1、 1 2016/2017 学年度第二学期期中考试高二年级 数学试题 一、填空题：（ 本大题共 14 小题，每小题 5分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ） 1 不等式 ( 1)( 2) 0xx? ? ?的解集为 _ _ 2、 设 34zi? ，则 复数 z 的 模 为 _ _ 3、 共有师生 1600 人，其中教师有 1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 . 4、若曲线 32 xxy ? 在点 P处的切线的斜率是 1，则 P的 横 坐标为 5、函数 1+lnyx? 的导 函数 y?， _ _ 6、条件 “ 1x? ” 是 条
2、件 “ 2 10x ? ” 的 条件 。 7、 抛物线顶点在原点，焦点在 y轴上 且过 点 P(4， 1)， 则抛物线 的 标准 方程为 _ _. 8、 右图是一个算法流程图，则输出的 a 的值是 9、若实数 ,xy满足约束条件 2 2,1,1,xyxyxy?则目标函数 2z x y?的最小值为 10、 已知 a1， 且 b1， 若 a+b=6， 则 (a 1)(b 1)的最大值是 . 11、椭圆 22142xy?上的一点 M 到左焦点的距离为 3，那么点 M 到右准线的距离为 。 12、 双曲线22ax 22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 （第 7 题） 开 始a 1a 2
3、 a + 1a 64输 出 a结 束YN2 13、 函数 21() 2 xxf x x e x e? ? ? ?2,x? ? ? 的单 调减 调 区间 是 14、若不等式 22 ()12 cx y xxy ? 2对任意满足 0xy? 的实数 ,xy恒成立，则 实数 c 的最大值为 二、解答题：（ 本大题共 6道题，计 90 分解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15、 已知 p :方程 012 ? mxx 有两个不等的负根 ,q ：方程 01)2(44 2 ? xmx 无实根 ,若 p且 q 为真，求 m 的取值范围 16、 已知函数 3( ) 3 9 5f x x x? ?
4、?. （ 1） 求函数 ()fx的单调递 减 区间；（ 2）求函数 ()fx在 ? ?2,2? 的最大值和最小值 . 3 17、（ 文科做 ） 设全集是实数集 R ， ? ?2| + 6 0A x x x? ? ?， ? ?0| 2 ? axxB (1)当 4?a 时，求 BA? 和 BA? ； (2)若 A B B? ，求 a 的取值范围 （ 理科做 ） 用数学归纳法证明： *( 1 )1 + 2+ 3 + 2nnn n N? ? ? 18、某核研究所准备建一所研究人员宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料 的选用与宿舍到实验室距离有关若建造宿舍的所有费用 p （万元）和宿舍与实验室的
5、距离 ()xkm 的关系为：(0 8 )35kpxx? ? ? ，若距离为 1km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元为了交通方便，实验室与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需 5万元，铺设路面每公里成本为 6万元，设 ()fx为建造宿舍与修路费用之和 （ 1）求 ()fx的表达式； （ 2）宿舍应建在离实验室多远处，可使总费用 ()fx最 小，并求最小值 4 19、已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率为 12 ，且过点 31,2E?. （ 1）求椭圆 C 的方程 ; （ 2）若点 A ， B 分别是椭圆的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x
6、 轴，点 P 是椭圆上异于 A ，B 的任意一点，直线 AP 交 l 于点 .M 设直线 OM 的斜率为 ,1k 直线 BP 的斜率为 2k ，求证： 12kk 为定值； 20. 已知函数 ).1,0(ln)( 2 ? aaaxxaxf x （ 1） 当 ae? 时， 求函数 )(xf 在点 )0(,0( f 处的切线方程； （ 2） 求函数 )(xf 单调区间； （ 3） 若存在 1,1, 21 ?xx ，使得 eexfxf (1)()( 21 ? 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 . A B M P O l x y m 5 2016/2017 学年度第二学期期 中考试高二年级 数
7、学试题答案 6 7 18解答 ：（ 1）根据题意得 1 0 0 8 0 03 1 5k k? ? ? 800( ) 5 6 , 0 835f x x xx? ? ? ? ? ? （ 2） 800( ) 2 ( 3 5 ) 5 8 0 535f x xx? ? ? ? ? ? 当且仅当 800 2(3 5)35 xx ? 即 5x? 时 min( ) 75fx ? 答：宿舍应建在离厂 5km处可使总费用()fx 最小为 75万元 15分 19 由题意得 2ca? ， 代入点有 2 4a? ，所以椭圆 E 的方程为 22143xy? （ ）设 1 1 1( , )( 0)P x y y ? ， 0
8、(2, )My，则 01 2yk?， 12 1 2yk x? ?， 因为 ,APB 三点共线，所以 10 14 2yy x? ?， 所以， 201 112 21142 ( 2 ) 2 ( 4 )yy ykk xx?， 8因为 11( , )Px y 在椭圆上，所以 22113 (4 )4yx?，故 2112 214 32( 4) 2ykk x? ? ?为定值 8 20 因为函数 2( ) ln ( 0 , 1 )xf x a x x a a a? ? ? ?+ ，所以 ( ) ln 2 lnxf x a a x a? ?+， (0) 0f? ? ，又因为 ae? (0) 1f ? ， 所以函数
9、 ()fx在点 (0, (0)f 处的切线方程为 1y? 由 ， ( ) l n 2 l n 2 ( 1 ) l nxxf x a a x a x a a? ? ? ? ?+ 因为当 0, 1aa?时，总有 ()fx? 在 R 上是增函，又 (0) 0f? ? ，所以不等式 ( ) 0fx? ? 的解集为(0, )?+ ，故函数 ()fx的单调增区间为 (0, )?+ 因为存在 12, 1,1xx? ，使得 12( ) ( ) e 1f x f x? 成立， 而当 1,1x? 时， 1 2 m a x m i n( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x? ，所以只要 m a
10、 x m in( ) ) e 1f x f x?即可 ()fx在 1,0? 上是减函数，在 0,1 上是增函数，所以当 1,1x? 时， ?fx的最小值? ? ? ?min 01f x f?， ?fx的最大值 ? ?maxfx 为 ? ?1f ? 和 ?1f 中的最大值 因为 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 l n ) ( 1 l n ) 2 l nf f a a a a aaa? ? ? ? ? ? ? ?+ + +， 令 1( ) 2 ln ( 0 )g a a a aa? ? ? ?，因为 221 2 1( 1 (1 ) 0ga a a a? ? ? ? ? ?+， 所以 1( )
11、2 lng a a aa? ? ? 在 ? ?0,a? ? 上是增函数而 (1) 0g ? ，故当 1a? 时， ? ? 0ga? ，即(1) ( 1)ff?；当 01a?时， ? ? 0ga? ，即 (1) ( 1)ff? 所以，当 1a? 时， (1) (0) e 1ff? ，即 ln e 1aa? ，函数 lny a a? 在 (1, )a? ? 上是增函数，解得 ea ；当 01a?时， ( 1) (0) e 1ff? ? ? ，即 1 ln e 1aa ? ，函数 1 lnyaa? 在(0,1)a? 上是减函数，解得 10 ea? 综上可知，所求 a 的取值范围为 1(0, e, )ea?+
