1、 南师大苏州实验学校高三阶段测试南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷数学试卷 20200519 一、填空题： （本大题共一、填空题： （本大题共 14 小题，每小小题，每小题题 5 分，共分，共 70 分，请将答案写在答题卡相应位置分，请将答案写在答题卡相应位置 ） 1集合 2 1,0,2,3ABa，若0,1,2,3AB，则实数 a 的值为_ 2己知复数 0 32zi，复数 z 满足 00 3z zzz，则复数z _ 3某校有 200 名师生参加了全程马拉松比赛，他们的成绩的频率分布直方图如图，则用时不超过4h的师 生大约有_名 4现有 4 名学生, , ,A B C D申报清华、北大的
2、2020 年强基计划招生，每校有两人申报，则“A，B 两人恰 好申报同一所大学”的概率为_ 5上图求3692019的值的伪代码中，正整数 m 的最大值为_ 6有一个半径为 4 的球是用橡皮泥制作的，现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥，使 得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高，若它们的高为 8，则它们的底面圆的半径是_ 7已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 113 13,36aaS剟剟，则 2 1 a a 的取值范围是_ 8已知0，0 2 ，函数( )2cos()f xx过点(0, 2)，且在, 2 上单调递增，则的 取值范围是_ 9 在ABC中， 若 D 在边A
3、B上， 且ADDB， F 在线段CD上， 设ABa，ACb，AFxayb， 则 14 xy 的最小值为_ 10已知数列 n a为正项的递增等比数列， 15 82aa， 24 81aa，记数列 2 n a 的前 n 项和为 n T， 则使不等式 11 1 32020 n T 成立的最大正整数 n 的值是_ 11已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线MN过 2 F，且与双曲线右 支交于 M、N 两点，若 112 coscosFMNFF M， 1 1 1 2 FM F N ，则双曲线的离心率等于_ 12已知0a ，函数 2 ( )| 3|f
4、 xxxa在1,1上的最大值为 2，则a _ 13已知点(1,0)M，点 A 在圆 22 4xy上，点 B 在圆 22 9xy上，若3MA MB，则MAMB 的最大值是_ 14用max , a b表示 a，b 中的最大值，设函数 3 ( )max41,ln(0)f xxkxxx有三个零点，则 实数 k 的取值范围是_ 二二、解答题：本大解答题：本大题题共共 6 小小题题，共计，共计 90 分分请在请在答答 题题 卡指定区域内作答卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过，解答时应写出文字说明、证明过 程或计算步骤程或计算步骤 15己知ABC中， 2 7 AB ACS（S 表示ABC的面积
5、） （1）若2BC ，求ABC外接圆的半径； （2）若 4 B C ，求sinB的值 16 如图， 三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直， 1 2 ABADCD，/ /ABCD， CPCD，M 为PD的中点 （1）求证：/ /AM平面PBC； （2）求证：BD 平面PBC 17如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船 D 监控河流南岸相距 150 米的 A、B 两处（A 在 B 的 正西侧） 监控中心 C 在河流北岸，测得45ABC ，75BAC ，120 6mAB ，监控过程中，保 证监控船 D 观测 A 和监控中心 C 的视角为120 A， B， C， D 视为在同一个
6、平面上， 记ADC的面积为 S， DAC （1）求AC的长度； （2）试用表示 S，并求 S 的最大值 18在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，AB为椭圆的一条弦 （不经过原点） ， 直线(0)ykx k经过弦AB的中点， 与椭圆 C 交于 P， Q 两点， 设直线AB的斜率为 1 k （1）若点 Q 的坐标为 3 1, 2 ，求椭圆 C 的方程； （2）求证： 1 k k为定值； （3）过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 R，若直线AB和直线QR倾斜角互补，且PQR的面积为2 6，求椭圆 C 的方程 19已知函数( )1 x x
7、 f xmx e （1）当1m 时，求( )yf x在 1,1最小值； （2）若( )f x有两个零点，求 m 的取值范围 20设 n S是各项均为非零实数的数列 n a的前 n 项和，给出如下两个命题： 命题:p n a是等差数列； 命题:q等式 1223111 111 nnn knb a aa aa aa a 对任意 * n nN恒成立， 其中 k、b 是常数， （1）若 p 是 q 的充分条件，求 k，b 的值； （2）对于（1）中的 k 与 b，问 p 是否为 q 的必要条件，请说明理由； （3）若 p 为真命题，对于给定的正整数(1)n n 和正数 M，数列 n a满足条件 22 1
