1、专项训练卷（三）专项训练卷（三） 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 一、选择题 1锐角ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a=5，c= 2，cos A= 3 2 ， 则 b= ( ) A2 B3 C2 D3 2如图，在平面直角坐标系内，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为，如果 OA=5， tan =2，那么点 A 的坐标是 ( ) A(1，2) B(2，1) C(1，5) D(2，5) 3小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D 处后进球，已知小明与篮筐底的距离 BC=5 米， 眼睛与地面的距离 AB=1.7 米， 视线 AD 与水平线的夹角为 a， 已知 ta
2、n= 10 3 ， 则点 D 到地面的距离 CD 是 ( ) A2.7 B3.0 米 C3.2 米 D3.4 米 4如图，某海关缉私艇在 A 处接到情报，在 A 的北偏西 60方向的 B 处发现一艘可 疑船只正以 24 海里时的速度向正东方向航行， 于是该艇立即沿北偏西 45的方向 前进，经过 1 小时，恰好在 C 处截住可疑船只，则缉私艇的速度为 ( ) A(122+126)海里时 B(123+126)海里时 C(122+123)海里时 D(83+86)海里时 5如图，四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的A，已知：BC=10，cosBCD= 5 3 ， BCE= 30，则线段 DE 的
3、长是 ( ) A89 B73 C4+33 D3+43 6.四边形的两条对角线 AC、BD 所成的锐角为 45，当 AC+BD=9 时，四边形 ABCD 的 面积的最大值是 ( ) A2 4 75 B2 16 81 C192 D212 7如图，斜坡 AB 的长为 40 米，其坡度 i=1：0.75，BFAF，斜坡 AB 正前方的一座 建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告牌， 小明在斜坡 AB 的中点 C 处测得广告顶部 M 的 仰角为 26.6，他沿坡面 CA 走到坡脚 A 处，然后向大楼方向继续沿直线行走 10 米 到 D 处， 在 D 处测得广告底部 N 点的仰角为 50， 此时小明距大楼底端
4、 E 处 20 米 已 知 B、C、A、D、M、N 在同一平面内，F、A、D、E 在同一条直线上，则广告牌的高 度 MN 约为( ) (精确到 1 米， 参考数据： sin500.77， tan 501.19， sin 26.60.45， tan 26.6 0.50) A12 米 B13 米 C14 米 D15 米 8 冬季， 武隆仙女山迎来滑雪季， 如图为滑雪场某段赛道的示意图， AB 段为助滑段， 长为 12 米，坡角为 16，一个曲面平台 BCD 连接了助滑坡 AB 与着陆坡 DE，已知 着陆坡 DE 的坡度 i=1：2.4，DE 的长度为 19.5 米，B、D 之间的垂直距离 h 为
5、5.5 米， 则小红从 A 出发到 E 处下降的垂直距离为 ( ) (参考数据：sin160.28，cos160.96，tan160.29，结果保留一位小数) A15.9 米 B16.4 米 C24.5 米 D16.0 米 二、填空题 9如图，在 RtBAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC= 3 1 BC，连接 AC，若 tanB= 5 3 ， 则 tanCAD 的值为_ 10 如图， 在ABC 中， 已知C=90， sin A= 7 3 ， 点 D 为边 AC 上一点， 若BDC= 45， DC=6 cm，则ABC 的面积等于_cm. 11.如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔
6、 C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公 路从南向北匀速行驶， 上午 9:00 他行驶到 A 点时， 测得塔 C 在北偏西 37的方向上， 上午 9:11 行驶到 B 点时，测得塔 C 在南偏西 63.5的方向上，若汽车行驶的速度为 90 kmh， 则在行驶的过程中， 汽车离塔C的最近距离约是_km 参考数据： sin 37 5 3 ，tan 37 4 3 ，sin 63.5 10 9 ，tan 63.52). 12如图， ABCD 中，DAB=60，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ 2 3 PD 的最小值等于_ 13.有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆
7、夹角的度数来调整 晾衣架的高度图 2 是支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑 杆，夹角BOD=若 AO= 85 cm，BO =DO= 65 cm.则当 a= 74时，较长支撑杆的 端点 A 离地面的高度 h 约为_cm.(参考数据： sin 370.6， cos 370.8， sin 53 0.8，cos 530.6) 14.某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔的高度如图，无人机在 距离地面 168 米的 A 处，测得该塔塔底点 B 的俯角为 40，然后向古塔方向飞行 50 秒到达点 C 处(无人机飞行过程中与地面距离不变)， 此时测得该塔塔顶点 D 的俯角
