1、第十九讲平行四边形考点一平行四边形及性质考点一平行四边形及性质 主干必备主干必备 1.1.概念概念:两组对边分别两组对边分别_的四边形的四边形.平行平行2.2.性质性质3.3.两条平行线之间的距离两条平行线之间的距离:两条平行线中两条平行线中,一条直线上的一条直线上的_一点到另一点到另一条直线的一条直线的_,_,叫做这两条平行线之间的距叫做这两条平行线之间的距离离.性质性质:两条平行线间的距离处处相等两条平行线间的距离处处相等.任意任意距离距离 微点警示微点警示 定义的双重作用定义的双重作用:平行四边形的定义既可作为性质平行四边形的定义既可作为性质,又可作为判定方法又可作为判定方法.互相平分的
2、含义互相平分的含义:对角线互相平分对角线互相平分,实质上指两条对实质上指两条对角线的交点是它们的公共中点角线的交点是它们的公共中点,这也符合中心对称的性这也符合中心对称的性质质.三种距离的联系三种距离的联系:两条平行线之间的距离可转化为两条平行线之间的距离可转化为点到直线的距离点到直线的距离,点到直线的距离又可进一步转化为两点到直线的距离又可进一步转化为两点之间的距离点之间的距离.核心突破核心突破 例例11原型题原型题 2018 已知已知:如图如图,E,F,E,F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上的两点上的两点,AE=CF.,AE=CF.求证求证:ADFADFC
3、BE.CBE.EBDF.EBDF.思路点拨思路点拨由由AE=CF,AE=CF,两边同时加上两边同时加上EF,EF,得到得到AF=CE,AF=CE,再由四边形再由四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,得出得出AD=CB,ADBC,AD=CB,ADBC,DAF=BCE,DAF=BCE,从而根据从而根据SASSAS推出推出ADFADFCBE.CBE.由全等可得到由全等可得到DFA=BEC,DFA=BEC,根据平行线的判定可得根据平行线的判定可得EBDF.EBDF.自主解答自主解答 略略ADFADFCBE,CBE,DFA=BEC.DFA=BEC.EBDF.EBDF.变形题变形题 已知已知:如
4、图如图,E,F,E,F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上的两点上的两点,EBDF.,EBDF.求证求证:ADFADFCBE.CBE.证明证明四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,AD=CB,ADBC,AD=CB,ADBC,DAF=BCE,DAF=BCE,EBDF,EBDF,AFD=CEB,AFD=CEB,在在ADFADF与与CBECBE中中,ADFADFCBE.CBE.DAFBCE,AFDCEB,ADCB,明明技法技法 平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用平行四边形的每条对角线平行四边形的每条对角线,把它分成两个全等的三把它分成两个全等的三角
5、形角形,两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,在在 ABCDABCD中中,对角线对角线AC,BDAC,BD相相交于点交于点O,OEBDO,OEBD交交ADAD于点于点E,E,连接连接BE,BE,若若 ABCDABCD的周长为的周长为28,28,则则ABEABE的周长为的周长为 A.28A.28B.24B.24C.21C.21D.14D.1
6、4D D2.20192.在在 ABCDABCD中中,AB=7,AC=6,AB=7,AC=6,则对角线则对角线BDBD的取值范围是的取值范围是 A.8BD20A.8BD20B.6BD7B.6BD7C.4BD10C.4BD10D.1BD13D.1BD13A A3.3.在同一平面内在同一平面内,设设a,b,ca,b,c是三条互相平是三条互相平行的直线行的直线,已知已知a a与与b b的距离为的距离为4 cm,b4 cm,b与与c c的距离为的距离为1 cm,1 cm,则则a a与与c c的距离为的距离为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号 A.1 cmA.1 cm B.3 cmB.3 cmC.5 cmC.
