1、 1 2016-2017 学年高二下学期期中考试 数学（文）试题 第 卷（共 70 分） 一、 填空题：本大题共 14 个小题 ,每小题 5 分 ,共 70 分 .请把答案直接写在答题纸相应位置上。 1.已知集合 ? ?1,0,1A? ， ? ?02B x x? ? ? ，则 AB? 2.已知 ? ?21 i a bi? ? ? （ ,ab Ri? 为虚数单位），则 ab? 3.命题“ xR? ， 2 2 4 0xx? ? ? ”的否定为 4.函数 1yx?的定义域为 5. 0231 .1 2 1 6 0 .5 lg 2 5 2 lg 2? ? ? ? ? 6.若一组样本数据 2,3,7,8,
2、a 的平均数为 5，则该组数据得方差 2s? 7.已知函数 ?fx是定义在 R 上的奇函数，且当 0x? 时， ? ? 2 3f x x x? ? ，则?2f ? 8.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生 800 人，乙校有学生 500 人，现用分层抽样的方 法在这 1300 名学生中抽取一个样本 .已知在甲校抽取了 48 人，则在乙校应抽取学生人数为 9.下面是一个算法的伪代码，输出结果是 10.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析 ，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名学生，并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），
3、则成绩在 ? ?300,350 内的学生人数共有 2 11.已知 ? ?f x x a? 是 ? ?1,? 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是 12.若函数 2 4y x x? 的定义域为 ? ?4,a? ，值域为 ? ?4,32? ，则实数 a 的取值范围为 13.对任意 ? ?1,1a? ，函数 ? ? ? ?2 4 4 2f x x a x a? ? ? ? ?的值总大于零，则 x 的取值范围是 14.已知函数 ? ? 332f x x ax? ? ? ? ?有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 a 的取值集合为 第 卷（共 90 分） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共
4、 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15. 实数 m 分别取什么数值时，复数 ? ? ? ?225 6 + 2 1 5z m m m m i? ? ? ? ? （ 1）对应的点在 x 轴的上方； （ 2）1zi?为纯虚数 . 16.已知 :p 实数 x ，满足 0xa? ， :q 实数 x ，满足 2 4 3 0xx? ? ? . （ 1）若 2a? 时 pq? 为真，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 p 是 q 的必 要不充分条件，求实数 a 的取值范围 17. 已知关于 x 的一元二次函数 ? ? 2 41f x ax bx? ? ?. （ 1）设集合 ? ?1
5、,2,3P? 和 ? ?1,1,2,3,4Q? ，分别从集合 P 和 Q 中随机抽取一个数作为 a 和b ，求函数 ? ?y f x? 在区间 ? ?1,? 上是增函数的概率； （ 2）设点 ? ?,ab 是区域 8000xyxy? ? ?内的随机点，求 ? ?y f x? 在区间 ? ?1,? 上是增函数的概率 . 18. ,AB两城相距 100km ，在两城之间距 A 城 ? ?xkm 处建一核电站给 ,AB两城供电，为保3 证城市安全，核电站距离城市距离不得小于 10km .已知供电费用等于供电距离 ? ?km 的平方与 供电量（亿度）之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20
6、亿度， B 城供电量为每月 10 亿度 . （ 1）求 x 的取值范围； （ 2）把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； （ 3）核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最小？ 19. 设函数 ? ? 2 22f x x tx? ? ?，其中 tR? . （ 1）若 1t? ，求函数 ?fx在区间 ? ?0,4 上的取值范围； （ 2）若 1t? ，且对任意的 ? ?,2x a a?，都有 ? ? 5fx? ，求实数 a 的取值范围； （ 3）若对任意的 ? ?12, 0,4xx? ，都有 ? ? ? ?128f x f x?，求实数 t 的取值范围 . 20.已知函数 ? ? 2f