8、为 60 已知无人机的飞行速度为 3 米秒， 则这座古塔的高度约为_米(参考数据： sin 400.64，cos 400.77，tan 400.84，21.41，31.73结果精确到 0.1 米) 三、解答题 15.如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C= 45，sin B= 3 1 ，AD=1 (1)求 BC 的长； (2)求 tan DAE 的值 16 清泉阁是南宁园博园中的最高建筑 某数学兴趣小组利用周末时间到清泉阁进行 室外测量实践活动如图，在清泉阁最大的观景台上，选取测量点 D，测量点 D 到清 泉阁最高点 A 的仰角 ADE=58， 点 D 到
9、目标点 C 的俯角FDC=32， DE=20 m 已 知清泉阁的高 AB=75m，请计算点 D 到目标点 C 的距离(结果取整数)(参考数据：sin 580.85cos 580.53tan 581.60) 17.如图 1，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙 地 已知丙地位于甲地北偏西 30方向， 距离甲地 460 km， 丙地位于乙地北偏东 66 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作 三个点 A、B、C，可抽象成图 2 所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速公路 AB 的 长(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可) 18.下图
10、是在写字台上放置一本数学书和一个折叠式台灯的截面示意图，已知数学书 AB 长 25 cm， 台灯上半节 DE 长 40 cm， 下半节 CD 长 50 cm.当台灯灯泡 E 恰好在数学 书 AB 的中点 O 的正上方时，台灯上、下半节的夹角即EDC 为 105，下半节 CD 与写字台 FG 的夹角即DCG 为 75， 求 BC 的长.(书的厚度和台灯底座的宽度、 高度 都忽略不计，F、A、O、B、C、G 在同一条直线上，参考数据：sin750.97，cos 75 0.26，21.41，31.73，结果精确到 0.1 cm) 专项训练卷(三) 解直角三角形及其应用 1.D 如图，过 B 作 BH
11、AC 于 H 在 RtABH 中，BHA= 90，cos A= 3 2 2 AH AB AH AH= 3 4 ，BH= AHAB 22 = 3 52 ，在 RtCBH 中，CH= BHBC 22 = 3 5 ，b=AC=AH+CH= 3 5 3 4 =3故选 D 2A 过 A 作 ABx 轴于 B，在 RtOAB 中，OA=5，tan= OB AB =2，AB= 2OB，OA=OB+AB，5=OB+4OB，OB=1，AB=2，A(1，2).故选 A 3C 在直角ADE 中，DAE=a，AE=5 米，tan a= 10 3 5 DE AE DE ，DE= 1.5 米. 又CE=AB=1.7 米，
12、CD=CE+DE=3.2 米故选 C 4A 由题意得 BC=24，设 AD=x 海里，在 RtABD 中，BD= x3 tan B AD 海里， 在 Rt ACD 中，ACD=45，CD=AD=x 海里，则3x-x= 24，解得 x=123+ 12， AC=2x=122+126， 缉私艇的速度为(122+126)海里时 故选 A 5D 过 B 作 BFDE 于 F 在 RtCBD 中，BC=10，cosBCD= 5 3 BC CD CD=6BD=8 在 RtBCE 中，BC=10，BCE=30， BE=5在 RtBDF 中，BDF=BCE=30，BD=8， DF=BDcos 30=43 在 R
13、tBEF 中，BEF= BCD， 即 cosBEF= BE EF =cosBCD= 5 3 BE=5EF= BE- cos BEF=3. DE=EF+DF= 3+43故选 D 6B 过点 B 作 BFAC，与 CA 的延长线交于点 F，过点 D 作 DEAC 于点 E AC 与 BD 所成的锐角为 45，BF= OBsin 45，DE= ODsin 45，四边形 ABCD 的面积 45sin 2 1 45sin45sin 2 1 2 1 2 1 2 1 BDACODOBACDEBFACDEACBFAC SS S ACDABC 设 AC=x，则 BD=9-x，所以 16 281 2 9 4 2
14、2 2 9 2 1 2 xxxS，所以当 x= 2 9 时，S 有最大值， 为 16 281 .故选 B 7BBFAF，F= 90，斜坡 AB 的长为 40 米，其坡度 i=1：0.75， BF =32，AF= 24，过 C 作 GHEF 交 ME 于 H，交 BF 于 G则四边形 GFEH 是矩形，GF=HE，GH=EF=FA+AD+DE=24+10+20=54，CGAF，C 是 AB 的中点，FG= 2 1 BF=16，CG= 2 1 AF=12，HE=16，在 RtCHM 中， CHM=90，CH= GH-CG= 42，MH= CHtan 26.621，ME=HM+HE= 37，在 Rt