7、5 cm或或3cm3cmD.1 cmD.1 cm或或3 cm3 cmC C4.20194.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,OABCOABC的的三个顶点分别为三个顶点分别为O,A,B,O,A,B,则第四个顶点则第四个顶点的坐标是的坐标是_._.5.20195.如图如图,在在 ABCDABCD中中,AE,BF,AE,BF分别分别平分平分DABDAB和和ABC,ABC,交交CDCD于点于点E,F,AE,BFE,F,AE,BF相交于点相交于点M.M.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证求证:AEBF.:AEBF.判断线段判断线段DFDF与与CECE的大小关系的大小关系,并予以证明并予以证
8、明.解析解析AE,BFAE,BF分别平分分别平分DABDAB和和ABC,ABC,EAB=DAB,ABF=ABC,EAB=DAB,ABF=ABC,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,DAB+ABC=180,DAB+ABC=180,EAB+ABF=EAB+ABF=180180=90=90,AEBF.AEBF.略略121212考点二平行四边形的判定考点二平行四边形的判定 主干必备主干必备 边边(1)(1)两组对边分别两组对边分别_的四边形的四边形(2)(2)两组对边分别两组对边分别_的四边形的四边形(3)(3)一组对边一组对边_的四边形的四边形角角(4)(4)两组对角分别两组对角分
9、别_的四边形的四边形平行平行相等相等平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分 微点警示微点警示 判定和性质互逆判定和性质互逆:平行四边形判定和性质的条件和平行四边形判定和性质的条件和结论相反结论相反,可以对比记忆可以对比记忆.两个不一定成立两个不一定成立:一组对边平行一组对边平行,另一组对边相等的另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形四边形不一定是平行四边形;对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形不一定是平行四边形.核心突破核心突破 例例22原型题原型题2018 如图如图,B,E,C,F,B,E,C,F在一条直在一条直线上线上,已知已知ABDE,ACDF,BE=C
10、F,ABDE,ACDF,BE=CF,连接连接AD.AD.求证求证:四边形四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形.思路点拨思路点拨 由由ABDE,ACDFABDE,ACDF利用平行线的性质可得出利用平行线的性质可得出B=DEF,ACB=F,B=DEF,ACB=F,由由BE=CFBE=CF可得出可得出BC=EF,BC=EF,进而可证进而可证出出ABCABCDEF,DEF,根据全等三角形的性质可得出根据全等三角形的性质可得出AB=DE,AB=DE,再结合再结合ABDE,ABDE,即可证出四边形即可证出四边形ABEDABED是平行四边是平行四边形形.自主解答自主解答 略略 变形题变形题 如图如
11、图,B,E,C,F,B,E,C,F在一条直线上在一条直线上,已知已知ABDE,ACDF,BE=CF,ABDE,ACDF,BE=CF,连接连接AD.AD.求证求证:四边形四边形ACFDACFD是平是平行四边形行四边形.证明证明ABDE,ACDF,ABDE,ACDF,B=DEF,ACB=F.B=DEF,ACB=F.BE=CF,BE=CF,BE+CE=CF+CE,BE+CE=CF+CE,BC=EF.BC=EF.在在ABCABC和和DEFDEF中中,ABCABCDEF,DEF,AC=DF.AC=DF.又又ACDF,ACDF,四边形四边形ACFDACFD是平行四边形是平行四边形.BDEFBCEFACBF
12、 ，明明技法技法 判定一个四边形是否为平行四边形的三种途径、五种判定一个四边形是否为平行四边形的三种途径、五种方法方法途径一途径一:从边着眼从边着眼:两组对边分别平行的四边形是平两组对边分别平行的四边形是平行四边形行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.途径二途径二:从角着眼从角着眼:两组对角分别相等的四边形是平两组对角分别相等的四边形是平行四边形行四边形.途径三途径三:从对角线着眼从对角线着眼:两条对角线互相平分的四边两条对角线互相平分的四边形是平行四边形形是平行四边形.