7、 x x x a x? ? ?. （ 1）若函数 ?fx在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）求所有的实数 a ，使得对任意 ? ?1,2x? 时，函数 ?fx的图象恒在函数 ? ? 21g x x?图象的下方； （ 3）若存在 ? ?4,4a? ，使得关于 x 的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围 . 4 试卷答案 一、填空题 1. ?1 2. 2 3. 2, 2 4 0x R x x? ? ? ? ? 4.? ?,0? 5.5 6.2657.10 8.30 9. 14 10.300 11.? ?,1? 12.? ?2,8 1
8、3.? ? ? ?,1 3,? ? ? 14.? 5+3 338aa?或 95?二、解答题 15.（ 1） 由 z 的对应点在 x 轴上方，得 2 2 15 0mm? ? ? ，解得 3m? 或 5m? . （ 2） 因为 ? ? 21 2 3 9 7 2 11 2 2 2ziz m m m ii ? ? ? ? ? ?，由1zi?为纯虚数，得 22 3 9 027 21 02mmm? ? ?，解得 32m?16.（ 1）由 0xa? ，得 xa? .当 2a? 时， 2x? ，即 p 为真命题时， 2x? . 由 2 4 3 0xx? ? ? 得 13x?，所以 q 为真时， 13x?. 若
9、 pq? 为真，则 12x? 所以实数 x 的取值范围是 ? ?1,2 . （ 2） 设 ? ?,Aa? ? ， ? ?1,3B? ， q 是 p 的充分不必要条件， 所以 BA? ，从而 3a? . 所以实数 a 的取值范围是 ? ?3,? . 17.（ 1）函数 ? ? 2 41f x ax bx? ? ?的图象的对称轴为 2bxa?， 要使 ? ? 2 41f x ax bx? ? ?在区间 ? ?1,? 上位增函数， 当且仅当 0a? 且 2 1ba?，即 2ba? 若 1a? 则 1b? ；若 2a? 则 1,1b? ；若 3a? 则 1,1b? ； 事件包含基本事件的个数是 1+2
10、+2=5 ，所求事件的概率为 51153?. 5 （ 2） 由（ 1）知当且仅当 2ba? 且 0a? 时， 函数 ? ? 2 41f x ax bx? ? ?在区间 ? ?1,? 上位增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ? 80,00aba b ab? ? ?构成所求事件的区域为三角形部分，由 802abab? ? ? ? 得交点坐标为 16833?， ， 所求事件的概率为 188 1231 3882P ?18.（ 1） x 的取值范围为 10 90x? . （ 2） ? ? ? ?23 55 1 0 0 1 0 9 02y x x x? ? ? ? ?. （ 3）因为 ?
11、 ? 22225 1 5 1 5 1 0 0 5 0 0 0 05 1 0 0 5 0 0 2 5 0 0 02 2 2 3 3y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以当1003x? 时， min 500003y ?.故核电站建在距 A 城 1003km处，能使供电总费用 y 最少 . 19.解： ? ? ? ?2222 +2 = 2f x x tx x t t? ? ? ? ?，所以 ?fx在区间 ? ?,t? 上单调减，在区间 ? ?,t?上单调增，且对任意的 xR? ，都有 ? ? ? ?f t x f t x? ? ?， （ 1）若 1t? ，则 ? ? ? ?2
12、11f x x? ? ?. ?fx在区间 ? ?0,4 上的取值范围为 ? ?1,10 . （ 2） “对任意的 ? ?,2x a a?，都有 ? ? 5fx? ”等价于“在区间 ? ?,2aa? 上， ? ?max 5fx ?” . 1t? 时，则 ? ? ? ?211f x x? ? ?， 所以 ?fx在区间 ? ?,1? 上单调减，在区间 ? ?1,? 上单调增 . 当 1 +1a? ，即 0a? 时，由 ? ? ? ? ? ? 2m a x 2 1 1 5f x f a a? ? ? ? ? ?，得 31a? ? ， 从而 01a?. 当 1 +1a? ，即 0a? 时，由 ? ? ?