15、DEN 中，DEM=90，DE=20，NE=DEtan5024，MN= ME-NE=37-24=13，即广告牌的高度 MN 约为 13 米.故选 B 8.B 如图，过 B 作 BFAP 于 F，过 D 作 DGAP 于 G，DHPE 于 H， 在 RtAFB 中，sin a= AB AF ， AF=ABsin a3.36， 设 DH =x，DE 的坡度 i=1：2.4，HE= 2.4x， 由勾股定理得(2.4x)+x= 19.5，解得 x= 7.5(舍负)， 小红从 A 出发到 E 处下降的垂直距离为 3.36+5.5+7.516.4(米)故选 B 9答案： 9 5 解析：过点 C 作 CEA
16、D，交 AD 的延长线于 E，tanB= 5 3 ，即 5 3 AB AD ，设 AD= 3x，则 AB=5x，CDE=BDA，CED=BAD = 90，CDEBDA， DC= 3 1 BC，BD= 2DC， 2 1 AD DE BD DC AB CE ，CE= 2 5 x，DE= 2 3 x， AE= 2 9 x，tanCAD= 9 5 2 9 2 5 x x AE CE . 10答案：1012 解析：在 RtBCD 中，tanBDC= CD BC ，BC=CDtan 45=61=6，在 RtABC 中，sinA= AB BC ，AB= 7 3 6 = 14，AC= 614 22 =410，
17、 ABC 的面积= 2 1 6410=1210(cm) 11答案：9 解析：如图，过点 C 作 CHAB 于 H.由题意得 AB= 90 60 11 = 2 33 km，设 BH= x km，CH=BHtan 63.5=AHtan37， 4 3 2 33 2 xx，解得 x= 2 9 ， CH=2x=9，即在行使过程中，汽车离塔 C 的最近距离约是 9 km 12答案：33 解析：如图，过点 B 作 BQAD，交 AD 的延长线于 Q，交 CD 于点 P， ABCD 中，DAB=60，CDAB，CDQ=60，在 RtPDQ 中， PDQ=60，sinPDQ= PD PQ = 2 3 PQ= 2
18、 3 PD由垂线段最短可知，此时 PB+ 2 3 PD 的值最小，在 RtBAQ 中，sinA=，BQ= 2 3 AB= 2 3 6=33 ，即 PB+ 2 3 PD 的最小值为33 13答案：120 解析：过 O 作 OEBD 于 E，过 A 作 AFBD 交其延长线于 F可得 OE AF，BO= DO，OE 平分BOD，BOE= 2 1 BOD= 2 1 74= 37， FAB= BOE=37，在 RtABF 中，AB=85+65=150(cm)，h=AF= ABcosFAB1500.8=120(cm). 14答案：81.5 解析：过 A 作 AE地面于 E，过 D 作 DFAC 交 AC
19、 的延长线于 F，则四边 形 AEBF 为矩形，BF=AE=168 m，AF= BE，在 RtAEB 中，tan ABE= BE AE ， 则 BE= ABE AE tan 84. 0 168 =200 cm，CF=AF-AC=200-503=50(m)， 在 RtCFD 中，tan FCD= CF DF ，则 DF=CFtanFCD501.73=86.5(m)， BD=168-86.5=81.5(m)，即这座古塔的高度约为 81.5 米 15解析：(1)在ABC 中，AD 是 BC 边上的高， ADB= ADC= 90. 在ADC 中，ADC=90，C=45，AD=1， DC =AD=1 在
20、ADB 中，ADB=90，sin B= 3 1 ，AD=1， AB= B AD sin =3 BD= ADAB 22 =22 BC=BD+DC=22+1. (2)AE 是 BC 边上的中线， CE= 2 1 BC=2+ 2 1 ， DE=CE-CD=2+ 2 1 -1=2- 2 1 ， tanDAE= AD DE = 2 1 2 1 2 1 2 16.解析：过 D 作 DGBC 于 G 则四边形 EBGD 为矩形，EB=DG 在 RtAED 中，AE=DEtanADE201.60=32， DG=EB=AB-AE=43， 由题意得CDG=90-FDC=58， 在 RtDGC 中，CD=81 53
21、. 0 43 cos CDG DG 故点 D 到目标点 C 的距离约为 81 m 17.解析：过点 C 作 CDAB 于点 D， 丙地位于甲地北偏西 30方向，距离甲地 460 km， ACD=30，AC=460 km， 在 RtACD 中，AD= 2 1 AC=230 km，CD=AC 2 3 =2303km 丙地位于乙地北偏东 66方向， CBD=24， 在 RtBDC 中，BD=km CD 24tan 3230 24tan AB=AD+BD= 24tan 3230 230km. 答：甲乙两地之间直达高速公路 AB 的长为 24tan 3230 230 km 18解析：如图，过点 D 作
22、DMFG 于 M，连接 EO，过点 D 作 DNEO 于 N， 在 RtCDM 中，CD= 50，DCM=75， CD CM =cosDCM， 50 CM =cos 750.26，解得 CM13. DNFG，CDN= DCG=75， 在 RtDEN 中， EDN=CDE- CDN= 105-75= 30 ，DE= 40， DE DN = cosEDN， 40 DN =cos 30= 2 3 ，解得 DN= 203cm34.6cm DNO= NOM=DMO= 90，四边形 DNOM 是矩形， OM=DN34.6 cm， BC= OM-CM-BO= OM-CM- 2 1 AB34.6-13-12.5= 9.1( cm). 故 BC 的长约为 9.1 cm.