13、题组过关题组过关 1.20191.小玲的爸爸在钉制平行四边形框小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时架时,采用了一种方法采用了一种方法:如图所示如图所示,将两根木条将两根木条AC,BDAC,BD的的中点重叠中点重叠,并用钉子固定并用钉子固定,则四边形则四边形ABCDABCD就是平行四边就是平行四边形形,这种方法的依据是这种方法的依据是 A AA.A.对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形B.B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形C.C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.D.两组对边分别平行的
14、四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.20192.如图如图,在在ABCABC中中,D,E,D,E分别是分别是AB,BCAB,BC的中点的中点,点点F F在在DEDE延长线上延长线上,添加一个条件使四边形添加一个条件使四边形ADFCADFC为平行四边形为平行四边形,则这个条件是则这个条件是 A.B=FA.B=FB.B=BCFB.B=BCFC.AC=CFC.AC=CFD.AD=CFD.AD=CFB B3.3.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃行
15、四边形玻璃,她带来了两块碎玻璃她带来了两块碎玻璃,其编号应该是其编号应该是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号4.4.已知已知:A,B,C.:A,B,C.点点D D在坐标平面内在坐标平面内,且以且以A,B,C,DA,B,C,D四个点构成的四边形是平四个点构成的四边形是平行四边形行四边形,则这样的则这样的D D点有点有_个个.3 35.20195.如图如图,已知在已知在ABCABC中中,D,E,F,D,E,F分别分别是是AB,BC,ACAB,BC,AC的中点的中点,连接连接DF,EF,BF.DF,EF,BF.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证求证:四边形四边形BEFDBEFD是平行四边形是平行四边
16、形.若若AFB=90AFB=90,AB=6,AB=6,求四边形求四边形BEFDBEFD的周长的周长.解析解析D,E,FD,E,F分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的中点的中点,DFBC,EFAB,DFBC,EFAB,DFBE,EFBD,DFBE,EFBD,四边形四边形BEFDBEFD是平行四边形是平行四边形.AFB=90AFB=90,D,D是是ABAB的中点的中点,AB=6,AB=6,DF=DB=DA=AB=3,DF=DB=DA=AB=3,四边形四边形BEFDBEFD是平行四边形是平行四边形,四边形四边形BEFDBEFD是菱形是菱形,DB=3,DB=3,四边形四边形BEFDBEFD的
17、周长为的周长为12.12.12考点三三角形的中位线考点三三角形的中位线 主干必备主干必备 1.1.三角形的中位线的定义三角形的中位线的定义:连接三角形两边连接三角形两边_的线段叫做三角形的中位线的线段叫做三角形的中位线.2.2.三角形的中位线的性质三角形的中位线的性质:三角形的中位线三角形的中位线_于三角形的第三边于三角形的第三边,且等于第三边的且等于第三边的_._.中点中点平行平行一半一半 微点警示微点警示 区分中位线与中线区分中位线与中线:三角形的中位线不是三角形的三角形的中位线不是三角形的中线中线,前者两个端点都是前者两个端点都是 中点中点,后者只有一个端点是后者只有一个端点是 中点中点
18、.区分两个区分两个 一半一半:所有三角形的中位线都等于第三所有三角形的中位线都等于第三边的一半边的一半,只有直角三角形斜边上的中线才等于斜边的只有直角三角形斜边上的中线才等于斜边的一半一半.核心突破核心突破 例例320193 如图如图,ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交相交于点于点O,O,点点E E是是ABAB的中点的中点,BEOBEO的周长是的周长是8,8,则则BCDBCD的周的周长为长为_._.1616 明明技法技法 三角形中位线的应用三角形中位线的应用已知三角形的中位线已知三角形的中位线,求第三边的长或已知第三边求第三边的长或已知第三边的长求三角形的中位线的长的长求
19、三角形的中位线的长.利用三角形的中位线可证明平行利用三角形的中位线可证明平行.三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长的比为的比为12,12,面积的比为面积的比为14.14.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,点点D,ED,E分别是分别是ABCABC边边BA,BCBA,BC的中点的中点,AC=3,AC=3,则则DEDE的长为的长为 D D43A 2 B C 3 D322.20192.如图如图,在在ABCABC中中,D,E,D,E分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,点点F F在在BCBC上上,DE,DE是是AEFAEF的平分线的平
20、分线,若若C=C=8080,则则EFBEFB的度数是的度数是 A.100A.100B.110B.110C.115C.115D.120D.120A A3.3.若等腰三角形的两条中位线长分别为若等腰三角形的两条中位线长分别为2 2和和4,4,则其周长则其周长为为_._.20 20 4.20194.如图所示如图所示,在在RtRtABCABC中中,ACB=,ACB=9090,CM,CM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线,E,F,E,F分别为分别为MB,BCMB,BC的中点的中点,若若EF=1,EF=1,则则AB=_.AB=_.4 45.5.如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC=4,D,E,AB=AC=4,D,E分别为分别为AB,ACAB,AC的中点的中点,连接连接CD,CD,过过E E作作EFDCEFDC交交BCBC的延长线于的延长线于F.F.世纪金榜导世纪金榜导学号学号求证求证:DE=CF.:DE=CF.若若B=60B=60,求求EFEF的长的长.解析解析D,ED,E分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,DECF,DECF,又又EFDC,EFDC,四边形四边形CDEFCDEF为平行四边形为平行四边形,DE=CF.DE=CF.略略
