为实数 ) ，若二面角 E AD C?的余弦值为 1010 ，求实数 m
9、 的值 . （ 19） （本小题满分 12 分） “延迟退休”是人们比较关心的话题 ，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究学习小组在某社区随机选取了 50 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 人数 4 5 8 5 3 年龄 45,50) 50,55) 55,60) 60,65) 65,70) 人数 6 7 3 5 4 经调查，年龄在 25,30)， 55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查 . （ ）求 年龄在 25
10、,30)的被调查者中选取的 2 人都赞成“延迟退休”的概率 ； （ ）若 选中的 4 人中，不赞成“延迟退休”的人数记为 X ，求随机变量 X 的分布列及数学期望 . （ 20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 21 FF， 在 y 轴上，离心率为 223 ， P 是椭圆 E 上的点，以线段 1PF 为直径的圆经过 2F ，且 1291PF PF?. （ ）求 椭圆 E 的方程 ； （ ） 作直线 l 与椭圆交于两个不同的点 ,MN，如果线段 MN 被直线 2 1 0x? 平分，求直线 l 的倾斜角的取值范围 . （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 (
11、) ( , )xf x e ax b a b? ? ? ? R. （ ） 若 ()fx在 0x? 处的极小值为 2 ，求 ,ab的值； （ ） 设 ( ) ( ) ln( 1)g x f x x? ? ?，当 0x 时， ( ) 1g x b? ，求 a 的取值范围 . - 5 - 请考生在 2223 中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题 计 分 . （ 22） （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程选讲 在极坐标系中，曲线 1 : 2cosC ? ，曲线 22 : sin 4 cosC ? ? ? .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ，曲线
12、 C 的参数方程为12232xtyt? ? ?（ t 为参数） . （ ） 求 12,CC的直角坐标方程； （ ） C 与 12,CC交于不同四点，这四点在 C 上的排列顺次为 , , ,PQRS ，求 PQ RS?的值 . （ 23） （本小题满分 10 分） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ? ? 21f x x a x? ? ? ?. （ ） 当 1a? 时，解不等式 ? ? 2fx? ； （ ） 求证： ? ? 12f x a?. - 6 - 2016-2017 学年下学期高二数学理科试题答案 13. 23? 14. 1? 15. 36 16. 5 17. (1)甲抽到红桃 3，乙
13、抽到的牌 的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3大的概率为 23 . (2)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有 5 种，故甲胜的概率 P1 512 ，同理乙胜的概率 P2 512 .因为 P1 P2，所以此游戏公平 18.（ 1）证明略；（ 2） 1m? 19.（ 1） 310（ 2） 22()15EX? 20.（ 1） 2 2 19y x?；（ 2） 2( , ) ( , )3 2 2 3? ? ? ? 21.（ 1） 1ab?；（ 2） 2a? 22.（ 1） 2 2 22 0, 4x y x y x? ? ? ?（ 2） 113 23.（ 1） 4 | 0, 3x x x?（ 2）略 1 2 3 4 5 6 B C A D D C 7 8 9 10 11 12 B B D A C C X 0 1 2 3 P 110 25 1330 115