8、1n aaM ，试求 n S的 最大值 南师大苏州实验学校高三阶段测试南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷（附加题）数学试卷（附加题） 20200519 21A已知矩阵 12 21 M ， 1 7 ，求M， 21B 在平面直角坐标系xOy中， 射线:3 (0)l yx x， 曲线 1 C的参数方程为 3cos 2sin x y （为参数） ， 曲线 2 C的方程为 22 (2)4xy；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3 C的极坐 标方程为8sin （1）写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 1 C的普通方程； （2）已知射线 l 与 2 C交于 O，M，与 3 C交于
9、 O，N，求|MN的值 22为迎接全国高中毕业生体能测试 ，学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动，并在结束后 对学生进行了考核记 X 表示学生的考核成绩，并规定85x为考核优秀为了了解本期训练活动的效果， 在参加训练的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图 （1）从参加训练的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70,79X 的学生中任取 3 人，设 Y 表示这 3 人重成绩满足|85| 10X 的人 数，求 Y 的分布列和数学期望 23已知 222 0122 (1) nn n xaa xa xa xnN （1
10、）求 12212nn aaaa 的值； （2）求 12212 1111 nn aaaa 的值 南师大苏州实验学校高三阶段测试南师大苏州实验学校高三阶段测试 参考答案参考答案 10 2 3 1 2 i 350 4 1 3 52022 62 2 7 5 0, 3 8 3 7 , 2 4 964 2 106 112 123 或 5 4 133 21 14(3,5) 14 【答案】(3,5) 【解析】当1x 时，( ) ln0f xx ，所以( )f x在(1,)无零点； 当1x 时，若5k，则(1)max5,00fk，故1x 是( )f x的零点； 若5k ，则(1)max(5,0)50fkk，故1
11、x 不是( )f x的零点 当(0,1)x时，ln0 x ，所以只需考虑 3 ( )41g xxkx 在(0,1)的零点个数 2 ( )12g xxk 若0k ，则当(0,1)x时，( )0g x ，故( )g x在(0,1)单调递减，所以( )g x在(0,1)至多有一个零点 若0k ，则( )g x在(0,) 12 k 单调递增，(,) 12 k 单调递减，故( )g x在(0,1)至多有两个零点 当 12 k x 时，( )g x取得最大值，值为 3 ()1 129 kkk g 要使( )g x在(0,1)有两个零点，只要满足01 12 k ，(0)10g 3 ()10 129 kkk
12、g ，(1)50gk解得35k 综上，实数 k 的取值范围是(3,5) 15解： （1）因为 2 7 AB ACS， 所以 2 1 cossin 7 2 AB ACAAB ACA 即 1 cossin 7 AA， 2 分 又因为 22 cossin1AA，(0, )A 解得 7 2 sin 10 A ， 2 cos 10 A 4 分 设ABC外接圆的半径为 R，则 10 2 2 sin7 C A B R 所以 5 2 7 R ，即ABC外接圆的半径为 5 2 7 ， 7 分 （2）因为ABC， 所以 7 2 sin()sin()sin 10 BCAA 2 cos()cos()cos 10 BC
13、AA 9 分 则cos2cos()()cos () 4 BBCBCBC 4 coscossin()sin 445 BCBC 所以 2 9 sin 10 B 12 分 又因为(0, )B，所以sin0B ，所以 3 10 sin 10 B 14 分 16略 17解： （1）在ABC中，45ABC ，75BAC ，所以60ACB 2 分 因为120 6mAB ，所以，由正弦定理得 sin60sin45 ABAC ，所以240mAC ， 4 分 （2）在ADC中，设DAC，则60ACD ， 由正弦定理得 sinsin ACAD ADCACD 6 分 所以160 3sin 60AD 8 分 所以 11
14、 sin240 160 3sin 60sin 22 SACAD 10 分 480 3( 3sin2cos21)480 3 2sin 2301 12 分 因为060 所以当30 时，S 取到最大值 2 480 3m 14 分 答：AC的长度为240m， 480 3 2sin 2301S ，S 取到最大值 2 480 3m 18解： （1）由条件知， 22 223 19 1 , , 4 1 , 2 ab c a abc 3 分 解得2a ，3b 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 yx ； 5 分 （2）设弦AB的中点为 001122 ,xyA x yB xy， 由 22 11 22 1 yx