13、 ? ? ?2m a x 1 1 5f x f a a? ? ? ? ?，得 13a? ? ， 6 从而 10a? ? . 综上， a 的取值范围为区间 ? ?1,1? . （ 3）设函数 ?fx在区间 ? ?0,4 上的最大值为 M ，最小值为 m ， 所以“对任意的 ? ?12, 0,4xx? ，都有 ? ? ? ?128f x f x?”等价于“ 8Mm?” . 当 0t? ， ? ? ? ?4 1 8 8 , 0 2M f t m f? ? ? ? ?. 由 1 8 8 2 1 6 8 8M m t t? ? ? ? ? ? ?，得 1t? . 从而 t? . 当 02t? ， ? ?
14、 ? ? 24 1 8 8 , 2M f t m f t t? ? ? ? ? ?. 由 ? ?221 8 8 2 8 1 6 8M m t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 4 2 2 4 2 2t? ? ? ?. 从而 4 2 2 2t? ? ? . 当 24t? ， ? ? ? ? 20 2 , 2M f m f t t? ? ? ? ?. 由 ? ?222 2 8M m t t? ? ? ? ? ?，得 2 2 2 2t? ? ? . 从而 2 2 2t? . 当 4t? ， ? ? ? ?0 2 , 4 1 8 8M f m f t? ? ? ? ?. 由 ? ?2
15、1 8 8 8 1 6 8M m t t? ? ? ? ? ? ?，得 3t? . 从而 t? . 综上， t 的取值范围为区间 4 2 2,2 2?. 20.（ 1） ? ? ? ? ?2 2 2 , ,2 2 , ,x a x x af x x x a x x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由 ?fx在 R 上是增函数，则2 ,22 ,2aaaa? ? ?即 22a? ? ? ，则 a 的范围为 22a? ? ? ； （ 2） 由题意得对任意 ? ?1,2x? ， ? ? ? ?f x g x? 恒成立， 即 1xx a?，当 ? ?1,2x? 恒成立，即 1
16、xax?， 11xaxx? ? ? ?， 7 11x a xxx? ? ? ? ，故只要 1xax?且 1axx? 在 ? ?1,2x? 上恒成立即可， 在 ? ?1,2x? 时，只要 1xx?的最大值小于 a 且 1xx?的最小值大于 a 即可， 而当 ? ?1,2x? 时， 1xx?为增函数，max132x x? ； 当 ? ?1,2x? 时， 1xx?为增函数，min1 2x x? ，所以 3 22 a? ； （ 3）当 22a? ? ? 时， ?fx在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 ? ? ? ?f x tf a? 不可能有三个不等的实数根；则当 ? ?2,4a? 时，由 ? ?
17、 ? ? ?2 2 2 , ,2 , ,x a x x afx x a x x a? ? ? ? ? ? ? ?得 xa? 时， ? ? ? ?2 2f x x a x? ? ?对称轴 22axa?， 则 ?fx在 ? ?,xa? ? 为增函数，此时 ?fx的值域为 ? ? ? ? ?, 2 ,f a a? ? ? ， xa? 时， ? ? ? ?2 2f x x a x? ? ?对称轴 +22axa?， 则 ?fx在 2,2ax ? ? ?为增函数，此时 ?fx的值域为 ? ?22,4a? ?， ?fx在 22axa? ?， 为减函数，此时 ?fx的值域为 ? ?222, 4aa? ? ?； 由存在 ? ?2,4a? ， 方程 ? ? ? ? 2f x tf a ta?有三个不相等的实数根，则 ? ?222 2 ,4ata a?， 即存在 ? ?2,4a? ，使得 ? ?221,8at a?即可，令 ? ? ? ?22 14 488ag a aaa? ? ? ? ?， 只要使 ? ? ?maxt g a?即可，而 ?ga在 ? ?2,4a? 上是增函 数， ? ? ? ? ?max 94 8g a g?， 故实数 t 的取值范围为 918?，；同理可求当 ? ?4, 2a? ? 时， t 的取值范围为 918?，； 综上所述，实数 t 的取值范围为 918?，.