15、 ab 且 22 22 22 1 yy ab ， 两式相减得， 2222 1122 22 0 xxyy ab ， 即 22 12120 22 12220 yybxxb xxay x yay 因为 12 1 12 yy k xx ， 2 2 y k x ， 所以 2 1 2 b k a k ，即 2 1 2 b k k a 7 分 因为椭圆的离心率为 1 2 ，即 1 2 c a ， 所以 3 2 b a ，即 3 2 b a 为定值； 9 分 （3）设( , )(0,0)Q s t st，则(,), (,0)Pst Rs ， 所以直线QR的斜率为 1 22 t k s ， 因为直线AB和直线Q
16、R倾斜角互补， 所以直线QR的斜率为 1 k 所以 1 1 2 kk ， 由 1 3 4 k k ，且0k ，所以 6 2 k 12 分 因为PQR的面积为2 6a ，面 6 2 t s 所以2s ，6r ，即(2, 6)Q 从面 22 46 1 ab ， 又 3 2 b a ，解得2 3a ，3b 所以椭圆 C 的方程为 22 1 129 ry 16 分 19解： （1）当1m 时，( )1 x x f xx e ， 则 1 ( )1 x x fx e 2 分 令 1 ( )1 x x g x e 所以 2 ( )0 x x g x e 在 1,1上恒成立， 所以( )( )g xfx 在
17、1,1上递减， 所以 min ( )( 1)210fxfr ， min ( )(1)10f xf ， 所以( )fx 在 1,1上存在唯一的0 n x ，使(0)0f ， 而且当( 1,0)x 时，( )0fx ，所以( )f x递增； 当(0,1)x时( )0fx ，所以( )f x递减； 所以， minmin ( ) ( 1),(1)( 1)2f xfffc 所以( )f x在 1,1上的最小值2c； 6 分 （2）令( )0f x ，得10 x x mx e ，则0 x 显然不是方程的根， 那么原方程等价于 1 0 x em x 实根的个数， 令 1 ( ) x h xem x ，(,0
18、)(0,)x 原命题也等价于 1 ( ) x h xem x 在(,0)(0,)x 上的零点个数 又因为 2 1 ( )0 x h xe x 所以( )h x在(,0)和(0,)上都是单调递增的； 8 分 （1）若0m ，则当(,0)x 时， 1 ( )0 x h xe x 恒成立，则没有零点； 当(0,)x时，(1)10hc ， 1 20 2 hc 又( )h x在(0,)上单调递增的，所以有唯一的零点 10 分 （）若0m ，则当(,0)x 时， 1 ( )0 x h xem x 恒成立，则没有零点； 当(0,)x时， 1 2 1 0he a ， 1 2 1 2 1 220 2 a hcc
19、 a 又( )h x在(0,)上单调递增的，所以有唯一的零点 12 分 （）若0m ，则当(,0)x 时，由() x ex xR， 则 11 0 x emxm xx ，(0)x 则 2 10 xmx ，取 2 0 4 0 2 mm x 则 0 ()0h x，又 1 ()0hmcm m ，所以( )h x在(,0)有唯一的零点 当(0,)x时， 1 111 (1)(1)10 111 m hmemmm mmm 1 2 1 (2)(2)(2)0 2 mn hcmmmmmm m 又( )h x在(0,)上单调递增的，所以有唯一的零点 15 分 综上所述，当0m 时，( )f x有两个零点 16 分 2
20、0解： （1）设 n a的公差为 d， 若0d ，则原等式可化为 1212 1 n nkb a aa a ，所以(1)0knb对于 * nN恒成立， 所以1k ，0b ， 若0d ，则原等式可化为 1223111 1111111 n nnn kb daaaaaaa a ，所以 3111 1 n nn ndkb d a aaa 即(1)0knb对于 * nN恒成立，所以1k ，0b （2）当1,0kb时，假设 p 是 q 的必要条件， 即“若 1221112 111 nnn a aa n aa aa a 对于任意的 * n nN恒成立，则 n a为等差数列” 当1n 时， 1212 11 aaa
21、a 显然成立 当2n时， 1223112 1111 nn n a aa aaaa a ，由-得， 1 111 11 nnn nn a aaaa ，即 1 (1) nan mdnaa 当2n 时， 121 2aaa，即 113 aaa成等差数列 当3n?时， 11 (1)(2) nn nanaa ，即 11 2 naa aaa 所以 n a为等差数列，即 p 为 q 的必要条件； （3）由 22 11a aaM ，可设 11 cossin a arar ，所以rM 设 n a的公差为 d，则 11 sincos n aandrr ，所以 sincosrr d n 所以 sincos sin n rr ar n ， 22 12 1 cos1 sin(1)(1) 222 n n aannnn Sr 2 2 1 2 MM n 所以 n S的最大值为 2 2 1 2 M n
